Lecture zen
Giuseppe Peano s’intéressa au début de sa carrière au calcul infinitésimal qu’il participe à formaliser et à rendre plus rigoureux. À partir de 1887, son travail se porte sur la construction formelle des mathématiques et il définit de manière axiomatique l’ensemble des entiers naturels. Ce système d’axiomes porte maintenant son nom. Grâce aux travaux de Grassmann, il axiomatise la notion d’espace vectoriel.
À partir de 1900, il s’attelle à deux grands chantiers. Le premier consiste en la construction d’un langage international qu’il baptisa Interlingua basé sur un latin simplifié et augmenté de vocabulaire anglais, allemand et français. Le second est l’écriture d’une encyclopédie mathématique Formulario Mathematico utilisant le formalisme qu’il a inventé et qui vise à contenir toutes les mathématiques alors connues. Notons que Peano, excellent enseignant au début de sa carrière finit sa vie piètre pédagogue, ses cours étant rendu complètement obscurs par ses notations.
Bases de l’algèbre linéaire.
Espaces vectoriels et applications linéaires
Bases de l’algèbre linéaire.
Pour bien aborder ce chapitre
La géométrie prédominait dans les mathématiques grecques et il fallut attendre Descartes au \(17^{\textrm{ e}}\) siècle pour faire le lien, grâce à la notion de repère, entre les notions géométriques :
et celles algébriques
Cette approche s’avéra féconde à la fois pour les géomètres et les analystes. Elle offrit aux premiers toute la puissance de l’analyse pour traiter des problèmes de géométrie et, au second, les représentations de la géométrie pour visualiser et énoncer les phénomènes de l’analyse.
La généralisation des notions géométriques du plan \(\mathbb{R}^2\) et de l’espace \(\mathbb{R}^3\) à des espaces de dimension plus grande n’a pas été immédiate. Il manquait le formalisme pour pouvoir aborder ce problème. C’est le mathématicien allemand autodidacte Hermann Grassmann qui, au \(19^{\textrm{ e}}\) siècle, esquissa les notions d’espace vectoriel et de dimension. Son travail était d’un abord difficile et c’est grâce au mathématicien italien Giuseppe Peano que ces concepts se précisèrent et prirent leur forme définitive.
Les mathématiciens disposèrent alors d’outils permettant d’aborder des problèmes de géométrie en dimension quelconque. Cependant c’est l’analyse qui donnera aux espaces vectoriels toute leur importance.
À la fin du \(19^{\textrm{ e}}\) siècle et au début du \(20^{\textrm{ e}}\) siècle, les mathématiciens allemands étudient des espaces de fonctions et créent l’ analyse fonctionnelle. Les espaces étudiés ont des structures d’espace vectoriel. Le mathématicien polonais Stefan Banach écrira, dans sa thèse, que plutôt que d’étudier des problèmes particuliers et de démontrer isolément leurs propriétés, une meilleure stratégie est de prouver ces propriétés pour des ensembles généraux pour lesquels on a postulé des propriétés, puis de montrer que ces axiomes sont vérifiés par les problèmes particuliers.
Cette approche fonde en quelque sorte les mathématiques modernes. On introduit et étudie dans un premier temps des structures (groupe, anneau, corps, espace vectoriel, ...) puis on vérifie à quelle catégorie se rattache un exemple particulier donné. Il hérite alors de toutes les propriétés de la catégorie à laquelle il appartient.
Les premiers pas en algèbre linéaire sont en général difficiles et rebutants. La difficulté ne tient pas tellement, contrairement à ce qu’on pourrait penser, à la difficulté des raisonnements mathématiques ou à l’abstraction des notions utilisées. Elle réside plutôt dans le caractère nouveau de ces raisonnements et de ces notions. Un conseil, ne vous laissez pas impressionner, ne vous braquez pas. Le temps et le travail aidant, vous allez vite comprendre dans quel nouvel endroit vous avez mis les pieds et, passé la phase de découverte, vous allez vite vous sentir en sécurité. Les chapitres [geom_plan] et [geom_espace] de géométrie dans le plan et dans l’espace vont vous être d’un grand secours car ils vous aideront à vous forger des représentations et ils guideront votre intuition.
Espace vectoriel
Dans tout ce chapitre \(\mathbb{K}\) désigne le corps \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\).
Définitions
Nous allons donner les axiomes qui définissent un espace vectoriel.
