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Fonctions de répartition à densité.
[ Definition ]
Fonctions de répartition à densité. Soit \(f\) une fonction positive définie sur \(\mathbb R\) qui ait des discontinuités au
plus en un nombre fini de points \(a_1<a_2<\cdots<a_N\) et qui soit
telle que les intégrales \(\int_{a_i}^{a_{i+1}}f(x)dx\) convergent et
satisfassent \[\sum_{i=0}^N\int_{a_i}^{a_{i+1}}f(x)dx=1,\]
avec la convention \(a_0=-\infty\) et
\(a_{N+1}=+\infty.\)
On définit alors la fonction \(F\)
par \(F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt.\) Il
est clair que \(F\) est une fonction de
répartition. Ici, elle est de plus continue et, d’après le théorème
fondamental du calcul intégral, elle satisfait \(F'(x)=f(x)\) pour tout \(x\notin \{a_1,\ldots ,a_N\}\). La fonction
\(f\) s’appelle alors la
densité de la fonction de répartition \(F\).
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