Espérance d’une
variable et théorème de transport.
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Espérance d’une
variable et théorème de transport.
L’espérance
mathématique d’une variable aléatoire
Les variables aléatoires
étagées.
(espérance mathématique de \(X\)). Soit \((\Omega,\mathcal{A},P)\) un espace de
probabilité. Désignons par \(\mathcal{E}\) l’ensemble de toutes les
variables aléatoires réellesétagées définies sur \(\Omega.\) A tout élément \(X\) de \(\mathcal{E}\) nous associons un nombre
appelé espérance mathématique de \(X\), noté \(\mathbb E(X)\), et défini ainsi: si la loi
de \(X\) est \[P_X=p_1\delta_{a_1}+\cdots+p_N\delta_{a_N},\]
alors \[\mathbb
E(X)=p_1a_1+\cdots+p_Na_N.\]
En fait, \(\mathcal{E}\) est un espace vectoriel et
\(X\mapsto \mathbb E(X)\) est une forme
linéaire positive dessus, comme le montre le théorème suivant:
(Linéarité et positivité de
l’espérance) Si \(X\) et \(Y\) sont des v.a.étagées sur \(\Omega\) alors \(\lambda X+ \mu Y\), pour des réels \(\lambda\) et \(\mu\), est encore une v.a.étagée. De plus
\(\mathbb E(\lambda X+ \mu Y)=\lambda \mathbb
E(X)+ \mu \mathbb E(Y)\). Enfin \(\mathbb E(X)\geq \mathbb E(Y)\) si \(X\geq Y.\)
Introduisons les lois de \(X\) et \(Y\): \[P_X=p_1\delta_{a_1}+\cdots+p_N\delta_{a_N},\ P_Y=q_1\delta_{b_1}+\cdots+q_M\delta_{b_M},\]
notons \(X^{-1}(\{a_i\})=A_i\), \(Y^{-1}(\{b_j\})=B_j\) et \(C_{ij}=A_i\cap B_j\) et \(r_{ij}=P(C_{ij}).\) Lamatrice\((r_{ij})\) a pour somme des lignes le
vecteur ligne \((q_1,\ldots,q_M)\) et
pour somme des colonnes le vecteur colonne \(^t(p_1,\ldots,p_N).\) Les valeurs prises
par \(Z=\lambda X+ \mu Y\) sont les
\(c_{ij}=\lambda a_i+\mu b_j\) et comme
\(Z^{-1}(\{c_{ij}\})=C_{ij}\in
\mathcal{A},\) on en déduit que \(Z\) est aussi une v.a. Sa loi est \[P_Z=\sum_{ij}r_{ij}\delta_{c_{ij}},\] et
est donc d’espérance \[\mathbb
E(Z)=\sum_{ij}r_{ij}c_{ij}=\sum_{ij}r_{ij}(\lambda a_i+\mu
b_j)=\]\[\lambda
\sum_ia_i\sum_jr_{ij}+\mu \sum_jb_j\sum_ir_{ij}=
\lambda \mathbb E(X)+ \mu \mathbb E(Y).\]
Quant à l’inégalité, il suffit d’observer que \(\mathbb E(X-Y)\geq 0\) par définition de
l’espérance et d’appliquer ensuite la linéarité qu’on vient de
démontrer.
(Variable aléatoire de Bernoulli).Variable aléatoire de Bernoulli: Un exemple particulièrement
simple et important de v.aétagée est celui où \(X\) ne prend que les valeurs 0 et 1, c’est
à dire où la loi de \(X\) est \[P_X=(1-p)\delta_0+p\delta_1,\] où \(p\in [0,1]\). Sa loi est appelée une
loi de Bernoulli. \(p\) est appelé le paramètre
de la loi de Bernoulli.
L’espérance d’une loi de
Bernoulli \(X\) deparamètre\(p\) est \(p\). Si \(X\) est définie sur l’espace de probabilité
\((\Omega,\mathcal{A},P)\), soit \(A=\{\omega\ ;\ X(\omega)=1\}\) alors \(X={\bf 1}_A\) est l’indicateur de \(A\), et on a donc \[\mathbb E({\bf 1}_A)=P(A).\] Inversement,
un indicateur a toujours une loi de Bernoulli.
