Convergence faible et
en norme de mesures d’une suite de lois binomiales vers la loi de
Poisson.
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Convergence faible et
ennorme de mesures d’une suite de lois binomiales vers la loi de
Poisson.
Appendice
2: Convergence des lois binomiales vers la loi de
Poisson
Cet appendice montre une chose
peu connue: c’est que la suite des lois binomiales deparamètres
convenables converge vers une loi de Poisson, non seulement faiblement,
mais aussi au sens de la convergence ennorme de mesures. Cet appendice
peut intéresser aussi les étudiants d’agrégation qui ont à traiter du
sujet “lois binomiales, lois de Poisson”.
Adoptons lesnotations suivantes: \(\delta_a\) désigne la masse de Dirac en
\(a\); si \(m>0\), on définit la loi de Poisson de
moyenne \(m\) par \[p_m(dx)=\sum_{n=0}^{\infty}e^{-m}\frac{m^n}{n!}\delta_n(dx)\]
et si \(0<p<1\) on définit la loi
de Bernoulli de moyenne \(p\) par \[b_{1,p}(dx)=(1-p)\delta_0(dx)+p\delta_1(dx).\]
Si \(n\) est un entier \(>0\), on définit la loi binomiale \(b_{n,p}\) comme la nième puissance de
convolution de la loi de Bernoulli: \[b_{n,p}(dx)=(b_{1,p})^{*n}(dx)=((1-p)\delta_0+p\delta_1)^{*n}(dx)=
\sum_{k=0}^n C^k_n(1-p)^{n-k}p^k\delta_k(dx).\]
C’est un résultat simple et important que de constater que la suite
de probabilités \((b_{n,m/n})_{n>m}\) converge faiblement
vers \(p_m\). En effet si \(n\geq k\), alors \[C^k_n\left(1-\frac{m}{n}\right)^{-k}\left(\frac{m}{n}\right)^k\]
est une fraction rationnelle en \(n\)
et l’examen des termes de plus haut degré au numérateur et au
dénominateur montre que \[\lim_{n\rightarrow+\infty}C^k_n\left(1-\frac{m}{n}\right)^{n-k}\left(\frac{m}{n}\right)^k
=e^{-m}\frac{m^k}{k!}.\] Toutefois, un résultat plus fort est
vrai, puisque en fait \((b_{n,m/n})_{n>m}\) converge fortement
vers \(p_m\). S’agissant ici de
probabilités concentrées sur l’ensemble \({\bf
N}\) des entiers, cette convergence forte est une convergence
dans \({\it l}_1({\bf N})\) et revient
à affirmer que \[\|b_{n,m/n}-p_m\|=\sum_{k=0}^n \left
|C^k_n\left(1-\frac{m}{n}\right)^{n-k}\left(\frac{m}{n}\right)^k
-e^{-m}\frac{m^k}{k!}\right|
+\sum_{k=n+1}^{\infty}e^{-m}\frac{m^k}{k!}\] tend vers 0 si \(n\rightarrow+\infty.\) Nous allons montrer
ce résultat de deux manières. Celle de Le Cam(1960) est courte et
utilise une ingénieuse idée de couplage. Celle de Prohorov (1963) donne
plus d’informations en montrant que \(\|b_{n,m/n}-p_m\|\) est équivalente à un
\(\phi(m)/n\) et calcule explicitement
\(\phi(m).\)
( Le Cam).Le
Cam Si \(n>m>0\)
on a \[\|b_{n,m/n}-p_m\|\leq
\frac{4m^2}{n}.\]
Posons pour simplifier \(p=m/n\in ]0,1[\) et considérons des
variables aléatoires \((X_1,Y_1),\ldots,(X_n,Y_n)\) de \({\bf N} ^2\) indépendantes et de même loi
\(m_p\) définie par \[\begin{aligned}
m_p(0,0)&=&e^{-p}-p+pe^{-p}\\
m_p(0,1)&=&p-pe^{-p}\\
m_p(1,1)&=&pe^{-p}\newline
