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Nous proposons dans ce chapitre construction de \({ \mathbb Z}\) à partir de l’ensemble des entiers naturels \({\mathbb N}\).

Construction de \({ \mathbb Z}\) à partir de \({\mathbb N}\)

En supposant connues les propriétés élémentaires de l’ensemble \({\mathbb N}\) et de l’addition des entiers naturels, nous allons donner une construction rigoureuse de \({ \mathbb Z}\) et de l’addition des entiers relatifs. Dans cette construction, \({ \mathbb Z}\) apparaı̂tra sous forme d’un quotient de \({\mathbb N}\times{\mathbb N}\) par une relation d’équivalence. Ce paragraphe est aussi l’occasion de rappeler les notions de relation d’équivalence et d’ensemble quotient, notions centrales pour le reste du cours.

(relation sur \(X\)).
Soit \(X\) un ensemble. Une relation sur \(X\) est un ensemble \(R\subset X\times X\) de couples d’éléments de \(X\). On écrit \(x R x'\) au lieu de \((x,x')\in R\). Une relation \(R\) est une relation d’équivalence si elle est
  • réflexive (i.e. pour tout \(x\in X\), on a \(x R x\))

  • symétrique (i.e. on a équivalence entre \(x R x'\) et \(x' R x\) quels que soient \(x,x'\in X\))

  • transitive (i.e. les conditions \(x R x'\) et \(x' R x''\) impliquent que \(x R x''\) quels que soient \(x,x',x''\in X\))

  • Soit \(V\) l’ensemble des villes de France. On définit une relation \(R\) sur \(V\) en déclarant que \(v R v'\) signifie que \(v\) et \(v'\) se trouvent dans la même région. Il est facile de vérifier qu’il s’agit d’une relation d’équivalence.

  • Soit \(X={\mathbb N}\times {\mathbb N}\) et définissons \(R\) par \[(x,y) R (x',y') \Leftrightarrow x+y'= y+x'.\] Par exemple, on a \((0,1) R (1,2)\) et \((1,2) R (2,3)\). La réflexivité et la symétrie de \(R\) résultent de la commutativité de l’addition des entiers positifs. Montrons que \(R\) est transitive. En effet, par définition, les conditions \((x,y) R (x',y')\) et \((x',y') R (x'',y'')\) équivalent aux équations \[\begin{aligned} x+y' & = & y + x' \newline x' + y'' & = & y' + x''\end{aligned}\] En rajoutant la première à la seconde on obtient \[x+y'+x'+y'' = y+x'+y'+x''\] ou encore \[x+y''+(x'+y') = x'' + y + (x'+y').\] Or on sait que la loi d’addition sur \({\mathbb N}\) est régulière c’est-à-dire qu’une égalité \(a+c=b+c\) implique \(a=b\) quels que soient \(a,b,c\in{\mathbb N}\). Il s’ensuit que \(x+y''=x''+y\) c’est-à-dire que \((x,y) R (x'',y'')\). Notons que dans cette démonstration, nous avons utilisé l’associativité, la commutativité et la régularité des entiers naturels.

(classe d’équivalence de \(x\) par rapport à \(R\)).
Soit \(X\) un ensemble et \(R\) une relation d’équivalence sur \(X\). Pour \(x\in X\), on pose \[\mbox{ }^R\overline{x} = \{ x'\in X \;| \; x R x' \; \} \subset X\] et on appelle classe d’équivalence de \(x\) par rapport à \(R\) cette partie de \(X\). Par définition, l’ensemble \(X/R\) est formé des classes \(\mbox{ }^R\overline{x}\) d’éléments \(x\in X\). On appelle \(X/R\) le quotient de \(X\) par la relation d’équivalence \(R\). On définit l’application quotient (=la projection canonique) \(q : X \rightarrow X/R\) par \(q(x)=\mbox{ }^R\overline{x}\). Une partie de \(X\) est un système de représentants pour \(R\) si elle contient un élément de chaque classe d’équivalence et un seul.
  • Dans l’exemple des villes de France (voir ci-dessus) la classe d’équivalence d’une ville \(v\) est formée de toutes les villes qui se trouvent dans la même région que \(v\). En particulier deux classes \(\overline{v}\) et \(\overline{v'}\) sont égales ssi \(v\) et \(v'\) se trouvent dans la même région. Les éléments de \(V/R\) sont des ensembles de villes, deux villes étant regroupé dans un même ensemble ssi elles se trouvent dans la même région. On a donc une bijection \[X/R \stackrel{_\sim}{\rightarrow}\{\mbox{régions de France}\}\: , \; \overline{v} \mapsto \mbox{la région où se trouve v}.\] Il existe beaucoup de systèmes de représentants. Par exemple, l’ensemble \(V_0\) formé des capitales des régions en est un. L’ensemble \(V_1\) formé des villes les plus éloignées de la capitale dans leur région en est un autre.

