Fonctions de répartition à densité.

[ Definition ]
Fonctions de répartition à densité. Soit \(f\) une fonction positive définie sur \(\mathbb R\) qui ait des discontinuités au plus en un nombre fini de points \(a_1<a_2<\cdots<a_N\) et qui soit telle que les intégrales \(\int_{a_i}^{a_{i+1}}f(x)dx\) convergent et satisfassent \[\sum_{i=0}^N\int_{a_i}^{a_{i+1}}f(x)dx=1,\] avec la convention \(a_0=-\infty\) et \(a_{N+1}=+\infty.\) On définit alors la fonction \(F\) par \(F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt.\) Il est clair que \(F\) est une fonction de répartition. Ici, elle est de plus continue et, d’après le théorème fondamental du calcul intégral, elle satisfait \(F'(x)=f(x)\) pour tout \(x\notin \{a_1,\ldots ,a_N\}\). La fonction \(f\) s’appelle alors la densité de la fonction de répartition \(F\).
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