m_p(n,0)&=&\frac{p^n}{n!}e^{-p}\ \mathrm{si}\ n\geq 2,
\end{aligned}\] et \(m_p(a,b)=0\) ailleurs. Alors on constate
facilement que \(X_i\) suit une loi de
Poisson et que \(Y_i\) suit une loi de
Bernoulli, toutes deux de moyenne \(p.\) Elles ne sont pas indépendantes, et
satisfont à l’inégalité \[\Pr(X_i=Y_i)=m_p(0,0)+m_p(1,1)=e^{-p}-p+2pe^{-p}\geq
1-2p^2,\] héritée du fait que \(e^{-p}\geq 1-p\) pour tout réel \(p.\) Notons pour simplifier \(X=X_1+\cdots+X_n\), qui est donc de loi de
Poisson \(p_m,\) et \(Y=Y_1+\cdots+Y_n,\) de loi binomiale \(b_{n,p}.\) Donc \[\Pr(X\neq Y)\leq \Pr(\cup_{i=1}^n(X_i\neq
Y_i)\leq \sum _{i=1}^n\Pr(X_i\neq Y_i)\leq 2np^2.\]
Ensuite, si \(A\) est une partie de
\({\bf N},\) on a l’inclusion
d’évènements \[(X\in A)=(X=Y\in A)\cup(Y\neq
X\in A)\subset (Y\in A)\cup(X\neq Y)\] qui entraine \(\Pr (X\in A)-\Pr(Y\in A)\leq P(X\leq Y).\)
Le raisonnement fait en échangeant les rôles de \(X\) et \(Y\) donne finalement \[|\Pr (X\in A)-\Pr(Y\in A)|\leq
2np^2=\frac{2m^2}{n}.\] Pour terminer, on applique cette
inégalité à l’ensemble \(E=\{k\in {\bf N};
p_m(k)\geq b_{n,p}(k)\}\) puis à son complémentaire \(E'={\bf N}\setminus E\). Comme \[\|b_{n,m/n}-p_m\|=(\Pr (X\in E')-\Pr(Y\in
E'))+(\Pr (Y\in E)-\Pr(X\in E))\leq \frac{4m^2}{n},\] le
résultat est montré.
( Prohorov).Prohorov Soit \(X\) une variable aléatoire de loi de
Poisson \(p_m.\) Soit
\[\frac{\phi_n(m)}{n}=\|b_{n,m/n}-p_m\|.\]
Alors \[\lim_{n\rightarrow+\infty}\phi_n(m)=\phi(m)=
\frac{1}{2}{\bf E}(|X-(X-m)ý|).\]
Notons \(p_k=e^{-m}\frac{m^k}{k!}\) pour simplifier
lesnotations. Observons d’abord que le résultat n’est pas si
surprenant, car pour \(k\) fixé, en
notant \[a_k(n)=\frac{n}{p_k}
\left(C^k_n\left(1-\frac{m}{n}\right)^{n-k}\left(\frac{m}{n}\right)^k-p_k\right)
\ \ \mathrm{si}\ \ 0\leq k \leq n,\]\[a_k(n)=-n\ \ \mathrm{si}\ \ n<k ,\]
alors \[\lim_{n\rightarrow+\infty}a_k(n)=\frac{1}{2}(k-(k-m)ý)\]
par un calcul standard et laborieux dedéveloppement limité (voir le
détail de ce calcul dix lignes ci dessous). On est donc fondé de penser
que \[\lim_{n\rightarrow+\infty}\sum_{k=0}^{\infty}p_k|a_k(n)|
=\frac{1}{2} \sum_{k=0}^{\infty}p_k|k-(k-m)ý|.\] Le point délicat
est alors de justifier cette interversion delimites. On va le faire par
convergence dominée. L’idée pour cela est de considérer pour \(k\) fixé \[\frac{1}{p_k}
C^k_n\left(1-\frac{m}{n}\right)^{n-k}\left(\frac{m}{n}\right)^k\]
comme une fonction \(f_k\) de \(1/n\), en introduisant donc \[f_k(h)= (1-h)(1-2h)\ldots(1-(k-1)h)(1-mh)^{-k}
\exp[m+\frac{1}{h}\log(1-mh)].\] Cette fonction \(f_k\) est définie sur \(h>-1/m\), et une reformulation de (2)
est d’affirmer que \(f'_k(0)=\frac{1}{2}(k-(k-m)ý);\) on le
voit ainsi:
Fixons désormais \(k_0>m.\) Pour
\(k>k_0\), soit \[M_k=\mathrm{max}_{0\leq h\leq
\frac{1}{k}}f_k(h).\] Montrons que \(M=\mathrm{sup}_{k>k_0}M_k\) est fini.
