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Classe d’équivalence de \(x\) par rapport à \(R\)
[ Definition ]
Soit \(X\) un ensemble et \(R\) une relation d’équivalence sur \(X\). Pour \(x\in
X\), on pose \[\mbox{
}^R\overline{x} = \{ x'\in X \;| \; x R x' \; \} \subset
X\] et on appelle classe d’équivalence de \(x\) par rapport à \(R\) cette partie de \(X\). Par définition, l’ensemble \(X/R\) est formé des classes \(\mbox{ }^R\overline{x}\) d’éléments \(x\in X\). On appelle \(X/R\) le quotient de \(X\) par la relation d’équivalence \(R\). On définit
l’application quotient (=la projection
canonique) \(q : X \rightarrow
X/R\) par \(q(x)=\mbox{
}^R\overline{x}\). Une partie de \(X\) est un système de
représentants pour \(R\) si
elle contient un élément de chaque classe d’équivalence et un seul.
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