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Espérance
[ Definition ]
On considère une v.a.
\(X\) définie sur \((\Omega,\mathcal{A},P)\) et on écrit cette
fonction de \(\omega\in\Omega\) comme
différence de deux fonctions positives \(X=X_+-X_-,\) où \(a_+\) signifie max\((a,0)\) et \(a_-=(-a)_+\) (rappelons que cela implique
\(a=a_+-a_-\) et \(|a|=a_++a_-).\) Donc \(|X|=X_+-X_-\). On dira que \(\mathbb E(X)\) existe si, au sens du
théorème , l’espérance de \(|X|\)
existe. Dans ces conditions, d’après le 2) du théorème , \(\mathbb E(X_+)\) et \(\mathbb E(X_-)\) existent, et on définit
l’espérance de \(X\) par \(\mathbb E(X)=\mathbb E(X_+)-\mathbb
E(X_-).\)
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