Pour cela, notons \[K=\mathrm{max}_{0\leq
h\leq \frac{1}{k_0}}\exp[m+\frac{1}{h}\log(1-mh)],\] qui existe
commemaximum d’une fonction continue sur un compact. Ensuite, si \(0\leq h \leq \frac{1}{k}\leq
\frac{1}{k_0}<\frac{1}{m},\) alors \(0\leq 1-jh \leq 1\) si \(j=1,\dots,k-1\) et \((1-mh)^{-k}\leq (1-\frac{m}{k})^{-k}.\)
Donc \[M_k\leq
K(1-\frac{m}{k})^{-k}.\] Or \(\lim_{k\rightarrow+\infty}(1-\frac{m}{k})^{-k}=\exp(-m)\)
est finie. Donc la suite \((M_k)_{k>k_0}\) estbornée et \(M\) est fini.
Soit maintenant \[M'_k=\mathrm{max}_{0\leq h\leq
\frac{1}{k}}|f'_k(h)|.\] Montrons que \(M'=\mathrm{sup}_{k>k_0}k^{-3}M_k\)
est fini. Notons \(G(h)=\frac{1}{h}\log(1-mh)\) si \(h\neq 0\) et \(G(0)=-m:\)\(G\) est donc continument dérivable. Soit
\[K'=\mathrm{max}_{0\leq h\leq
\frac{1}{k_0}}|G'(h)|.\] Alors \[\frac{f'_k(h)}{f_k(h)}
=\frac{km}{1-mh}+G'(h)-\sum_{j=1}^{k-1}\frac{j}{1-jh}.\]
Ensuite, si \(0\leq h \leq \frac{1}{k}\leq
\frac{1}{k_0}<\frac{1}{m},\) alors
\[\left|-\sum_{j=1}^{k-1}\frac{j}{1-jh}\right|
\leq \sum_{j=1}^{k-1}\frac{j}{1-\frac{j}{k}}\leq k\sum_{j=1}^{k-1}j
=\frac{ký(k-1)}{2},\] et \[\frac{km}{1-mh}\leq\frac{km}{1-\frac{m}{k}}\leq
\frac{kým}{k_0-m}.\] Donc \[\left|\frac{f'_k(h)}{f_k(h)}\right|
\leq \frac{kým}{k_0-m}+K'+\frac{ký(k-1)}{2}.\] Comme dans cet
intervalle \(f_k\) est dans \(]0,M]\), on en déduit \[k^{-3}M'k\leq
\frac{M}{2}(1-1/k)+\frac{Mm}{k(k_0-m)}+\frac{MK'}{k^3}
\leq \frac{M}{2}+\frac{Mm}{k_0(k_0-m)}+\frac{MK'}{k_0^3}.\]\(M'\) est donc fini.
On peut alors terminer la démonstration du théorème: on a donc par la
formule desaccroissements finis pour \(0\leq
k \leq n:\)
\[|a_k(n)|=|n(f_k(1/n)-f_k(0)|=|f'_k(\theta/n)|\leq
M'k^3\] et pour \(k>n\)\(|a_k(n)|=n\leq k^3.\) Soit \(M''\) lemaximum de 1 et \(M'\). Observons que \(\sum_{n=0}^{\infty}M''k^3p_k\)
converge. On est donc dans les conditions d’application du théorème de
la convergence dominée et donc (3) est démontré.
Voici quelques raffinements intéressants sur la fonction de Prohorov
\(\phi\) du théorème précédent:
Pour \(m>0\) on note \(p_k=e^{-m}\frac{m^k}{k!}\) et \(p_{-1}=0\). Soit \(r\) et \(R\) lesracines du trinôme \(P(x)=x-(x-m)ý\), avec \(0<r<R\), et soient \(a\) et \(A\) les parties entières de \(r\) et \(R\). Alors \[\phi(m)=mý(p_a-p_{a-1}+p_{A-1}-p_A).\] De
plus, les deux fonctions de \(m\)
définies par \(q(m)=m(p_a-p_{a-1})\) et
\(Q(m)=m(p_{A-1}-p_A))\) sont
continues, positives et tendent vers \(\frac{1}{\sqrt{2\pi e}}\) à l’infini.
