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Généralités sur les polynômes à plusieurs indéterminées et zoologie.

Polynômes à plusieurs indéterminées

Cette partie sera délibérément très peu détaillée; beaucoup de démonstrations sont calquées sur le cas des polynômes à une indéterminée. On peut en première lecture se limiter à la partie [pol], ou l’on travaillera avec des polynômes à une seule indéterminée, et fournissant les méthodes permettant de s’attaquer à cette partie plus abstraite.

Généralités

(polynôme à \(n\) indéterminées à coefficients dans \(A\)).

Soit \(A\) un anneau commutatif unitaire.

On appelle polynôme à \(n\) indéterminées à coefficients dans \(A\) l’ensemble des applications presque nulles de \(\mathbb{N}^n\) dans \(A\). On note \(A[X_1,\dots,X_n]\) l’ensemble des polynômes à \(n\) indéterminées à coefficients dans \(A\). Par la suite, on dira souvent simplement, pour gagner en concision, polynôme.

On dit que \(P\in\mathbb{K}[X_1,\dots,X_n]\) est de degré \(d\) si \(d\) est le max des \(|\nu|\) tels que \(P_\nu\) est non nul (voir Définition [Nn] pour les rappels sur les opérations dans \(\mathbb{N}^n\)).

Si \(i\in [[1,n]]\), on dit que \(P\) est de degré \(d\) en \(X_i\) si le \(\sup\) des \(\nu_i\) tels que \(P_{\nu}\neq 0\) est \(d\).

On note \(X_i\) l’élément de \(A[X_1,\dots,X_n]\) nul partout sauf en \(\nu=(\delta_{i,j})_{j\in [1,n]}\), avec \(X_\nu=1\).

Etant donnés \(P\) et \(Q\) deux polynômes, on note \(R=P\times Q\) le produit de \(P\) et \(Q\) avec \[R_\nu=\sum_{\alpha+\beta=\nu} P_\alpha Q_\beta\] (pour les opérations dans \(N^n\), voir Définition [Nn]).

On appelle monôme un polynôme dont un seul élément est non nul.

On appelle dérivé formel d’un polynôme \(P\) par \(D^\nu\) pour \(\nu \in \mathbb{N}^n\) le polynôme \[\sum_{\alpha \in \mathbb{N}^n} \frac{(\nu+\alpha)!}{\alpha !}P_{\alpha+\nu}.\] On note parfois \(\frac{\delta}{\delta X_i}\) \(D^\nu\) avec \(\nu_j=(\delta_{i,j})_{j\in [1,n]}\).

On identifie \(A[X_1,\dots,X_n]\) à \(A[X_1,\dots,X_{n-1}][X_n]\).

On identifie \(A[X_1,\dots,X_p][X_{p+1},\dots,X_n]\) à \(A[X_1,\dots,X_n]\).

\(A[X_1,\dots,X_n]\) est intègre si et seulement si \(A\) est intègre.

\(A[X_1,\dots,X_n]\) est muni naturellement d’une structure de \(A\)-module. Muni de la multiplication définie plus haut, il s’agit d’une \(A\)-algèbre.

L’ensemble des monômes unitaires est une base de \(A[X_1,\dots,X_n]\).

Etant donnée \(B\) une \(A\)-algèbre associative commutative unitaire, \(P\in A[X_1,\dots,X_n]\) et \(x_1,...,x_n\) \(n\) éléments de \(B\), on appelle valeur de \(P\) en \((x_1,\dots,x_n)\) l’élément de \(B\) \(\sum_{\nu \in \mathbb{N}^n} P_\nu x_1^{\nu_1} x_2^{\nu_2} \dots x_n^{\nu_n}\). On note cet élément \(\tilde P(x_1,\dots,x_n)\). On constate ainsi qu’un polynôme \(P\) s’identifie naturellement à une application \(\tilde P\) de \(B^n\) dans \(B\). On note \(A[x_1,\dots,x_n]\) l’ensemble des \(\tilde P(x_1,\dots,x_n)\) pour \(P\in A[x_1,\dots,x_n]\).