Nous allons utiliser le théorème
précédent et les indicateurs pour terminer la démonstration du théorème
. On veut donc montrer que si \(B_j\in
\mathcal{A}_j=\{\emptyset,A_j,A_j^c,\Omega\}\) et si les \(A_j\) sont indépendants, alors \[P(\cap_{j=1}^NB_j)=\prod_{j=1}^NP(B_j).\]
On le montre en remarquant d’abord que dans les 4 cas possibles pour
\(B_j\), il existe deux nombres \(a_j\) et \(b_j\) tels que \[{\bf 1}_{B_j}=a_j+b_j{\bf 1}_{A_j};\] on
prend en effet \(a_j=b_j=0\) si \(B_j\) est vide, \(a_j=1\), \(b_j=0\) si \(B_j\) est plein, \(a_j=0\), \(b_j=1\) si \(B_j=A_j\), \(a_j=1\), \(b_j=-1\) si \(B_j=A_j^c.\) D’où le calcul: \[P(\cap_{j=1}^NB_j)=\mathbb E(\prod_{j=1}^N{\bf
1}_{B_j})=
\mathbb E(\prod_{j=1}^N(a_j+b_j{\bf 1}_{A_j}))=
\mathbb E[\sum_{I}(\prod_{j\in I^c}a_j)(\prod_{j\in I}b_j{\bf
1}_{A_j})]=\]
Dans cette chaîne de 9 égalités, la première, la cinquième et les 2
dernières s’appuient sur le fait que l’espérance de l’indicateur est la
probabilité, la deuxième sur la définition des \(a_j\) et \(b_j\), la troisième et la septième sur un
développement algébrique; enfin, surtout, la quatrième s’appuie sur le
théorème précédent et la sixième sur l’indépendance des \(A_j\).
Espérance d’une
variable aléatoire quelconque.
Toutes les variables aléatoires
ne sont pasétagées, mais toutes sont approchables par des v.a.étagées,
et cela va permettre de définir l’espérance d’une v.a. quelconque. Plus
précisément, on a le théorème suivant:
Soit \((\Omega,\mathcal{A},P)\) un espace de
probabilité, et \(X :\Omega\rightarrow \mathbb
R\) une variable aléatoire positive.
Alors
Il existe unesuite croissante de v.a.étagées \((X_n)\) telle \(X=\lim_{n\rightarrow +\infty}
X_n.\)
Si la suite \((X_n)\) ci dessus
est telle que \(\mathbb E(X_n)\) soit
bornée, alors le nombre \[\lim_{n\rightarrow
+\infty} \mathbb E(X_n)=\mathbb E(X)\] ne dépend que de \(X\) et non de la suite particulière \((X_n)\), dans le sens que si \((X'_n)\) a les propriétés demandées à
\((X_n)\) au 1), alors la suite \(\mathbb E(X'_n)\) a la mêmelimite.
\(\mathbb E(X)\) est
l’espérance de la variable aléatoire
positive \(X\).
Si \(Y\) est une autre v.a
positive sur \((\Omega,\mathcal{A},P)\)
telle que \(E(Y)\) existe, et si \(\lambda\) et \(\mu\) sont des nombres \(\geq 0,\) alors \(\mathbb E(\lambda X+\mu Y)\) existe et est
égale à \(\lambda \mathbb E(X)+\mu \mathbb
E(Y)\).
Si \(0\leq X\leq Y\) et si \(\mathbb E(Y)\) existe, alors \(\mathbb E(X)\) existe et \(\mathbb E(X)\leq \mathbb E(Y).\)
Si \(X\geq 0\), alors \(\mathbb E(X)=0\) si et seulement si la loi
de \(X\) est la probabilité de Dirac en
0.
Nous omettons la démonstration,
bien que celle ci ne soit pas difficile. Il faut insister sur le fait
que l’espérance de cette v.a. positive n’existe pas toujours.
Ce théorème définit donc \(\mathbb
E(X)\) pour des v.a positives. Pour passer au cas d’une v.a de
signe quelconque, voici la démarche à suivre:
(espérance). On considère une v.a.