  • Dans le cas de l’exemple \(X={\mathbb N}\times {\mathbb N}\) et de la relation \(R\) introduite ci-dessus on vérifie que \((x,y) R (x',y')\) si et seulement si l’une des deux conditions suivantes est remplie

    • il existe \(d\in{\mathbb N}\) tel que \(x'=x+d\) et \(y'=y+d\)

    • il existe \(d\in{\mathbb N}\) tel que \(x=x'+d\) et \(y=y'+d\).

    Ainsi, deux éléments appartiennent à une même classe d’équivalence si on peut passer de l’un à l’autre en ajoutant un même entier naturel aux deux coordonnées. Les classes sont donc des ‘parties diagonales’ du plan \({\mathbb N}\times{\mathbb N}\) :

    Il y a beaucoup de systèmes de représentants. Par exemple \[X_0 = \{0\}\times{\mathbb N}\cup {\mathbb N}\times\{0\} = \{ \ldots, (0,3), (0,2), (0,1), (0,0), (1,0), (2,0), \ldots \}\] en est un. On définit l’ensemble \({ \mathbb Z}_{ax}\) (\({ \mathbb Z}\) axiomatique) comme étant l’ensemble quotient \(({\mathbb N}\times{\mathbb N}) / R\).

(1).
Propriété universelle de \(X/R\) Soit \(X\) un ensemble, \(R\) une relations d’équivalence sur \(X\) et \(f:X \rightarrow Y\) une application constante sur les classes d’équivalence par rapport à \(R\) (c’est-á-dire qu’on a \(f(x)=f(x')\) à chaque fois que \(x R x'\)). Alors il existe une application \(g: X/R \rightarrow Y\) et une seule telle que \(f=g\circ q\). Réciproquement, toute application de la forme \(g\circ q\) est constante sur les classes d’équivalence.

Le lemme signifie que la règle \(g(\overline{x})=f(x)\) définit une application \(g:X/R \rightarrow Y\) si et seulement si on a \(f(x)=f(x')\) quels que soient \(x,x'\in X\) vérifiant \(x R x'\).
On pose \(g(\overline{x})=f(x)\). Il s’agit de vérifier que \(f(x)\) est indépendant du représantant \(x\) de la classe \(\overline{x}\). Or si \(x'\) en est un autre, c’est-à-dire que \(\overline{x}=\overline{x'}\), alors par définition, on a \(x R x'\) et donc \(f(x)=f(x')\).
Il existe une application \(g: { \mathbb Z}_{ax} \rightarrow { \mathbb Z}\) et une seule telle que \(g(\overline{(x,y)})=x-y\). En effet, si \((x,y)R(x',y')\) alors \(x+y'=y+x'\) et donc \(x-y=x'-y'\). L’application \(g\) est bijective : En effet, elle est surjective car si \(n\in{ \mathbb Z}\), on a \(n=g(\overline{(n,0)})\) si \(n\geq 0\) et \(n=g(\overline{(0,-n)})\) si \(n<0\). Elle est injective car si on a \(x-y=x'-y'\), alors \(x+y'=x'+y\) c’est-à-dire que \((x,y) R (x',y')\) et que \(\overline{(x,y)}=\overline{(x',y')}\).
(1).
Addition sur \({ \mathbb Z}_{ax}\) Il existe une application \[{ \mathbb Z}_{ax} \times { \mathbb Z}_{ax} \rightarrow { \mathbb Z}_{ax}\] et une seule telle que \[\overline{(a,b)} + \overline{(c,d)} = \overline{(a+c, b+d)}.\]
Il s’agit de montrer que \(\overline{(a+c, b+d)}=\overline{(a'+c', b'+d')}\) si \((a,b) R (a',b')\) et \((c,d) R (c',d')\). Nous laissons au lecteur le soin de cette vérification.
(groupe).
Un groupe est un couple \((G, \star)\) formé d’un ensemble \(G\) et d’une application \[\star : G\times G \rightarrow G \: , \;(g,h) \mapsto g\star h\] appelée la loi du groupe telle que
  • la loi \(\star\) est associative (i.e. on a \((x\star y)\star z= x\star(y\star z)\) quels que soient \(x,y,z\in G\))

  • la loi \(\star\) admet un élément neutre (i.e. il existe \(e\in G\) tel que \(x\star e = e\star x=x\) quel que soit \(x\in G\))

  • tout élément \(x\) de \(G\) admet un inverse \(x'\) pour la loi \(\star\) (i.e. on a \(x\star x'= e = x'\star x\))

Un groupe \((G,\star)\) est commutatif si on a \(x\star y = y \star x\) quels que soient \(x,y\in G\).
  • Si les conditons a) et b) sont vérifiées, alors l’élément neutre \(e\) est unique. En effet, soient \(e\) et \(e'\) deux éléments neutres. Alors on a \(e=e\star e'\) (car \(e'\) est neutre) et \(e\star e'=e'\) (car \(e\) est neutre) et donc \(e=e'\).