(\(\mathbb{K}\)-espace vectoriel). Soit \(\left(\mathbb{K},+,\times\right)\) un corps. On appelle espace vectoriel sur le corps \(\mathbb{K}\) tout ensemble \(E\) muni d’une loi de composition interne \(+\) (addition) \[+: \left\{ \begin{array}{ccl} E\times E & \longrightarrow & E \\ \left(x,y\right) & \longmapsto & x+y \end{array} \right.\] et d’une loi de composition externe \(\cdot\) (multiplication par un scalaire) \[\cdot: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{K}\times E & \longrightarrow & E \newline \left(\lambda,x\right) & \longmapsto & \lambda\cdot x \end{array} \right.\] telles que
On vous avait prévenu, cela peut sembler abstrait... Cela ne l’est en fait pas tant que ça. Un espace vectoriel est un ensemble sur lequel on peut définir une addition et une multiplication par un scalaire et rien de plus, si ce n’est que cette addition et cette multiplication doivent vérifier les axiomes ci-dessus. Vous connaissez un certain nombre d’ensembles de ce type :
Prenons tout de suite de bonnes habitudes. Il est essentiel de bien distinguer les notions vectorielles des notions affines. Les espaces affines sont ceux que vous connaissez depuis le collège. Dans un espace affine :
Si on fixe une origine \(O\) dans notre espace affine, ses points peuvent être identifiés aux vecteurs d’origine \(O\). Ce sont ces vecteurs qui nous intéressent dans un espace vectoriel. La notion de point n’a pas de sens. Dans un espace vectoriel :
Autant il est utile parfois de se représenter certaines notions d’algèbre linéaire dans le plan ou dans l’espace, autant parfois ceci est impossible...Cela n’est en général pas gênant...
Espaces produits
Soit \(\left(\mathbb{K},+,\cdot\right)\) un corps. Alors \(\left(\mathbb{K},+,\cdot\right)\) est un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel.
L’addition dans \(\mathbb{K}\) est une loi interne sur \(\mathbb{K}\) et la multiplication sur \(\mathbb{K}\) peut être vue comme une loi externe. On vérifie facilement que ces deux lois vérifient les axiomes définissant un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel.
On va munir l’ensemble des couples de réels \(\mathbb{R}^2\) d’une structure de \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel. On définit une addition et une multiplication par un scalaire ainsi. Pour tous \(\left(x,y\right),\left(x',y'\right)\in\mathbb{R}^2\) et tout \(\alpha\in\mathbb{R}\), on pose : \[\left(x,y\right)+\left(x',y'\right)=\left(x+x',y+y'\right) \quad \textrm{ et} \quad\alpha.\left(x,y\right)=\left(\alpha x,\alpha y\right)\] On vérifie (c’est un peu long et laborieux mais c’est facile) que ces deux lois vérifient les axiomes définissant un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel. Attention, le vecteur nul de cet espace est donné par \(0_{\mathbb{R}^2}=\left(0,0\right)\).
On généralise cette construction ainsi :
(Espace vectoriel \(\mathbb{K}^n\)). Sur l’ensemble des \(n\)-uplets de scalaires \(\mathbb{K} [n]\), on définit
Muni de ces lois, l’ensemble \(\left(\mathbb{K}^n,+,\cdot\right)\) est un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel. Son vecteur nul est le n-uplet \(\boxed{0_{\mathbb{K} [n]} = \left(0,\ldots,0\right)}\).
Vérifications faciles.
Un corollaire immédiat est alors le suivant :
(Espaces vectoriels \(\mathbb{R}^n\) et \(\mathbb{C}^n\)).
En particulier, \(\mathbb{R}\) et \(\mathbb{C}\) sont des \(\mathbb{R}\)-espaces vectoriels.
De manière plus générale, on a :
(Produit d’espaces vectoriels). Soient \(\left(E_1,+,\cdot\right)\) et \(\left(E_2,+,\cdot\right)\) deux \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels. On définit sur l’ensemble \(E_1\times E_2\)
Vérifications faciles.
Espaces de suites et de fonctions
Comme précisé dans l’introduction, on peut munir certains espaces de fonctions de structure d’espace vectoriel. Il suffit pour cela que les fonctions soient à valeurs dans un espace vectoriel.
(Espace vectoriel de fonctions). Soit \(X\) un ensemble non vide et soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel. On définit sur l’ensemble \(\mathcal F\left(X,E\right)\) des fonctions définies sur \(X\) à valeurs dans \(E\)
Les vérifications sont immédiates.
En appliquant ce résultat avec \(X=\mathbb{N}\) et \(E=\mathbb{K}\), on obtient :
(Suites à coefficients dans \(\mathbb{K}\)). Notons \(\mathscr S\left(\mathbb{K}\right)\) l’ensemble des suites à coefficients dans \(\mathbb{K}\). Avec les lois \[+: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathscr S\left(\mathbb{K}\right)\times\mathscr S\left(\mathbb{K}\right) & \longrightarrow & \mathscr
S\left(\mathbb{K}\right) \\ \left(\left(u_n\right),\left(v_n\right)\right) & \longmapsto & \left(u_n+v_n\right) \end{array} \right.\] \[\cdot: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{K}\times\mathscr S\left(\mathbb{K}\right) & \longrightarrow & \mathscr
S\left(\mathbb{K}\right) \newline \left(\lambda,\left(u_n\right)\right) & \longmapsto & \left(\lambda\cdot u_n\right) \end{array} \right.\] \(\left(\mathscr S\left(\mathbb{K}\right),+,\cdot\right)\) est un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel. Son vecteur nul est la suite constante nulle.
Règles de calcul dans un espace vectoriel
Les quatre axiomes donnés dans la définition [def_K_ev] ne traduisent à priori pas toutes les règles de calculs qu’on est habitué à utiliser quand on manipule des vecteurs. On va montrer que ces règles découlent bien de ces quatre axiomes.
