Propriétés de base de la convolution.

Produit de convolution

Cette partie sera très enrichie par la lecture de la partie [convolutionenproba], consacrée à la convolution en probabilités, et de la partie [approximationdefonctions], consacrée à l’approximation de fonctions, et faisant un large usage du produit de convolution.

Définitions et généralités

(produit de convolution de $f$ et $g$).

Soient $f$ et $g$ deux applications de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$ mesurables.

Alors on appelle produit de convolution de $f$ et $g$ et on note $f*g$, la fonction $x\mapsto \int_{\mathbb{R}^n} f(x-y)g(y)d\mu(y)$.

La convolution servira beaucoup, beaucoup, beaucoup, pour les résultats d’approximation de la partie [approximationdefonctions] (notamment une version utile du lemme d’Urysohn [urysohn2]) et de la partie [convolutionenproba], consacrée à la convolution en probabilités. $\Arrowvert$ On remarquera que, pour tout $x\in {\mathbb{R}^n}$, la convolution est un produit scalaire entre entre la fonction $g$ et la fonction $y\mapsto f(x-y)$.

(Commutativité).

\[f* g=g* f\]

Résulte du changement de variable $u=x-y$.

(Domaine de définition de $f * g$).

$\bullet$Si $f$ et $g$ sont $L^1$ alors $f*g$ est $L^1$ et définie presque partout, et ${\parallel}fg {\parallel}_1 \leq {\parallel}f {\parallel}_1 \ {\parallel}g {\parallel}_1$.

$\bullet$Si $f$ est $L^\infty$ et $g$ $L^1$ alors $f*g$ est $L^\infty$ et définie partout.

$\bullet$Si $f$ est bornée sur tout compact (par exemple, $f$ continue) et si $g$ est $L^1$ à support compact alors $f*g$ est définie partout.

Ce résultat est utilisé par exemple dans la proposition [neko].

$\bullet$Simple application du théorème de Fubini (théorème [fubini]).

$\bullet$Pour le second point, $\int_{\mathbb{R}^n} |f(x-y)g(y)|d\mu(y) \leq M\int_{\mathbb{R}^n} |g(y)|d\mu(y)$ où $M$ est un majorant essentiel de $|f|$.

$\bullet$Pour le dernier, il suffit de voir que $t\mapsto f(x-t)$ admet un majorant sur le compact sur lequel $g(.)$ n’est pas nul.

Si $f$ est $L^1$ et si $g$ est $L^p$, pour $p\in [1,\infty]$, alors $f*g$ est définie presque partout et appartient à $L^p$; en outre ${\parallel}f*g {\parallel}_p \leq {\parallel}f {\parallel}_1\ {\parallel}g {\parallel}_p$.

Si $p=\infty$ ou si $p=1$, c’est le théorème précédent.

Considérons donc maitenant $1<p<\infty$.

$\bullet$$y \mapsto g(y)^p$ est $L^1$.

$\bullet$$\int |f(x-y)|\ |g(y)|^p dy$ est fini, par le cas $p=1$.

$\bullet$Posons $q$ tel que $\frac1p+\frac1q=1$.

$\bullet$$\int (|f(x-y)|^{1/p}\ |g(y)|)^pdy$ est fini.

$\bullet$Puisque $\int (| f(x-y)|^{1/q})^qdy$ est fini aussi, et par l’inégalité de Hölder [holder],

\[\int |f(x-y)|\ |g(y)|\ dy \mbox{ est fini aussi et}\]

\[\leq (\int (|f(x-y)|^{1/p}\ |g(y)|)^pdy)^{1/p}(\int |f(x-y)|)^{1/q}\]

\[\leq (\int(|f(x-y)|\ |g(y)|^p)dy)^{1/p}(\int |f(x-y)|)^{1/q}\]

par le cas $p=1$

\[\leq {\parallel}f(x-.){\parallel}_1^{1/p}\ {\parallel}g(.)^p {\parallel}_1^{1/p} {\parallel}f(x-.) {\parallel}_1^{1/q} \leq {\parallel}f {\parallel}_1\ {\parallel}g {\parallel}_p\]

D’où le résultat.

(Propriété fondamentale du produit de convolution).

$\bullet$Si $f$ est $C^k$ ($k\geq 0$) et si $g$ est $L^1$ à support compact, alors $f*g$ est $C^k$. En outre pour tout $\nu$ tel que $|\nu|\leq k$ $D^\nu(f*g)=(D^\nu f)*g$.

$\bullet$On a le même résultat si $f$ est $C^k$ à support compact et $g$ est $L^1$.

