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Cours non validé
Propriétés de la fonction exponentielle
complexe
[ Théorème ]
(1) L’application exp est une surjection \(\mathbf{C} \rightarrow \mathbf{C}-\{0\}\).
(2) Elle est égale à sa dérivée, c’est-à-dire on a \(\exp ^{\prime}=\exp\).
(3) La restriction de exp à \(\mathbf{R}\) est une fonction réelle strictement croissante et positive qui vérifie \[\lim _{x \rightarrow+\infty} \exp (x)=+\infty, \quad \lim _{x \rightarrow-\infty} \exp (x)=0\] (4) Il existe un nombre réel positif, noté \(\pi\), tel que \(\exp (i \pi / 2)=i\) et tel que \(e^{z}=1\) si et seulement si \(z /(2 i \pi) \in \mathbf{Z}\).
(5) La fonction exp est périodique de période \(2 i \pi\).
(6) L’application \(t \mapsto e^{i t}\) envoie l’axe réel sur le cercle unité.