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\(\bullet\)Si \(h\) est \(C^1\) sur \(U\) ouvert de \(E\), et si \(\forall
x \in U, \ Dh(x) \in Isom(E,F)\), alors \(h^{-1}\) est \(C^1\) sur l’ouvert \(h(U)\), et la différentielle de \(h^{-1}\) est donnée par \[\forall x\in U,\ D(h^{-1})(h(x))=(Dh(x))^{-1}.\]
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Théorème d’inversion globale
[ Théorème ]
Soit \(A\) une application linéaire continue de \(E\) dans \(F\), avec \(E\) un espace de Banach et \(F\) un espace normé, telle que \(A^{-1}\) existe et est continue (\(A\) est un homéomorphisme linéaire). Soit \(\phi\) une application lipschitzienne de \(E\) dans \(F\) telle que \(Lip(\phi) < {\parallel}A^{-1} {\parallel}^{-1}\). Alors:
\(\bullet\)\(h=A+\phi\) est inversible.
\(\bullet\)\(h^{-1}\) est lipschitzienne, avec \(Lip(h^{-1}) \leq \frac{{\parallel}A^{-1} {\parallel}}{[1-{\parallel}A^{-1} {\parallel}. Lip(\phi)]}\)