Inégalité des grandes déviations

[ Théorème ]
Soit \(\mu\) une mesure positive sur \(\mathbb R\) non concentrée en un point et telle que l’intervalle des \(\theta\) réels satisfaisant \(L(\theta)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{\theta x}\mu(dx)<\infty\) ait un intérieur \(\Theta\) non vide. On considère la fonction strictement convexe sur \(\Theta\) égale à \(k=\log L\) et l’intervalle ouvert \(M=k'(\Theta),\) et on note par \(\psi:M\rightarrow \Theta\) la fonction réciproque de \(k'.\)

Soit \(m=k'(\theta)\) fixé dans \(M\). Soient \(X_1,\ldots,X_n\) des variables aléatoires indépendantes et de même loi \(e^{\theta x-k(\theta)}\mu(dx).\) Soit enfin \(a\in M\) avec \(m<a\) et les nombres \[\begin{aligned} u_n&=&\Pr(\frac{1}{n}(X_1+\cdots+X_n)\geq a)\newline h(m,a)&=&-\int_m^a(a-x)\psi'(x)dx=a(\psi(m)-\psi(a))+k(\psi(a))-k(\psi(m)). \end{aligned}\] Dans ces conditions on a

  1. (Inégalité des grandes déviations) \(u_n^{1/n}\leq e^{h(m,a)}.\)

  2. (Théorème des grandes déviations) \(\lim_{n\infty}u_n^{1/n}= e^{h(m,a)}.\)

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