(Règles de calcul dans un espace vectoriel). Soit \(\left(E,+,\cdot\right)\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel. Pour tous scalaires \(\alpha,\beta,\lambda
\in \mathbb{K}\) et pour tous vecteurs \(x,y\in E\), on a
(1).
Les démonstrations de ces règles vous sembleront sans doute un peu arides dans un premier temps. Il est important de bien les travailler jusqu’à être capable de les refaire seul.
Sous-espace vectoriel
Définitions
(Combinaison linéaire).
On montre par une récurrence facile qu’une combinaison linéaire de vecteurs de \(E\) est encore un vecteur de \(E\).
(Sous-espace vectoriel). Soient \(\left(E,+,.\right)\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel et \(F\subset E\), une partie de \(E\). On dit que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) si et seulement si
(Pour montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\)).
On étudiera avec attention les exemples suivants :
On verra dans l’exemple [ex:03/03/201013:50] page [ex:03/03/201013:50] comment traiter les exemples 1., 2., 3., 4., 7. et 8. plus rapidement.
(Pour montrer que \(F\) n’est pas un sous-espace vectoriel de \(E\)). On peut montrer au choix que
- L’ensemble \(F=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2~|~ x^2+y^2 \leqslant 1\right\}\) n’est pas un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^2\) car il n’est pas stable par combinaison linéaire : soient \(u=\left(1,0\right)\) et \(v=\left(0,1\right)\). On vérifie facilement que \(u,v\in F\). Par contre \(u+v=\left(1,1\right)\) et \(\left\|u+v\right\|^2=2> 1\) donc \(u+v\not\in F\).
(Un sous-espace vectoriel est un espace vectoriel). Soient \(\left(E,+,.\right)\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel et \(F\subset E\), une partie non vide de \(E\). On a équivalence entre les deux propositions suivantes.
Soient \(\left(x,y\right)\in F^2\) et \(\left(\alpha,\beta\right)\in\mathbb{K}^2\).
(Pour montrer que \(F\) est un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel...). ... il suffit de montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) dans lequel il est contenu.
Cette dernière proposition permet d’économiser beaucoup de travail quand on doit montrer qu’un triplet \(\left(F,+,.\right)\) est un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel. Plutôt que de vérifier tous les axiomes définissant un espace vectoriel, on cherche si \(F\) n’est pas une partie d’un espace vectoriel \(E\) (souvent bien connu) puis on vérifie que c’est un sous-espace vectoriel de \(E\).
Intersection de sous-espaces vectoriels
(Une intersection de sous-espaces vectoriels est encore un sous-espace vectoriel). Soient \(\left(E,+,.\right)\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel et \(\left(F_i\right)_{i\in I}\) une famille de sous-espaces vectoriels de \(E\) alors \(\displaystyle{\bigcap_{i\in I} F_i}\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).
Soit \(i \in I\), puisque \(F_i\) est un sous-espace vectoriel de \(E\), \(0_E
\in F_i\) et donc \(0_E \in \bigcap_{i \in I} F_i\). Soient \((x,y) \in \displaystyle{\bigcap_{i\in I}
F_i}^2\) et \((\alpha,
\beta) \in \mathbb{K} [2]\). Montrons que \(\alpha . x + \beta . y \in \displaystyle{\bigcap_{i
\in
I} F_i}\). Soit \(i \in I\), comme \(F_i\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) et que \(x, y
\in F_i\), \(\alpha.x + \beta.y \in F_i\) ce qui montre que \(\alpha.x + \beta. y \in
\displaystyle{\bigcap_{i\in I} F_i}\).
(Sous-espace vectoriel engendré par une partie d’un espace vectoriel). Soit \(A\) une partie d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(\left(E,+,.\right)\). On appelle sous-espace vectoriel engendré par \(A\) le plus petit sous-espace vectoriel de \(E\) contenant \(A\). On le note \(Vect\left(A\right)\) et on a : \[\displaystyle{Vect\left(A\right) = \bigcap_{F\in \mathscr F_A} F}\] où \(\mathscr F_A\) désigne l’ensemble des sous-espaces vectoriels de \(E\) qui contiennent \(A\).
D’après la proposition [prop_inter_sev], \(\bigcap_{F\in \mathscr F_A} F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\). Il contient de plus \(A\) et par construction, il est inclus dans tout sous-espace vectoriel de \(E\) contenant \(A\). On a donc \(Vect\left(A\right) = \bigcap_{F\in \mathscr F_A} F\).
