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Consistance relative de \(AC\) et de \(\neg AC\)
[ Théorème ]
(\(AC\) désigne l’axiome du choix)
Enfin, si la théorie de Zermelo-Fraenkel avec axiome de fondation est consistante, alors la théorie de Zermelo-Fraenkel avec axiome de fondation et avec la négation de l’axiome du choix est consistante.
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Si la théorie axiomatique de Zermelo-Fraenkel avec axiome de fondation est consistante, alors la théorie de Zermelo-Fraenkel avec axiome de fondation et axiome du choix est consistante.
Si la théorie axiomatique de Zermelo-Fraenkel est consistante, alors la théorie de Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix est consistante.
D’autre part si la théorie de Zermelo-Fraenkel est consistante, alors la théorie de Zermelo-Fraenkel avec la négation de l’axiome du choix (i.e. en supposant qu’il existe un ensemble sur lequel on ne peut pas construire une relation de bon ordre) est consistante.