Si \((x_1,\dots,x_n)\) vérifie \(\tilde P(x_1,\dots,x_n)=0\), on dit que \((x_1,\dots,x_n)\) est un zéro de \(P\).

Etant donné \((x_1,\dots,x_n)\) \(n\) éléments de \(B\), l’ensemble des polynômes \(P\) vérifiant \(P(x_1,\dots,x_n)=0\) est un idéal de \(A[X_1,\dots,X_n]\), engendré par les \((X_i-a_i)\) pour \(i\in [1,n]\).

Si \(A\) est un corps \(\mathbb{K}\)

Si \(\mathbb{K}\) est un corps, \(\mathbb{K}[X_1,\dots,X_n]\) est naturellement muni d’une structure de \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel . Formule de Taylor, si \(\mathbb{K}\) est un corps de caractéristique nulle : soit \(P\in \mathbb{K}[X]\), alors \[P=\sum_{\nu\in \mathbb{N}^n} \frac{1}{\nu !} (D^\nu P)(0)X^\nu.\]

Zoologie des polynômes à plusieurs indéterminées: les polynômes symétriques

Attention \(A\) est supposé ici anneau commutatif et unitaire.

(polynôme symétrique).

Soit \(P \in A[X_1,\dots,X_n]\). \(P\) est dit polynôme symétrique si et seulement si pour tout \(\sigma\) permutation de \([1,...,n]\), \(P(X_1,...,X_n)=P(X_{\sigma(1)},X_{\sigma(2)},...,X_{\sigma(n)})\).

On appelle polynômes symétriques élémentaires les polynômes de la forme \[\Sigma_{k,n}=\sum_{1\leq a_1 \leq a_2 \leq ... \leq a_k\leq n} X_{a_1}X_{a_2}...X_{a_k}\mbox{ pour }1\leq k \leq n\]

On appelle \(k\)-ième polynôme de Newton le polynôme \(\displaystyle N_k=\sum_{i=1}^n X_i^k\).

Les polynômes symétriques élémentaires sont de la forme suivante, dans le cas \(n=3\): \[\begin{aligned} \Sigma_{1,3}&=&X_1+X_2+X_3\\ \Sigma_{2,3}&=&X_1X_2+X_2X_3+X_1X_3\\ \Sigma_{3,3}&=&X_1X_2X_3\end{aligned}\]

Apllication On verra en section [apposy] une application des polynômes symétriques en géométrie et en section [rlb5] une application aux polynômes à une indéterminée.

On ne donnera pas ici de preuve des résultats énoncés; on pourra se référer à [TAU]. On a les propriétés suivantes:

\(\bullet\)Les polynômes symétriques élémentaires sont symétriques (évident).

\(\bullet\)Les polynômes de Newton sont symétriques (évident).

\(\bullet\)Si \(Q\) est un polynôme à \(n\) indéterminées, alors \(P=Q(\Sigma_{1,n},\Sigma_{2,n},...,\Sigma_{n,n})\) est un polynôme symétrique (facile).

\(\bullet\)Si \(P \in A[X_1,...,X_n]\) est symétrique, alors il existe un polynôme \(Q\) tel que \(P=Q(\Sigma_{1,n},\Sigma_{2,n},...,\Sigma_{n,n})\) (pas évident du tout, récurrence sur le nombre d’indéterminées et sur le degré du polynôme.

\(\bullet\)Relations de Newton: Si \(1\leq k \leq n\) on a \[N_k=\sum_{i=1}^{k-1} (-1)^i N_{k-i}\Sigma_{i,n}+(-1)^k k \Sigma_{k,n}.\] \[\mbox{Si $n\leq k$, on a }N_k=\sum_{i=1}^{n} (-1)^i N_{k-i}\Sigma_{i,n}.\]

Bibliographie

  • [TAU] P. Tauvel, Mathématiques générales pour l’agrégation, Masson, 1997.


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[ID: 40] [Date de publication: 25 avril 2021 20:17] [Catégorie(s): Le cours d'agrégation ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 5 ] [Auteur(s): Christophe Antonini Olivier Teytaud Pierre Borgnat Annie Chateau Edouard Lebeau ]




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