Espérance

[ Definition ]
On considère une v.a. \(X\) définie sur \((\Omega,\mathcal{A},P)\) et on écrit cette fonction de \(\omega\in\Omega\) comme différence de deux fonctions positives \(X=X_+-X_-,\)\(a_+\) signifie max\((a,0)\) et \(a_-=(-a)_+\) (rappelons que cela implique \(a=a_+-a_-\) et \(|a|=a_++a_-).\) Donc \(|X|=X_+-X_-\). On dira que \(\mathbb E(X)\) existe si, au sens du théorème , l’espérance de \(|X|\) existe. Dans ces conditions, d’après le 2) du théorème , \(\mathbb E(X_+)\) et \(\mathbb E(X_-)\) existent, et on définit l’espérance de \(X\) par \(\mathbb E(X)=\mathbb E(X_+)-\mathbb E(X_-).\)
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