Etude de \({O}_{2}^{+}(\mathbb{R} )\)

[ Théorème ]

  1. Les matrices de \({O}_{2}^{+}(\mathbb{R} )\) sont de la forme \[R_{\theta}=\boxed{\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}}\] où \(\theta\in\mathbb{R}\).

  2. \[\boxed{R_{\theta}\times R_{\theta'}=R_{\theta + \theta'}} .\]

  3. \[\boxed{R_{\theta}^{-1}=R_{-\theta}} .\]

  4. L’application \[\varphi: \left\{ \begin{array}{ccl} (\mathbb{R} ,+) & \longrightarrow & ({O}_{2}^{+}(\mathbb{R} ),\times) \newline \theta & \longmapsto & R_{\theta} \end{array} \right.\] est un morphisme de groupes de noyau \(2\pi\mathbb{Z}\).

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