(Sous-espace vectoriel engendré par une partie finie). Soient \(n\in \mathbb{N}^*\) et \(A=\left\{x_1,\dots,x_n\right\}\) une partie finie à \(n\) éléments de \(E\). Le sous-espace vectoriel engendré par \(A\) est l’ensemble des combinaisons linéaires finies d’éléments de \(A\) : \[\boxed{Vect{\left(A\right)} =\left\{ \lambda_1\cdot x_1 + \dots+ \lambda_n\cdot
x_n ~|~ \left(\lambda_1,\dots,\lambda_n\right)\in K^n\right\}}\]
Soit \(\mathscr A\) l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires finies d’éléments de \(A\). L’ensemble \(\mathscr A\) est non vide et stable par combinaison linéaire. C’est donc un sous-espace vectoriel de \(E\). Montrons que \(\mathscr A\) est le plus petit sous-espace vectoriel de \(E\) contenant \(A\). Pour ce faire, il suffit de montrer que si \(\mathscr B\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) contenant \(A\) alors \(\mathscr A\subset \mathscr B\). Soit \(x\in \mathscr A\). Par définition de \(\mathscr A\), il existe \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\in\mathbb{K}\) et \(x_1,\dots,x_n\in A\) tels que \(x=\alpha_1 x_1+ \dots\alpha_n.x_n\). Comme \(A\subset \mathscr B\), il vient que \(x_1,\dots,x_n\in \mathscr B\) et comme \(\mathscr
B\) est un sous-espace vectoriel de \(E\), il est stable par combinaison linéaire et donc \(x=\alpha_1 x_1+ \dots\alpha_n.x_n\in B\). Ce qui prouve que \(\mathscr
A\subset \mathscr B\) et termine la démonstration.
(Pour montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\)). Il suffit de décrire \(F\) sous forme d’un \(Vect\).
On reprend les items 1., 2., 3., 4., 7. et 8. de l’exemple [ex03/03/201013:45] page [ex03/03/201013:45].
La remarque suivante permet de fixer les choses dans l’espace :
Dans l’espace \(\mathbb{R}^3\), soit \(\mathscr F=\left\{ u, v, w\right\}\) où \(u\), \(v\) et \(w\in \mathbb{R}^3\). Alors : \[Vect\left(\mathscr F\right)= \begin{cases} \bullet \textrm{ La droite dirigée par $
u$ si les trois vecteurs sont colinéaires}\\\bullet \textrm{ Le plan engendré par
$ u$ et $ v$ si les trois vecteurs sont coplanaires mais tels}\\\textrm{ que
deux d'entre eux, $ u$ et $ v$ par exemple, ne sont pas colinéaires} \newline
\bullet \textrm{ L'espace $\mathbb{R}^3$ si les trois vecteurs ne sont pas
coplanaires
}\end{cases}\] Donc les sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^3\) sont :
Giuseppe Peano, né le 27 août 1858 à Spinetta di Cuneo et mort le 20 avril 1932 à Turin.
Giuseppe Peano a été un des premiers mathématiciens à comprendre la nécessité de l’axiomatisation des mathématiques. Celles-ci doivent reposer sur quelques règles simples desquelles on fait découler les théorèmes après avoir défini avec précision les objets utilisés. Grâce à cette démarche et à sa grande rigueur, il mit en évidence de nombreuses erreurs dans les traités mathématiques alors existants. Il comprit aussi l’importance de la théorie des ensembles et de la logique pour exprimer les mathématiques et généralisa au reste des mathématiques l’usage des symboles issus de ces théories . Il fut le premier à utiliser les symboles d’union et d’intersection.
Giuseppe Peano s’intéressa au début de sa carrière au calcul infinitésimal qu’il participe à formaliser et à rendre plus rigoureux. À partir de 1887, son travail se porte sur la construction formelle des mathématiques et il définit de manière axiomatique l’ensemble des entiers naturels. Ce système d’axiomes porte maintenant son nom. Grâce aux travaux de Grassmann, il axiomatise la notion d’espace vectoriel.
À partir de 1900, il s’attelle à deux grands chantiers. Le premier consiste en la construction d’un langage international qu’il baptisa Interlingua basé sur un latin simplifié et augmenté de vocabulaire anglais, allemand et français. Le second est l’écriture d’une encyclopédie mathématique Formulario Mathematico utilisant le formalisme qu’il a inventé et qui vise à contenir toutes les mathématiques alors connues. Notons que Peano, excellent enseignant au début de sa carrière finit sa vie piètre pédagogue, ses cours étant rendu complètement obscurs par ses notations.
Si \(F\) et \(G\) sont deux sous-espaces vectoriels de \(E\), ce n’est pas forcément le cas de \(F\cup G\) et jamais le cas de \(F\setminus G\), \(G\setminus F\) et \(E\setminus F\) car ils ne contiennent pas le vecteur nul. Par exemple :
Somme de sous-espaces vectoriels
Définitions
(Somme de deux sous-espaces vectoriels). Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(\left(E,+,\cdot\right)\). On appelle somme de \(F\) et \(G\) et on note \(F+G\) le sous-espace vectoriel de \(E\) donné par \[F+G=\left\{x+y~|~ \left(x,y\right)\in F\times G\right\}\]
Le sous-ensemble \(F+G\) est bien un sous-espace vectoriel de \(E\). En effet, \(F+G\subset E\) car \(E\) est stable pour l’addition. De plus, \(F+G\) est non vide car \(F\) et \(G\) le sont. Enfin, si \(u=x+y\in F+G\) et \(u'=x'+y'\in F+G\) avec \(x,x'\in F\) et \(y,y'\in G\) alors, pour \(\alpha,\beta\in\mathbb{K}\), \[\alpha u+\beta u'=\underbrace{\alpha x+\beta x'}_{\in F}+ \underbrace{\alpha y+\beta y'}_{\in G} \in F+G\] car \(F\) et \(G\) sont des sous-espaces vectoriels.