Ce théorème a pour conséquence la proposition [convpo], ou le résultat d’approximation [neko]. Il servira aussi pour le théorème [claire] : la densité de l’ensemble des fonctions $C^\infty$ à support compact dans $C^k(\mathbb{R}^n)$.

On démontre simplement le premier point, le second étant similaire.

$\bullet$On montre le résultat sur toute boule de rayon $R$, $B=B(0,R)$; c’est clairement suffisant pour avoir le résultat désiré.

$\bullet$On se donne $R'$ tel que le support de $G$ soit inclus dans la boule $B(0,R')$.

$\bullet$Pour tout $x$ dans $B$ et tout $y$ tel que $g(y)$ est non nul, $x+y$ est dans $B(0,R+R')$.

$\bullet$Il existe $M$ tel que la somme des $|D^\nu f|$ pour $|\nu|\leq k$ soit inférieure à $M$ sur $B(0,R+R')$.

$\bullet$On procède alors par récurrence sur $k$.

$\bullet$Initialisation de la récurrence : pour $k=0$, le résultat est donné par la continuité sous le signe intégral (voir théorème [condersom]).

$\bullet$Ensuite on suppose le résultat vrai jusqu’au rang $k$, et on se donne $\nu$ tel que $|\nu|=k+1$; alors pour un indice $i$ : $D^\nu={\frac{\delta}{\delta x_i}}D^\eta$ pour un certain $\eta$.

$\bullet$Les trois points suivants sont clairement vérifiés: \[y \mapsto D^\eta f(x-y)g(y)\mbox{ est intégrable}\] \[x \mapsto D^\eta f(x-y)g(y)\mbox{ est $C^1$}\] \[|D^\nu f(x-y)|\ |g(y)| \leq M|g(y)|\mbox{ qui est intégrable.}\]

$\bullet$Alors : \[D^\nu \int_{\mathbb{R}^n} f(x-y)g(y)d\mu(y)\] \[={\frac{\delta}{\delta x_i}}D^\eta \int_{\mathbb{R}^n} f(x-y)g(y)d\mu(y)\] \[={\frac{\delta}{\delta x_i}}\int_{\mathbb{R}^n} D^\eta f(x-y)g(y)d\mu(y)\] (par hypothèse de récurrence) \[=\int_{\mathbb{R}^n} {\frac{\delta}{\delta x_i}}D^\eta f(x-y)g(y)d\mu(y)\] (grâce aux résultats affirmés dans le $\bullet$précédent et grâce au théorème [condersom]) \[=\int_{\mathbb{R}^n} D^\nu f(x-y)g(y)d\mu(y)\]

D’où le résultat.

Zoologie de la convolution

Convoluée d’un polynôme

Si $f$ est un polynôme à une variable et si $g$ est $L^1$ à support compact, alors $f*g$ est un polynôme.

Il s’agit d’une application directe du théorème [popof]; il suffit de se rappeler qu’une application dont une dérivée est nulle est un polynôme.

On peut en fait étendre ce résultat au cas d’un polynôme à plusieurs variables.

Une fonction fondamentale pour la convolution

Il existe une fonction $\rho$ $C^\infty$ de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$, positive, d’intégrale $1$, de support inclus dans $B(0,1)$.

On peut par exemple considérer $\rho(x)=K\ \exp(-\frac1{1-{\parallel}x {\parallel}^2})$ si $x$ est de norme $\leq 1$ et $\rho(x)=0$ pour $x$ de norme $>1$, pour $K$ convenablement choisi. On trouvera au lemme [boulecinfini] une preuve du fait que cette fonction est convenable.

Voir le lemme [boulecinfini] et les pages suivantes pour des d’applications.

Pour tout $\epsilon$, il existe une fonction $\rho_\epsilon$ $C^\infty$, de support inclus dans $B(0,\epsilon)\subset \mathbb{R}^n$, et d’intégrale $1$.

On utilise simplement la fonction $\rho$ définie en [superfonction], avec $\rho_\epsilon(x)=(\epsilon^{-n}) \rho(x/\epsilon)$

On a pour applications les résultats d’approximation suivants:
– approximation d’ensembles mesurables par des fonctions $C^\infty$, voir proposition [neko] ;

approximations de fonctions $C^k$ par des fonctions $C^\infty$ à support compact; voir le théorème [claire] ;
approximations de fonctions $L^p$ par des fonctions $C^\infty$ à support compact: voir le théorème [fm].

Bibliographie

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[ID: 41] [Date de publication: 25 avril 2021 20:18] [Catégorie(s): Le cours d'agrégation ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 5 ] [Auteur(s): Christophe Antonini Olivier Teytaud Pierre Borgnat Annie Chateau Edouard Lebeau ]