Remarquons que lesracines\(r\) et \(R\) existent, car le discriminant simplifié
de \(P\) est \(m+1/4>0\), et qu’elles sont \(>0\) car de somme \(2m+1>0\) et de produit \(mý>0.\) Si \(X\) est une variable aléatoire de Poisson
de moyenne \(m\), alors \({\bf E}(X-(X-m)ý)=0.\) Donc, puisque \(P(x)\) est positif si et seulement si \(r<x<R\), on a \[\phi(m)=\frac{1}{2}{\bf E}(|P(X|)=\frac{1}{2}{\bf
E}(|P(X)|+P(X))
=\sum_{r<k<R}p_kP(k)=\sum_{k=a+1}^Ap_kP(k)\]\[=mý\sum_{k=a+1}^A(-p_{k-2}+2p_{k-1}-p_k)
=mý\left(-\sum_{k=a-1}^{A-2}p_k
+2\sum_{k=a}^{A-1}p_k-\sum_{k=a+1}^{A}p_k\right)\]\[=mý(p_a-p_{a-1}+p_{A-1}-p_A).\]
Définissons la fonction \(m\mapsto
r(m)=m+\frac{1}{2}-\sqrt{m+\frac{1}{4}}\) sur \([0,+\infty)\). Elle est continue, et sa
dérivée \(r'(m)>0.\)\(r\) est une bijection croissante de \([0,+\infty)\) sur lui même de fonction
réciproque \(m=r^{-1}(x)=x+\sqrt{x}.\)
Donc \(a\leq r<a+1\) implique que
\[a+\sqrt{a}= r^{-1}(a)\leq
m<r^{-1}(a+1)=a+1+\sqrt{a+1}.\] Donc sur l’intervalle \[I_n=\{m; \
a=n\}=[n+\sqrt{n},n+1+\sqrt{n+1})\] la fonction \(q\) prend la valeur \[q(m)=e^{-m}\frac{m^n(m-n)}{n!}.\] Elle est
donc bien positive. Salimite à l’extrémité droite de \(I_n\) est bien \(q(n+1+\sqrt{n+1})\) ce qui montre sa
continuité. Quant à salimite à l’infini, c’est évident avec la formule
de Stirling. La démonstration pour \(Q\) est entièrement analogue: sur
l’intervalle \[J_N=\{m; \
A=N\}=[N-\sqrt{N},N+1-\sqrt{N+1}),\] la fonction \(Q\) prend la valeur \[Q(m)=e^{-m}\frac{m^N(N-m)}{N!}.\] Sur les
intervalles \(I_n\) et \(J_N,\) les fonctions \(q\) et \(Q\) sont concaves.
Commentaires:
Il y a de nombreuses références sur cette question, (voir la
bibliographie ci dessous, qui conduit à d’autres références
[LECAM],[PROHOROV],[VERVAAT],[JOSI])
mais pas très accessibles un jour de concours d’agrégation. Dans
[LETAC] (1981), Problème IV 3 4ème et 5ème, on trouve la
démonstration de Le Cam (1960).
Bibliographie
[LECAM]LE CAM, L. "An approximation theorem
for the Poisson binomial distribution".Pacific J.
Math. 10, 1181-1197.
[PROHOROV]PROHOROV Ju. V.
Asymptotic behavior of the binomial distribution
(1953), " (en russe). Uspehi Matematiceskih Nauk.
8, 135-142.
[VERVAAT]VERVAAT, W. Upper
bounds for the distance in total variation between the binomial and the
Poisson distribution. (1969) Statistica Neerlandica,
23, 79-86.
[JOSI]JOHNSON, N. J. and SIMMONS,
G.On the convergence of the binomial to Poisson
distribution. (1971), Annals of Math. Statist.
49, 1735-1736.
[LETAC]LETAC, G. Intégration et
Probabilités, Analyse de Fourier, Exercices corrigés. (1982)
Masson, Paris. (Seconde édition 1997).
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[ID: 98] [Date de publication: 15 février 2022 22:01] [Catégorie(s): Le cours de probabilités ] [
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1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ]
[nombre d'auteurs:
1 ] [Auteur(s): Gérard Letac ]
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2: Convergence des lois binomiales vers la loi de
Poisson