(La somme de deux sous-espaces vectoriels est le plus petit sous-espace vectoriel contenant leur réunion). Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(\left(E,+,\cdot\right)\). Alors \(F+G\) est le plus petit sous-espace vectoriel de \(E\) contenant \(F\cup G\).
On a prouvé dans la remarque précédente que \(F+G\) est un sous-espace vectoriel de \(E\). Il contient \(F\) et \(G\) car \(0_E\) est élément de \(F\) et \(G\) et donc \(F=F+0_E\subset F+G\) et \(G=0_E+G\subset F+G\). De plus, si on considère un sous-espace \(H\) de \(E\) qui contient \(F\cup G\) alors montrons que \(F+G\subset
H\). Soient \(x+y\in F+G\) avec \(x\in F\) et \(y\in G\). Comme \(F\cup G\subset H\), on a aussi \(x,y\in H\) et comme \(H\) est un sous-espace vectoriel, il s’ensuit que \(x+y\in H\). Donc \(F+G\subset H\) et \(F+G\) est le plus petit sous-espace vectoriel de \(E\) contenant \(F\) et \(G\).
La proposition suivante est bien pratique pour calculer des sommes :
(Calcul pratique d’une somme de \(Vect\)). Soient \(A\) et \(B\) deux parties d’un \(K\)-espace vectoriel \(E\) alors \[\boxed{Vect\left(A\right)+Vect\left(B\right)=Vect\left(A\cup B\right)}\]
Voir l’exercice [ex_somme_de_vect03/03/201014:22] page [ex_somme_de_vect03/03/201014:22].
Dans l’espace \(\mathbb{R}^{3}\), on considère les parties \(F=\{ (x,0,0) ~|~ x\in \mathbb{R} \}\) et \(G=\{ (x,x,0) ~|~ x\in \mathbb{R} \}\). Montrons que ce sont des sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^3\) et déterminons le sous-espace \(F+G\). On a \(F=Vect\left(1,0,0\right)\) et \(G=Vect\left(1,1,0\right)\) donc \(F\) et \(G\) sont des sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^3\). De plus \(F+G=Vect\left(\left(1,0,0\right),\left(1,1,0\right)\right)\) et on reconnait que \(F+G\) est le plan vectoriel de \(\mathbb{R}^3\) engendré par \(\left(1,0,0\right)\) et \(\left(1,1,0\right)\).
Somme directe
(Somme directe). On dit que deux sous-espaces vectoriels \(F\) et \(G\) de \(E\) sont en somme directe si \(F\cap G=\left\{0\right\}\). On note alors \(F\oplus G\) leur somme.
(Caractérisation de la somme directe). Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels du \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(\left(E,+,\cdot\right)\). On a équivalence entre :
(Pour montrer que \(F\) et \(G\) sont en somme directe).
Sous-espaces supplémentaires
(Sous-espaces supplémentaires). On dit que deux sous-espaces vectoriels \(F\) et \(G\) de \(E\) sont supplémentaires si et seulement si ils vérifient :
L’intérêt de disposer d’espaces supplémentaires est donné par le théorème suivant. Il dit que si on dispose de deux sous-espaces supplémentaires \(F\) et \(G\) dans un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) alors tout vecteur de \(E\) peut être décomposé de manière unique en la somme d’un vecteur de \(F\) et d’un vecteur de \(G\).
(Caractérisation des sous-espaces supplémentaires). Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(\left(E,+,\cdot\right)\). On a équivalence entre :
(Pour montrer que \(F\oplus G = E\)).
La partie souvent difficile dans ce plan est souvent de montrer que \(E=F+G\). Dans ce chapitre, on utilisera une des deux techniques suivantes :
- En conclusion \(E=F\oplus G\).
Applications linéaires
Dans toute la suite \(\left(E,+,\cdot\right)\) et \(\left(F,+,\cdot\right)\) sont deux \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels.
Définitions
(Application linéaire). Soient \(\left(E,+,\cdot\right)\) et \(\left(F,+,\cdot\right)\) deux \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels et \(f:E
\rightarrow F\). On dit que \(f\) est linéaire si et seulement si :
(On dit aussi que \(f\) est un morphisme d’espaces vectoriels).
(Caractérisation des applications linéaires).
Soit \(f:E \rightarrow F\). \(f\) est linéaire si et seulement si : \[\forall \left(x,y\right)\in E^2, \quad \forall \left(\alpha,\beta\right)\in\mathbb{K}^2, \quad
\boxed{ f\left(\alpha \cdot x + \beta \cdot y\right)=\alpha \cdot f\left(x\right)+\beta\cdot
f\left(y\right)}\]
Si \(f:E \rightarrow F\) est linéaire alors \(f\left(0_E\right)=0_F\). En effet \(f(0_E)=f(0_E+0_E)=f(0_E)+f(0_E)\) donc par soustraction du vecteurs \(f(0_E)\) des deux côtés de cette égalité, il vient \(f(0_E)=0_F\).
