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Classification des isométries en dimension
\(3\)
[ Théorème ]
Soit un endomorphisme orthogonal \(u \in
\mathrm{O}_{ }(E)\). On note \(E(1) =
\operatorname{Ker}(u - \mathop{\mathrm{id}}\nolimits)\) le
sous-espace formé des vecteurs invariants. Selon la dimension de \(E(1)\), on a la classification suivante :
Dans le dernier cas, \(u = r \circ
s_{H}\), où le plan \(H\)
invariant par la réflexion est orthogonal à l’axe de la rotation \(r\).
En savoir plus
| \(\dim E(1)\) | \(\mathop{\rm det}(u)\) | \(u \in\) | Nature de \(u\) |
|---|---|---|---|
| \(3\) | \(1\) | \({O}_{ }^{+}(E)\) | \(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\) |
| \(2\) | \(-1\) | \(\mathrm{O}_{ }^{-}(E)\) | Réflexion \(s_H\) |
| \(1\) | \(1\) | \({O}_{ }^{+}(E)\) | Rotation autour d’un axe \(r\) (dont les demi-tours) |
| \(0\) | \(-1\) | \(\mathrm{O}_{ }^{-}(E)\) | Composée d’une rotation et d’une réflexion |