\(X\) définie sur \((\Omega,\mathcal{A},P)\) et on écrit cette
fonction de \(\omega\in\Omega\) comme
différence de deux fonctions positives \(X=X_+-X_-,\) où \(a_+\) signifie max\((a,0)\) et \(a_-=(-a)_+\) (rappelons que cela implique
\(a=a_+-a_-\) et \(|a|=a_++a_-).\) Donc \(|X|=X_+-X_-\). On dira que \(\mathbb E(X)\) existe si, au sens du
théorème , l’espérance de \(|X|\)
existe. Dans ces conditions, d’après le 2) du théorème , \(\mathbb E(X_+)\) et \(\mathbb E(X_-)\) existent, et on définit
l’espérance de \(X\) par \(\mathbb E(X)=\mathbb E(X_+)-\mathbb
E(X_-).\)
On a alors l’importante
extension du théorème de linéarité et de positivité:
Soit \((\Omega,\mathcal{A},P)\) un espace de
probabilité, soit \(\mathcal{L}_1\)
l’ensemble des variables aléatoires \(X\) sur cet espace telles que \(\mathbb E(X)\) existe (ou, de façon
équivalente, telles que \(\mathbb
E(|X|)\) soit finie). Alors \(\mathcal{L}_1\) est un espace vectoriel et
\(X\mapsto\mathbb E(X)\) est une forme
linéaire sur \(\mathcal{L}_1\), telle
que de plus \(\mathbb E(X)\geq \mathbb
E(Y)\) si \(X\geq Y.\)
Appliquons cela à deux cas
particuliers importants, celui où \(X\)
est discrète et positive et celui où la loi de \(X\) a une densité.
Soit \(X\) une v.a discrète avec \[P_X=\sum _{j=1}^{\infty}p_j\delta_{a_j}\]
où \(\sum _{j=1}^{\infty}p_j=1.\) Alors
l’espérance de \(X\), \(E(X)\) existe si et seulement si la série
\(\sum _{j=1}^{\infty}p_ja_j\) est
absolument convergente. S’il en est ainsi, alors \[\mathbb E(X)=\sum _{j=1}^{\infty}p_ja_j.\]
Montrons le d’abord si les
\(a_n\) sont positifs ou nuls. Alors
puisque \(X=\sum _{j=1}^{\infty}a_j{\bf
1}_{A_j}\), où les évènements \(A_j=\{X=j\}\) sont deux à deux disjoints
dans \(\Omega\), il suffit de
considérer la v.a.étagée\(X_n=\sum
_{j=1}^{n}a_j{\bf 1}_{A_j},\) qui est nulle sur \(\cup_{j=n+1}^{\infty}A_j\), et qui définit
une suite ayant les propriétés requises au théorème . Le résultat est
alors clair.
Si les \(a_n\) ne sont pas positifs
on écrit \(a_n=(a_n)_+-(a_n)_-\) et les
deux séries \(\sum
_{j=1}^{\infty}p_j(a_j)_+\) et \(\sum
_{j=1}^{\infty}p_j(a_j)_-\) convergent si et seulement si \(\sum _{j=1}^{\infty}p_ja_j\) est absolument
convergente. Cela permet de conclure facilement.
Supposons que la loi de la v.a.
\(X\) ait une densité \(f\) avec un nombre fini de points de
discontinuités \(a_1<\ldots<a_N.\) Alors l’espérance
de \(X\), \(E(X)\) existe si et seulement si \(\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx\) est
absolument convergente. S’il en est ainsi, alors \[\mathbb E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}
xf(x)dx.\]
Contentons nous de donner les
idées de la démonstration quand \(X\)
est positive et quand sa densité \(f\)
est continue. L’extension aux hypothèses du théorème sera alors
standard. On découpe \([0,n]\) en \(n2^n\)intervalles égaux par les points
\(x_k=\frac{k}{2^n}\), avec \(k=0,1,\ldots,n2^n\), on convient \(x_{n2^n+1}=+\infty\) et on définit la
variable aléatoireétagée\(X_n=x_k\)
quand \(x_k\leq X<x_{k+1}.\) Ceci
est bien unesuite croissante et on a bien \(\lim_{n\rightarrow +\infty} X_n=X\).
