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Produit scalaire
[ Definition ]
Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel. On appelle
produit scalaire sur \(E\),
une application : \(\varphi: E\times E
\rightarrow \mathbb{R}\) vérifiant :
En savoir plus
\(\varphi\) est une forme bilinéaire : \(\forall (x,y,z)\in E^3, \forall (\lambda,\mu)\in \mathbb{R}^{2}\) \[\begin{aligned} \varphi(\lambda x +\mu y, z) &= \lambda \varphi(x,z) + \mu \varphi(y,z) ,\newline \varphi(x,\lambda y + \mu z ) & = \lambda \varphi(x,y) + \mu \varphi(y,z). \end{aligned}\]
\(\varphi\) est symétrique : \[\forall (x,y)\in E^2, \quad\varphi(x,y)= \varphi(y,x).\]
\(\varphi\) est définie : \[\forall x\in E, \quad(\varphi(x,x)=0)\Longleftrightarrow (x=0).\]
\(\varphi\) est positive : \[\forall x \in E, \quad\varphi(x,x)\geqslant 0.\]