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Angle de deux vecteurs
[ Théorème ]
Soit \(E\) un espace euclidien orienté de
dimension \(2\) et \((U,V)\in
E^2\) deux vecteurs non-nuls. On définit \[u=\dfrac{U}{\lVert U \rVert_{ }}, \quad
v=\dfrac{V}{\lVert V \rVert_{ }}.\] Alors il existe une unique
rotation \(r\in {O}_{2}^{+}(\mathbb{R}
)\) telle que \(v=r(u)\). Si
\(\theta\) est l’angle de la rotation
\(\theta \in [0,2\pi[\), on note \[\widehat{(U,V)}=\theta\] l’angle orienté
des vecteurs \((U,V)\). On a alors :
\[\boxed{\mathop{\mathrm{Det}}(U,V)=\lVert U
\rVert_{ }\lVert V \rVert_{ }\sin\theta } \quad \textrm{ et} \quad
\boxed{\left( U \mid V \right)=\lVert U \rVert_{ }\lVert V \rVert_{
}\cos\theta}.\]
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