Classification des isométries en dimension \(3\)

[ Théorème ]
Soit un endomorphisme orthogonal \(u \in \mathrm{O}_{ }(E)\). On note \(E(1) = \operatorname{Ker}(u - \mathop{\mathrm{id}}\nolimits)\) le sous-espace formé des vecteurs invariants. Selon la dimension de \(E(1)\), on a la classification suivante :
\(\dim E(1)\) \(\mathop{\rm det}(u)\) \(u \in\) Nature de \(u\)
\(3\) \(1\) \({O}_{ }^{+}(E)\) \(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\)
\(2\) \(-1\) \(\mathrm{O}_{ }^{-}(E)\) Réflexion \(s_H\)
\(1\) \(1\) \({O}_{ }^{+}(E)\) Rotation autour d’un axe \(r\) (dont les demi-tours)
\(0\) \(-1\) \(\mathrm{O}_{ }^{-}(E)\) Composée d’une rotation et d’une réflexion
Dans le dernier cas, \(u = r \circ s_{H}\), où le plan \(H\) invariant par la réflexion est orthogonal à l’axe de la rotation \(r\).
En savoir plus