(Pour montrer que \(f:E \rightarrow F\) est linéaire).
(Pour montrer que \(f:E \rightarrow F\) n’est pas linéaire). on peut :
(Forme linéaire, endomorphisme, isomorphisme, automorphisme). Soit \(f:E\rightarrow F\) une application linéaire.
Noyau, image d’une application linéaire
Rappels : Soient \(f:E\rightarrow F\) et \(E'\subset E\), \(F'\subset F\). Par définition :
(Image directe et réciproque d’une application linéaire). Soit \(f:E\rightarrow G\) une application linéaire. Soient \(E'\) un sous-espace vectoriel de \(E\) et \(F'\) un sous-espace vectoriel de \(F\) alors :
(Noyau, Image). Soit \(f:E\rightarrow F\) une application linéaire. On appelle :
(\({\rm Ker}\,f\) et \(\mathop{\mathrm{Im}}f\) sont des sous-espaces vectoriels). Soit \(f:E\rightarrow F\) une application linéaire. Alors \({\operatorname{Ker}f}\) et \({\mathop{\mathrm{Im}}f}\) sont des sous-espaces vectoriels de \(E\).
C’est un corollaire immédiat du théorème
(Caractérisation des applications linéaires injectives). Soit \(f:E\rightarrow F\) une application linéaire. Alors : \[\boxed{\textrm{ $f$ est injective si et seulement si }\operatorname{Ker}f=\left\{0_E\right\}}\]
[Caractérisation des applications linéaires surjectives] Soit \(f:E\rightarrow F\) une application linéaire. Par définition, \(f\) est surjective si et seulement si \(\mathop{\mathrm{Im}}f=F\).
Étude de \(\mathfrak{L}\left(E,F\right)\)
On note \(\mathfrak{L}\left(E,F\right)\) l’ensemble des applications linéaires de \(E\) dans \(F\).
(\(\left(\mathfrak{L}\left(E,F\right),+,\cdot\right)\) est un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel ). Le triplet \(\left(\mathfrak{L}\left(E,F\right),+,\cdot\right)\) est un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel. En particulier, si \(\left(f,g\right)\in \left(\mathfrak{L}\left(E,F\right)\right)^2\) et \(\left(\alpha,\beta\right)\in \mathbb{K}^2\) alors \(\alpha f + \beta g\) est linéaire.
Comme \(F\) est un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel, l’ensemble \(\mathcal F\left(E,F\right)\) des fonctions de \(E\) dans \(F\) a une structure de \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel. Pour montrer que \(\mathfrak{L}\left(E,F\right)\) est un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel, il suffit alors de montrer que \(\mathfrak{L}\left(E,F\right)\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathscr F\left(E,F\right)\). Il est clair que \(\mathfrak{L}\left(E,F\right)\) est non vide car il contient par exemple l’application identiquement nulle \(f:x\mapsto 0_F\). On vérifie de plus facilement que si \(f,g\in \mathfrak{L}\left(E,F\right)\) alors \(\alpha f + \beta
g\) est linéaire. Donc \(\mathfrak{L}\left(E,F\right)\) est bien un sous-espace vectoriel de \(\mathscr F\left(E,F\right)\).
Étude de \(\mathfrak{L}\left(E\right)\)
On note \(\mathfrak{L}\left(E\right)\) l’ensemble des endomorphismes du \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\).
(\(\left(\mathfrak{L}\left(E\right),+,\cdot\right)\) est un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel.). Le triplet \(\left(\mathfrak{L}\left(E\right),+,\cdot\right)\) est un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel.
C’est une conséquence directe de la proposition précédente car \(\mathfrak{L}\left(E\right)=\mathfrak{L}\left(E,F\right)\)
(La composée de deux applications linéaires est une application linéaire). Soient \(\left(E,+,\cdot\right)\), \(\left(F,+,\cdot\right)\) et \(\left(G,+,\cdot\right)\) trois \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels. Si \(f\in \mathfrak{L}\left(E,F\right)\) et si \(g\in \mathfrak{L}\left(F,G\right)\) alors \(g\circ f \in
\mathfrak{L}\left(E,G\right)\)
La preuve, facile, est laissée en exercice.
(Identité de \(E\)). Soit \(\left(E,+,\cdot\right)\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel. On définit la fonction identité de \(E\) par \(Id_E: \left\{ \begin{array}{ccl} E & \longrightarrow & E \newline x & \longmapsto & x \end{array} \right.\).
(Homothétie de \(E\)). Soit \(\left(E,+,\cdot\right)\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel. On appelle homothétie vectorielle de rapport \(\lambda\in\mathbb{K}\) l’application \(h_\lambda=\lambda\cdot Id\), \(h_\lambda: \left\{ \begin{array}{ccl} E & \longrightarrow & E \newline x & \longmapsto & \lambda\cdot x \end{array} \right.\).
