Le but de ce chaitre n’est pas d’épuiser les richesses de ce sujet très technique que sont les formes différentielles. De nombreuses définitions et de nombreux théorèmes seront donnés sans justification, notamment dans les fondements des formes différentielles, au niveau des propriétés d’algèbre multilinéaire. Le lecteur est renvoyé à [CAR] s’il souhaite approfondir le sujet.
Généralités, rappels sur les applications multilinéaires
Définition d’une forme différentielle
Définissons tout d’abord ce qu’est une application différentielle:
(forme différentielle de degré \(p\) sur \(U\) à valeurs dans \(F\)).
Soit \(U\) un ouvert de \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace de Banach, soit \(F\) un \(\mathbb{R}\)-espace de Banach.
On appelle forme différentielle de degré \(p\) sur \(U\) à valeurs dans \(F\) une application de \(U\) dans \({\cal A}_p(E;F)\)1.
La forme différentielle est dite de classe \(C^n\) si l’application est \(C_n\) (pour \(n\in \mathbb{N}\cup \{ \infty\}\)).
On note \(\Omega^{(n)}_p(U,F)\) l’ensemble des \(p\) formes différentielles de \(U\) dans \(F\) de classe \(C^n\).
Deux exemples:
une application \(C^n\) de \(E\) dans \(F\) est une \(0\)-forme différentielle de \(E\) dans \(F\), de classe \(C^n\).
si \(n>0\), sa différentielle est une forme \(1\)-différentielle de classe \(C^{n-1}\).
Nous allons définir plus loin de nombreuses opérations sur cet outil, mais tout d’abord nous devons rappeler certaines propriétés des applications multilinéaires.
Etant donnée une application \(\phi\) bilinéaire de \(F\times G\) dans \(H\), on définit une multiplication d’applications \(p\)-linéaires alternées par: \[{\cal A}_p(E,F) \times {\cal A}_q(E,G) \to {\cal A}_{p+q}(E,H)\]\[(f,g) \mapsto f \land_\phi g\] définie par \[(f\land_\phi g)(x_1,\dots,x_{p+q})=\sum_{\sigma} \epsilon(\sigma) \phi(f(x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)},\dots,x_{\sigma(p)}),g(x_{\sigma(p+1)},x_{\sigma(p+2)},\dots,x_{\sigma(p+q)}))\] La sommation étant étendue à l’ensemble des permutations \(\sigma\) de \([1,n]\) telles que \(\sigma(1) < \sigma(2) < \dots < \sigma(p)\) et \(\sigma(p+1) < \sigma(p+2) < \dots < \sigma(p+q)\).
Remarque Il conviendrait de montrer que \(f\land_\phi g\) est bien \(p+q\) linéaire, continue et alternée.
Remarque souvent on s’abstiendra de noter \(\land_\phi\); on se contentera de \(\land\). \(\phi\) sera souvent implicitement l’application la plus intuitive; par exemple si \(H\) et \(G\) sont égaux et si \(F\) est \(\mathbb{R}\), on utilisera le produit d’un élément d’un Banach par un réel.
(Propriété du produit d’applications multilinéaires).
\(\land_\phi\) est bilinéaire.
(Propriétés du produit de formes multilinéaires).
\(\bullet\)Si \(f\) appartient à \({\cal A}_p(E,\mathbb{R})\) et \(g\) appartient à \({\cal A}_q(E,\mathbb{R})\), alors \(f\land g=(-1)^{pq} g \land f\)
\(\bullet\)Si \(f\) ppartient à \({\cal A}_p(E,\mathbb{R})\), \(g\) appartient à \({\cal A}_q(E,\mathbb{R})\) et \(h\) appartient à \({\cal A}_r(E,\mathbb{R})\), alors \((f\land g)\land h=f\land (g \land h)\).
\(\bullet\)Si les \(f_i\) sont des formes linéaires continues sur \(E\) (dans \(\mathbb{R}\)), pour \(i\in [1,n]\), alors \[f_1 \land \dots \land f_n (x_1,\dots,x_n) = \sum_{\sigma\in \sigma^n} \epsilon(\sigma) f_i(x_{\sigma(i)})=det\ (f_i(x_j))_{i,j}\]
(Propriétés des application \(p\)-linéaires avec \(\dim E = n\)).
\(E\) est ici supposé isomorphe à \(\mathbb{R}^n\).
Toute application \(p\)-linéaire de \(E\) dans \(F\) s’écrit de manière unique \[x\mapsto \sum_{1\leq i_1<i_2<\dots<i_p\leq n} \underbrace{c_{i_1,\dots,i_p}}_{\in F} e_{i_1}^*\land e_{i_2}^* \land \dots e_{i_p}^*\] avec la famille des \(e_i^*\) la base duale de la base des \(e_i\) (base canonique de \(\mathbb{R}^n\)), c’est-à-dire que les \(e_i^*\) sont les formes qui donnent les coordonnées d’un point.
En particulier, si \(p=n\), l’application s’écrit \(x\mapsto (e_1^* \land e_2^* \land \dots \land e_n^*)(x)c\), avec \(c\) un élément de \(F\), et si \(p>n\), l’application est nécessairement nulle.
Application de tout ça aux formes différentielles
(Produit extérieur de formes différentielles).
\(U\) désigne un ouvert d’un espace de Banach \(E\). \(F\), \(G\) et \(H\) sont des espaces de Banach .
On se donne \(\phi\) une application bilinéaire de \(F\times G\) dans \(H\). On suppose que \(f\in \Omega^{(n)}_p(U,F)\) et que \(g\in \Omega^{(n)}_q(U,G)\).
On définit alors le produit extérieur des forme différentielle s \(f\) et \(g\)\(f\land_\phi g\in \Omega^{(n)}_{p+q}(U,H)\) par \[f\land_\phi g: x\mapsto f(x) \land_\phi g(x)\]
La notation est abusive du fait que l’on garde la même notation que pour le produit d’applications multilinéaires. Là aussi on négligera souvent de préciser \(\land_\phi\), et on gardera \(\land\).
Si \(F=G=H=\mathbb{R}\), \(\phi\) est alors généralement implicitement le produit usuel. Alors le produit de formes différentielle est anticommutatif et associatif, et \[({\omega}_1 \land {\omega}_2 \land \dots \land w_n)(x)(h_1,\dots,h_n)=\sum_{\sigma\in\sigma_n} \epsilon(\sigma) w_1(x)(h_{\sigma(1)})w_2(x)(h_{\sigma(2)})\dots w_n(x)(h_{\sigma(n)})=det\ ({\omega}_i(e_j)_{i,j})\]
1 Espace des applications \(p\)-linéaires alternées continues de \(E\) dans \(F\). Cet espace est un Banach, car c’est un sous-espace vectoriel fermé de \({\cal L}_p(E,F)\) (qui est un Banach comme chacun sait).
Bibliographie
[CAR] H. Cartan, Calcul différentiel, Hermann, 1977.
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[ID: 23] [Date de publication: 13 mars 2021 16:25] [Catégorie(s): Le cours d'agrégation ] [
Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs:
1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ]
[nombre d'auteurs:
6 ] [Auteur(s): François Capaces Christophe Antonini Olivier Teytaud Pierre Borgnat Annie Chateau Edouard Lebeau ]
