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Nous nous intéressons dans ce chapitre à la notion de classe d’équivalence.

Congruences

(congru).
Soient \(n\geq 1\) un entier et \(a,b\in{ \mathbb Z}\). On dit que \(a\) est congru à \(b\) modulo \(n\) s’il existe un \(k\in{ \mathbb Z}\) tel que \(a=b+k\,n\). On écrit alors \[a\equiv b\;(n) \mbox{ ou } a\equiv_n b \mbox{ ou } a = b\, \mbox{\rm mod}\,n.\]
( ).
On a \(a\equiv b\;(n)\) si et seulement si \(a\) et \(b\) ont le même reste dans la division euclidienne par \(n\). En effet, si nous avons \(a=q n+ r\) et \(b=q' n+r\), alors \(a=b +(q-q')\,n\) et \(a\equiv b\;(n)\). Réciproquement, si \(a=q\,n+r\) et \(b=q'\, n+r'\) et que \(a=b+k\,n\), alors \[a=b+k\,n=q'\, n +r'+k\,n= (q'+k)\,n +r' = q\,n + r\] et par l’unicité de la division euclidienne, il s’ensuit que \(r=r'\) (et \(q=q'+k\)).
( ).
Nous avons \(6\equiv -15\;(7)\) car \(6=-15+3\times 7\). Notons que \(-15\) a effectivement le même reste que \(6\) pour la division euclidienne par \(7\) car \(-15=(-3)\times 7 + 6\).
( ).
  • La relation \(\equiv_n\) est une relation d’équivalence.

  • Si \(a\equiv a'\;(n)\) et \(b\equiv b'\;(n)\), alors \(a+b\equiv a'+b'\;(n)\) et \(a\,b \equiv a'\,b'\;(n)\). Dans ce cas, on a aussi \(a^m\equiv a'^m\;(n)\) pour tout \(m\in{\mathbb N}\).

  • Les nombres \(0,1,\ldots, n-1\) forment un système de représentants des classes par rapport à \(\equiv_n\).

( ).

a) La relation est réflexive car nous avons \(a=a+0\times n\) pour tout \(a\in{ \mathbb Z}\). Elle est symétrique car si nous avons \(a=b+k\,n\) alors nous avons \(b=a+(-k)\,n\). Elle est transitive, car si nous avons \(a=b+k\,n\) et \(b=c+l\,n\), alors nous avons \(a=(c+l\,n)+k\,n=c+(l+k)\,n\).

b) Supposons que \(a=a'+k\,n\) et que \(b=b'+l\,n\). Alors \(a+b=a'+b'+(k+l)\,n\) et \[a\,b=(a'+k\,n)(b'+l\,n)=a'\,b'+a'ln+knb'+klnn= a'\,b'+(a'l+kb'+kln)\,n.\] La dernière affirmation s’ensuit par récurrence sur \(m\).

c) Tout \(a\in{ \mathbb Z}\) est équivalent par \(\equiv_n\) à un et un seul des nombres \(0,1,\ldots, n-1\). En effet, cette affirmation est une reformulation de l’existence et de l’unicité du reste dans la division euclidienne de \(a\) par \(n\).
(classe).
On pose \[{ \mathbb Z}/n{ \mathbb Z}\;= \; { \mathbb Z}/\equiv_n.\] On note \(\mbox{ }^n\overline{a}\) ou \(\overline{a}\) (ou même \(a\)) la classe de \(a\in{ \mathbb Z}\). Les éléments de \({ \mathbb Z}/n{ \mathbb Z}\) sont donc les \(\overline{a}\), \(a\in{ \mathbb Z}\). On munit \({ \mathbb Z}/n{ \mathbb Z}\) des deux lois \[\begin{aligned} +\;: { \mathbb Z}/n{ \mathbb Z}\times { \mathbb Z}/n{ \mathbb Z}\stackrel{ }{\longrightarrow} { \mathbb Z}/n{ \mathbb Z}, & & (\overline{a}, \overline{b}) \mapsto \overline{a}+\overline{b}:= \overline{a+b} \newline \cdot\;: { \mathbb Z}/n{ \mathbb Z}\times { \mathbb Z}/n{ \mathbb Z}\stackrel{ }{\longrightarrow} { \mathbb Z}/n{ \mathbb Z}, & & (\overline{a}, \overline{b}) \mapsto \overline{a}\cdot\overline{b}:= \overline{a\cdot b} \end{aligned}\]
( ).
  • Grâce au lemme ci-dessus les deux lois sont bien définies.

  • Par définition de la notion de ‘classe d’équivalence’, nous avons \[\mbox{ }^n\overline{a} = \mbox{ }^n\overline{b} \mbox{ si et seulement si } a\equiv b\;(n).\] Par conséquent, deux classes \(\overline{a}\) et \(\overline{b}\) sont égales ssi les restes de \(a\) et \(b\) par la division euclidienne par \(n\) sont égaux.

  • D’après le lemme ci-dessus, les classes \[\overline{0}, \overline{1}, \ldots, \overline{n-1}\] sont distinctes deux à deux et toute classe est égale à une d’entre elles. Ces classes constituent donc la liste (exhaustive et sans répétitions) des éléments de \({ \mathbb Z}/n{ \mathbb Z}\). En particulier, \({ \mathbb Z}/n{ \mathbb Z}\) est de cardinal \(n\).

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    [ID: 11] [Date de publication: 25 novembre 2020 13:05] [Catégorie(s): Le cours d'arithmétique ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Bernhard Keller ]




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