(\(\left(\mathfrak{L}\left(E\right),+,\circ\right)\) est un anneau unitaire). Le triplet \(\left(\mathfrak{L}\left(E\right),+,\circ\right)\) est un anneau unitaire (généralement non commutatif).
On vérifie facilement que \(\left(\mathfrak{L}\left(E\right),+,\circ\right)\) vérifie les axiomes d’un anneau unitaire.
Étude de \({\rm GL}(E)\)
On note \({\rm GL}(E)\) l’ensemble des automorphismes de \(E\).
(L’inverse d’une application linéaire bijective est linéaire). Soit \(f:E\rightarrow F\) un isomorphisme entre les espaces vectoriels \(E\) et \(F\) alors \(f^{-1}:F\rightarrow
E\) (qui existe car \(f\) est bijective) est aussi linéaire, c’est-à-dire \(f^{-1}\in\mathfrak{L}\left(F,E\right)\).
Soient \(x,x'\in E\) et \(y,y'\in F\) tels que \(y=f\left(x\right)\) et \(y'=f\left(x'\right)\). Soient \(\alpha,\alpha'\in\mathbb{K}\). On a : \[\begin{aligned}
f^{-1}\left(\alpha y + \alpha' y'\right)&=&f^{-1}\left( \alpha f\left(x\right)+\alpha' f\left(x'\right)\right)\\
&=& f^{-1}\left( f \left(\alpha x + \alpha' x'\right)
\right)\textrm{ car $f$ est linéaire}\\
&=& \alpha x + \alpha' x' \newline
&=& \alpha f^{-1}\left(y\right) + \alpha' f^{-1}\left(y'\right)\end{aligned}\] et \(f^{-1}\) est bien linéaire.
(\(\left({\rm GL}(E),\circ\right)\) est un groupe). Le couple \(\left({\rm GL}(E),\circ\right)\) est un groupe (en général non commutatif) d’élément neutre \(Id_E\). On l’appelle groupe linéaire de \(E\).
En utilisant la propriété précédente, on vérifie facilement que \(\mathrm{GL}_{ }(E)\) vérifie les axiomes d’un groupe.
Pour prouver qu’une application \(f:E\rightarrow E\) est bijective on utilise souvent la propriété suivante \(f\) est bijective si et seulement s’il existe \(g:E\rightarrow E\) telle que \(f\circ
g=g\circ f=Id_E\). Dans ce cas, \(g=f^{-1}\).
Soient un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\) et un endomorphisme \(u\in L(E)\) vérifiant : \(u^3 +u^2 +2\mathop{\mathrm{id}}\nolimits_E = 0\). Montrons que \(u\in {\rm GL}(E)\) et déterminons son inverse \(u^{-1}\). En utilisant la linéarité de \(u\), l’égalité se factorise en \(u\circ{\left[-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\left(u^2+u\right)\right]}=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits_E\) ou encore \({-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\left(u^2+u\right)}\circ u=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits_E\). Donc \(u\) est inversible et \(u^{-1}=-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\left(u^2+u\right)\).
Équations linéaires
Définitions
On va expliquer dans cette section que l’ensemble des solutions d’un système linéaire ou d’une équation différentielle linéaire sont équipés d’une même structure.
(Équations linéaires). On appelle équation linéaire une équation de la forme \(u\left(x\right)=b\) où :
Structure de l’ensemble des solutions
(Structure de l’ensemble des solutions d’une équation linéaire). Soient \(E\) et \(F\) deux \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels, \(u\in\mathfrak{L}\left(E,F\right)\) et \(b\in F\). On note \(\mathcal S\) l’ensemble des solutions de l’équation linéaire \(u\left(x\right)=b\) et \(\mathcal S_0\) l’ensemble des solutions de l’équation sans second membre :\(u\left(x\right)=0\). On a :
L’ensemble \(\mathcal S_0\) est le noyau de \(u\), c’est donc un sous-espace vectoriel de \(E\) d’après le théorème [theo_ker_im_sev] page [theo_ker_im_sev]. Soit \(x_0\in S\), c’est-à-dire un élément \(x_0\) de \(E\) tel que \(u\left(x_0\right)=b\). Montrons que \(S=\left\{x_0+h
~|~ h\in S_0\right\}\). Pour ce faire, effectuons un raisonnement par double inclusion :
Autrement dit, toute solution d’une équation linéaire est la somme d’une solution de l’équation homogène associée et d’une solution particulière de l’équation linéaire. Les théorèmes [equ_lin_premier_degre_avec_second_membre] page [equ_lin_premier_degre_avec_second_membre] et [equ_lin_second_degre_avec_second_membre] page [equ_lin_second_degre_avec_second_membre] du chapitre [chap_equs_diffs] sont des cas particuliers de ce théorème. On retrouvera ce théorème dans le cas des systèmes linéaires au chapitre [chap_matrice] section [chap_systs_lineaires], proposition [structure_ens_sols_syst_lineaire] page [structure_ens_sols_syst_lineaire].
Projecteurs et symétries
\(E\) désigne là encore un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel.