  • Si les conditions a), b) et c) sont vérifiées, l’élément inverse \(x'\) de la conditon c) est unique. En effet, supposons que \(x'\) et \(x''\) sont deux éléments inverses à \(x\). Alors on a \[x'=x'\star e=x'\star(x\star x'')= (x'\star x)\star x'' = e\star x''=x''.\] On note \(x^{-1}\) l’élement inverse de \(x\).

  • Le couple \(({\mathbb N}, +)\) vérifie a) et b) (pour \(e=0\)) mais non pas c) car l’équation \(n+n'=0\) n’admet pas de solution \(n'\in{\mathbb N}\) si \(n>0\).

  • Le couple \(({ \mathbb Z}_{ax}, +)\) est un groupe. En effet, on vérifie facilement l’associativité. L’élément neutre est la classe de \((0,0)\). L’inverse de la classe de \((a,b)\) est la classe de \((b,a)\) ! En effet, nous avons \[\overline{(a,b)}+\overline{(b,a)} = \overline{(a+b, a+b)} = \overline{(0,0)}.\]

(1).
Propriété universelle de \({ \mathbb Z}_{ax}\) Soit \(\iota\) l’application \[\iota :{\mathbb N}\rightarrow { \mathbb Z}_{ax}\: , \;n \rightarrow \overline{(n,0)}.\] On a \(\iota(n+n')=\iota(n)+\iota(n')\) et si \(\phi : {\mathbb N}\rightarrow G\) est une autre application de \({\mathbb N}\) vers un groupe \(G\) telle que \(\phi(n+n')=\phi(n)\star \phi(n')\), alors il existe une application \(\psi: { \mathbb Z}_{ax}\rightarrow G\) et une seule telle que a) \(\psi\circ \iota = \phi\) et b) \(\psi(x+x')=\psi(x)\star \psi(x')\) quels que soient \(x,x'\in { \mathbb Z}_{ax}\).
On peut interpréter ce lemme en disant que \({ \mathbb Z}_{ax}\) (et donc \({ \mathbb Z}\)) est le groupe universel contenant \({\mathbb N}\).
Il est immédiat que \(\iota\) est additive. Supposons donnée une application \(\phi\) comme dans l’énoncé. Définissons \(f: {\mathbb N}\times{\mathbb N}\rightarrow G\) par \(f((a,b))=\phi(a)\star\phi(b)^{-1}\). Montrons que \(f\) induit une application \({ \mathbb Z}_{ax}\rightarrow G\), Supposons que \((a,b) R (a',b')\) et donc que \(a+b'=b+a'\). Alors pour montrer que \[\phi(a)\phi(b)^{-1} = \phi(a') \phi(b')^{-1}\] il suffit de montrer que \[\phi(a)\phi(b)^{-1} \phi(b) \phi(b') = \phi(a') \phi(b')^{-1} \phi(b) \phi(b').\] En utilisant que \(\phi(b)\phi(b')=\phi(b+b')=\phi(b')\phi(b)\) nous sommes ramenés à montrer que \[\phi(a)\phi(b')=\phi(a')\phi(b)\] ce qui est clair car \(\phi(a)\phi(b')=\phi(a+b')\) et \(\phi(a')\phi(b)=\phi(a'+b)\). Montrons l’unicité de \(\psi\). En effet, si \(\psi\) et \(\psi'\) vérifient les hypothèses, nous avons \[\psi(\overline{(n,0)})=\psi\circ\iota(n)= \phi(n)=\psi'\circ\iota(n)= \psi'(\overline{(n,0)}).\] En outre, si \(x'=\overline{(0,n)}\), alors \(\psi(x')\) et \(\psi'(x')\) sont tous les deux inverses de \(\psi(x)=\psi'(x)\)\(x=\overline{(n,0)}\). Donc \(\psi(x')=\psi'(x')\). Comme les \((0,n)\) et les \((n,0)\), \(n\in{\mathbb N}\), forment un système de représentants des classes d’équivalence par rapport à \(R\), il s’ensuit que \(\psi=\psi'\).

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    [ID: 9] [Date de publication: 25 novembre 2020 13:03] [Catégorie(s): Le cours d'arithmétique ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Bernhard Keller ]




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