Si \(\int_{0}^{\infty} xf(x)dx\)
converge, notons \[D_n=\int_{0}^{\infty}
xf(x)dx-\mathbb E(X_n)=
\sum_{k=0}^{n2^n}\int_{x_k}^{x_{k+1}}(x-x_k)f(x)dx.\] Soit \(\epsilon>0.\) Il existe un entier \(A\) tel que \(\int_{A}^{\infty} xf(x)dx\leq \epsilon.\)
Soit alors \(K\) tel que \(x_K=A\) et soit \(F\) lafonction de répartition de \(X\). On partage alors \(D_n\) en deux sommes \(A_n\) et \(B_n\), avec \[A_n=
\sum_{k=K}^{n2^n}\int_{x_k}^{x_{k+1}}(x-x_k)f(x)dx\leq
2\int_A^{+\infty}xf(x)dx\leq 2\epsilon,\]
\[B_n=\sum_{k=0}^{K-1}\int_{x_k}^{x_{k+1}}(x-x_k)f(x)dx
=-\int_0^AF(x)dx+\sum_{k=0}^{K-1}(x_{k+1}-x_k)F(x_{k+1}),\] la
dernière égalité étant obtenue par intégration par parties en posant
\(u=(x-x_k)\) et \(v'=f.\) Notons que les symboles \(x_K\) et \(K\) sont des fonctions de \(n\). Si \(n\) tend vers l’infini, \((B_n)\) tend vers zéro, comme suite des
différences entre une intégrale et les sommes de Riemann de cette
intégrale. On voit donc que \((D_n)\)
tend vers 0. Le cas où \(\int_{0}^{\infty}
xf(x)dx\) diverge est similaire.
Exercices
sur
Calculer l’espérance d’une variable aléatoire de loi \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{n(n+1)(n+2)}\delta_n.\]
Pour quelles valeurs de \(a>0\) la variable aléatoire \(X\) ayant pourfonction de répartition\(F_X(x)=1-\frac{1}{(1+x)^a}\) si
x>0, et \(F_X(x)=0\) si \(x\leq 0,\) possède-t-elle une
espérance?
Théorème du transport.
Il arrive souvent qu’on ait
besoin de calculer, non l’espérance de la variable aléatoire \(X\), mais l’espérance d’une fonction \(Y=g(X)\) de celle ci. Si on applique la
définition de l’espérance, cela suppose qu’on calcule la loi de \(Y\), ce qui peut être très incommode. Le
résultat suivant simplifie ce problème.
( ( du transport )). Soit \(X\) une v.a. sur l’espace de probabilité
\((\Omega,\mathcal{A},P).\) Soit \(x\mapsto y=g(x)\) unefonction mesurable de
\(\mathbb R\) dans \(\mathbb R.\) Si \(X\) estétagée ou discrète et de loi
\[P_X=\sum _{j\geq
1}p_j\delta_{a_j},\] alors l’espérance de X, \(\mathbb E(g(X))\) existe si et seulement si
\[\sum _{j\geq 1}p_jg(a_j)\] converge
absolument et dans ce cas \(\mathbb
E(g(X))\) est égale à cette somme.
Si \(X\) a une densité \(f\), alors de même \(\mathbb E(g(X))\) existe si et seulement si
\[\int_{-\infty}^{\infty} g(x)f(x)dx\]
est absolument convergente, et dans ce cas \(\mathbb E(g(X))\) est égale à la somme de
l’intégrale.
On montre d’abord le résultat
quand \(X\) estétagée, puis quand
\(X\) est positive en appliquant la
définition de l’espérance d’une variable aléatoire positive, et on passe
facilement au cas où \(X\) est de signe
quelconque.
Exercices
sur
Soit une variable aléatoire \(X\) de densité \(\frac{1}{2}\exp(-|x|).\) Soit \(z\) un nombre réel et soit \(g(x)=\exp(zx).\) Pour quelles valeurs de
\(z\)\(Y=g(X)\) a-t-elle uneespérance? La
calculer quand elle existe.
\(X\) une variable aléatoire de
densité \(\frac{1}{2}{\bf
1}_{[-1,1]}(x)\) et soit \(Y=\tan(\frac{\pi}{2}X).\) Etudier de deux
manières l’existence éventuelle de \(\mathbb
E(Y):\) soit à l’aide du théorème du transport, soit en calculant
la densité de \(Y\): pour cela, écrire
d’abord lafonction de répartition de \(Y\) puis dériver.
Variables
aléatoires indépendantes etespérance du produit.