Projecteurs
(Projecteurs). Soient \(E_1\) et \(E_2\) deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de \(E\) : \(E=E_1\oplus E_2\). Pour tout \(x\in E\), il existe donc un unique couple \(\left(x_1,x_2\right)\in E_1\times E_2\) tel que \(x=x_1+x_2\). Soit \[p: \left\{ \begin{array}{ccl} E & \longrightarrow & E \newline x=x_1+x_2 & \longmapsto & x_1 \end{array} \right.\] L’application \(p\) est bien définie et est appelée projecteur de \(E\) sur \(E_1\) parallèlement à \(E_2\).
(Propriétés des projecteurs). Soient \(E_1\) et \(E_2\) deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de \(E\) : \(E=E_1\oplus E_2\) et soit \(p\) le projecteur de \(E\) sur \(E_1\) parallèlement à \(E_2\) alors :
(Caractérisation des projecteurs). Soit \(p\in\mathfrak{L}\left(E\right)\). Alors \(p\) est un projecteur si et seulement si \(\boxed{p\circ p=p}\) (c’est-à-dire si et seulement si \(p\) est idempotente).
Dans ce cas, \(p\) est le projecteur sur \(\operatorname{Ker}p\) parallèlement à \(\mathop{\mathrm{Im}}p\).
Si \(E=E_1 \oplus E_2\), si \(p\) est le projecteur de \(E\) sur \(E_1\) parallèlement à \(E_2\) et si \(q\in\mathfrak{L}\left(E\right)\) alors on a équivalence entre :
Symétries
(Symétries). Soient \(E_1\) et \(E_2\) deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de \(E\) : \(E=E_1\oplus E_2\). Pour tout \(x\in E\), il existe donc un unique couple \(\left(x_1,x_2\right)\in E_1\times E_2\) tel que \(x=x_1+x_2\). Soit \[s: \left\{ \begin{array}{ccl} E & \longrightarrow & E \newline x=x_1+x_2 & \longmapsto & x_1-x_2 \end{array} \right.\] \(s\) est bien définie et est appelée symétrie par rapport à \(E_1\) parallèlement à \(E_2\), ou plus simplement symétrie.
(Propriétés des symétries). Soient \(E_1\) et \(E_2\) deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de \(E\) : \(E=E_1\oplus E_2\) et soit \(s\) la symétrie par rapport à \(E_1\) parallèlement à \(E_2\), alors :
Soit \(p\) le projecteur de \(E\) sur \(E_1\) parallèlement à \(E_2\). Soit \(x=x_1+x_2\in E_1\oplus E_2=E\). On a : \(p\left(x\right)=x_1\) et \[\left(2p-Id_E\right)\left(x\right)=2p\left(x\right)-x=2x_1-\left(x_1+x_2\right)=x_1-x_2=s\left(x\right)\] ce qui démontre le second point. Comme \(p\) est linéaire et qu’une combinaison linéaire d’ applications linéaires est linéaire, \(s\) est linéaire et le premier point est aussi démontré. Enfin, en utilisant la linéarité et l’idempotence de \(p\) : \[\begin{aligned}
s\circ s &=& \left(2p-Id_E\right)\circ \left(2p-Id_E\right) \\
&=& 2p\circ\left(2p-Id_E\right) - \left(2p-Id_E\right) \\
&=& 4p^2-2p- 2p+Id_E\\
&=&4p-4p+Id_E\newline
&=&Id_E\end{aligned}\] et le troisième point est démontré.
(Caractérisation des symétries). Soit \(s\in\mathfrak{L}\left(E\right)\). Si \(s\) est involutive, c’est-à-dire si \(\boxed{s\circ s=Id_E}\), alors \(s\) est la symétrie par rapport à \(E_1=\operatorname{Ker}\left(s-Id_E\right)\) et parallèlement à \(E_2=\operatorname{Ker}{\left(s+Id_E\right)}\)).
Supposons que \(s\) est linéaire et involutive. Posons \(E_1=\operatorname{Ker}\left(s-Id_E\right)\) et \(E_2=\operatorname{Ker}{\left(s+Id_E\right)}\). Montrons que ces deux sous-espaces vectoriels de \(E\) sont supplémentaires dans \(E\).
On en déduit que \(E=E_1 \oplus E_2\). De plus, si \(x=x_1+x_2\in E_1\oplus E_2=E\) alors : comme \(x_1\in E_1\), on a : \(s\left(x_1\right)=x_1\) et comme \(x_2\in E_2\), on a aussi : \(s\left(x_2\right)=-x_2\). Par linéarité de \(s\), on en déduit que : \(s\left(x\right)=s\left(x_1\right)+s\left(x_2\right)=x_1-x_2\). L’application \(s\) est donc bien la symétrie par rapport à \(E_1\) et parallèlement à \(E_2\)
[Décomposition associée à un projecteur]
[Décomposition associée à une symétrie]
En résumé
Bibliographie
Barre utilisateur
[ID: 76] [Date de publication: 28 décembre 2021 17:31] [Catégorie(s): Le cours de SUP ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]Commentaires sur le cours
Documents à télécharger
L'article complet