Consistance relative de \(AC\) et de \(\neg AC\)

[ Théorème ]
(\(AC\) désigne l’axiome du choix)

Si la théorie axiomatique de Zermelo-Fraenkel avec axiome de fondation est consistante, alors la théorie de Zermelo-Fraenkel avec axiome de fondation et axiome du choix est consistante.

Si la théorie axiomatique de Zermelo-Fraenkel est consistante, alors la théorie de Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix est consistante.

D’autre part si la théorie de Zermelo-Fraenkel est consistante, alors la théorie de Zermelo-Fraenkel avec la négation de l’axiome du choix (i.e. en supposant qu’il existe un ensemble sur lequel on ne peut pas construire une relation de bon ordre) est consistante.

Enfin, si la théorie de Zermelo-Fraenkel avec axiome de fondation est consistante, alors la théorie de Zermelo-Fraenkel avec axiome de fondation et avec la négation de l’axiome du choix est consistante.
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