(famille indépendante). Soit \((X_1,\ldots,X_N)\) une suite de v.a. sur
\((\Omega,\mathcal{A},P)\). On se
rappelle que si \(\mathcal{B}\) est la
tribu de Borel, alors par définition des variables aléatoires \(X_j^{-1}(\mathcal{B})=\mathcal{A}_j\) est
une soustribu de \(\mathcal{A}.\)
Nous dirons que c’est une suite de variables aléatoires indépendantes
si la famille de soustribus \(\{\mathcal{A}_1,\ldots,\mathcal{A}_N\}\)
est une famille indépendante.
Ceci entraîne un fait simple et
utile: si les \(X_j\) sont des v.a.
indépendantes, et si \(f_j\) est une
fonction réelle quelconque, alors les \(Y_j=f_j(X_j)\) sont des v.a. indépendantes
aussi.
Dans le théorème suivant, qui sert à caractériser l’indépendance
pratiquement, contentons nous de \(N=2:\) la généralisation \(N>2\) est évidente.
Soit \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires sur \((\Omega,\mathcal{A},P)\). Alors elles sont
indépendantes si et seulement si pour tous \(x\) et \(y\) réels on a \[P(X\leq x; Y\leq y)=F_X(x)F_Y(y)=P(X\leq
x)P(Y\leq y).\]
En particulier, si elles sont discrètes de lois respectives \[P_X=\sum _{i\geq 1}p_i\delta_{a_i},\ P_Y=\sum
_{j\geq 1}q_j\delta_{b_j},\] alors elles sont indépendantes si et
seulement si pour tout couple \((i,j)\)
on a \[P(X=a_i;Y=b_j)=p_iq_j=P(X=a_i)P(Y=b_j)
.\]
Partie \(\Rightarrow.\) Introduisons les évènements
\(A=\{X\leq x\}\in
X^{-1}(\mathcal{B})\) et \(B=\{Y\leq
y\}\in X^{-1}(\mathcal{B}).\) Par hypothèse ils sont
indépendants.
Partie \(\Leftarrow.\) Elle n’est
pas élémentaire et sera montrée en 3 ème année.
Toutefois, dans le cas discret de la seconde partie la démonstration
directe est facile.
Voici enfin un théorème d’une
importance considérable.
Soit \((X_1,\ldots,X_N)\) une suite de v.a.
indépendantes sur \((\Omega,\mathcal{A},P)\). Alors le produit
\(X_1\cdots X_N\) a uneespérance si et
seulement si chaque \(X_j\) a une
espérance. Dans ces conditions l’espérance du produit est le produit des
espérances: \[\mathbb E(X_1\cdots
X_N)=\mathbb E(X_1)\cdots\mathbb E(X_N).\]
On le démontre d’abord pour
\(N=2\), et une récurrence permet de
passer au cas de \(N\) quelconque. Pour
\(N=2\), notons \(X=X_1\) et \(Y=X_2\) pour simplifier. On le démontre
d’abord dans le cas où \(X\) et \(Y\) sontétagées. Ceci fait, on suppose
ensuite que \(X\) et \(Y\) sont positives. Il est facile de
construire deux suites croissantes \((X_n)\) et \((Y_n)\) de v.a.étagées qui sont de plus
indépendantes. Comme \((X_nY_n)\) est à son tour une suite de v.a.
qui croit vers \(XY\), on arrive au
résultat. Quant au passage au cas où les \(X\) et \(Y\) ne sont plus positives, il est
standard.
Exercices
sur
Soit \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes
à valeurs dans les entiers \(\geq 0\)
de lois respectives données par \(P(X=n)=(1-p)^np\) et \(P(Y=n)=(1-q)^nq\), où \(p\) et \(q\) sont dans \(]0,1[.\) Montrer à l’aide de la deuxième
partie du Th. que \(U=X-Y\) et \(V=\mathrm{min}(X,Y)\) sont
indépendantes.
Soit unematrice carrée d’ordre 2 dont les coefficients sont des
variables aléatoires indépendantes et de même loi \(\frac{1}{2}\delta_{-1}+\frac{1}{2}\delta_{1}.\)
Calculer l’espérance du carrédudéterminant de cettematrice.
Bibliographie
Barre utilisateur
[ID: 95] [Date de publication: 15 février 2022 21:54] [Catégorie(s): Le cours de probabilités ] [
Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs:
1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ]
[nombre d'auteurs:
1 ] [Auteur(s): Gérard Letac ]
