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Isométries directes en dimension \(3\) : rotations
vectorielles
[ Théorème ]
Soit une isométrie directe \(u\in \mathrm{O}_{
}^{+}(E_3)\). On note \(E(1) =
\operatorname{Ker}(u - \mathop{\mathrm{id}}\nolimits)\) le
sous-espace vectoriel formé des vecteurs invariants par \(u\). On a montré que :
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Si \(u \neq \mathop{\mathrm{id}}\nolimits_E\), \(E(1)\) est une droite vectorielle \(D = \mathop{\mathrm{Vect}}(\varepsilon_3)\) où \(\varepsilon_3\) est un vecteur de norme \(1\) ;
Pour toute base orthonormée directe \(\varepsilon= (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3)\) (le troisième vecteur \(\varepsilon_3\) dirigeant l’axe et fixé), la matrice de \(u\) dans la base \(\varepsilon\) s’écrit : \[\boxed{Mat_e(u) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta&0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \newline 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}} .\] On dit que \(u\) est la rotation d’axe \(\mathop{\mathrm{Vect}}(e_3)\) et d’angle \(\theta\).