Notion de limite puis théorèmes généraux sur les suites réelles.
Suites réelles
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Notion de limite puis théorèmes généraux sur les suites réelles.
On dit qu’une grandeur est la limite d’une autre grandeur, quand la seconde peut s’approcher de la première plus près que d’une grandeur donnée, si petite qu’on puisse la supposer...
D’Alembert.
Pour bien aborder ce chapitre
Nous allons définir dans ce chapitre et le suivant une des notions les plus fondamentales en analyse, celle de limite.
Si on se pose les questions suivantes :
Qu’est ce qu’une dérivée?
Qu’est ce qu’une intégrale?
Qu’est ce qu’une somme infinie?
La réponse est la même : une limite.
Bien que les mathématiciens utilisent ces différents objets depuis la renaissance, ce n’est que vers la fin du \(18^{\textrm{ e}}\) siècle et le début du \(19^{\textrm{ e}}\) siècle que la notion de limite, grâce à D’Alembert (voir [fig:Bio_DAlembert] page [fig:Bio_DAlembert]) et à Cauchy (voir [fig:Bio_Cauchy] page [fig:Bio_Cauchy]), commence à être formalisée. Le cours d’analyse de Cauchy, alors qu’il professait à l’École Polytechnique, allait d’ailleurs devenir une référence pour tout travail en analyse au \(19^{\textrm{ e}}\) siècle. Malgré la grande rigueur de son contenu, il subsistait des lacunes, comme une preuve, fausse, que la limite d’une série de fonctions continues est continue. Le mathématicien allemand Karl Weierstrass vers \(1860\) (voir biographie [fig:Bio_Weierstrass] page [fig:Bio_Weierstrass]) et ses élèves formalisèrent définitivement la notion de limite et parachevèrent l’œuvre de Cauchy. La forme actuelle de la définition d’une limite est exactement celle donnée par Weierstrass.
Il vous faudra prendre le temps dans ce chapitre de bien comprendre les nouvelles notions, de faire et refaire les démonstrations. Il fallut plusieurs siècles pour que les mathématiciens formalisent ces concepts correctement. Il est alors naturel que cela vous demande un travail approfondi. Vous êtes en train de préparer les fondations sur lesquelles seront construites toute votre connaissance en analyse.
Définitions
Vocabulaire
(Suite réelle). Une suite réelle est une application \(u:\mathbb{N}\rightarrow
\mathbb{R}\). On note cette application sous forme indicielle \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\) ou encore \((u_n)\). L’ensemble des suites réelles est noté \(\mathscr S(\mathbb{R})\).
On appellera aussi suite réelle une application \(u\) définie à partir d’un certain \(n_0 \in \mathbb{N}\), \(u:\left\{n\in \mathbb{N}~|~ n \geqslant n_0
\right\} \rightarrow \mathbb{R}\). On la note : \((u_n)_{n\geqslant n_0}\).
Attention aux notations : la notation \((u_n)\) désigne une suite, alors que \(u_n\) désigne le terme de rang \(n\) de la suite \((u_n)\).
On adoptera une des visualisations suivantes pour une suite :
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Opérations sur les suites
(Opérations sur les suites). On définit les lois suivantes sur l’ensemble des suites \(\mathscr
S(\mathbb{R})\). Soient \((u_n),(v_n)\in \mathscr S(\mathbb{R})\) et \(\lambda \in \mathbb{R}\),
Addition :\((u_n)+(v_n)=(u_n+v_n)\)
Multiplication par un scalaire :\(\lambda(u_n)=(\lambda
~u_n)\)
Multiplication de deux suites :\((u_n)\times(v_n)=(u_n.v_n)\)
\(\mathscr S(\mathbb{R})\) muni de l’addition et de la multiplication précédemment définies a une structure d’anneau commutatif (que l’on verra plus tard).
Élément neutre de l’addition : la suite nulle.
Élément neutre de la multiplication : la suite constante égale à \(1\).
\(\mathscr S(\mathbb{R})\) muni de l’addition et de la multiplication par un scalaire précédemment définies a une structure d’espace vectoriel que l’on verra plus tard.
(Suite majorée, minorée, bornée). On dit qu’une suite réelle \(\left(u_n\right)\) est :
majorée lorsque le sous-ensemble \(\left\{u_n ~|~ n\in
\mathbb{N}\right\}\) est majoré dans \(\mathbb{R}\), c’est-à-dire lorsque : \[\exists M\in\mathbb{R}: \quad \forall n\in\mathbb{N}, \quad u_n \leqslant M\]
minorée lorsque le sous-ensemble \(\left\{u_n ~|~ n\in \mathbb{N}
\right\}\) est minoré dans \(\mathbb{R}\), c’est-à-dire lorsque : \[\exists m\in\mathbb{R}: \quad \forall n\in\mathbb{N}, \quad u_n \geqslant m\]
bornée si et seulement si elle est à la fois majorée et minorée.
Une suite \(\left(u_n\right)\in \mathscr S (\mathbb{R})\) est bornée si et seulement si la suite \(\left(\left|u_n\right|\right)\) est majorée : \[\exists M\in\mathbb{R}, \quad \forall n\in\mathbb{N}, \quad \left|u_n\right| \leqslant M\]
Supposons que la suite \(\left(u_n\right)\) est bornée. Alors il existe \(m,M\in\mathbb{R}\) tels que \(\forall
n\in\mathbb{N},~m \leqslant{u_n} \leqslant M\). En notant \(K~=~\max(\lvert m \rvert , \lvert M \rvert )\), on a pour tout \(n\in \mathbb{N}\), \(\lvert u_n \rvert \leqslant K\). La suite \(\lvert u_n \rvert\) est majorée par le réel \(K\).
Si la suite \(\left(\left|u_n\right|\right)\) est majorée, il existe \(M\in\mathbb{R}\) tel que \(\forall n\in\mathbb{N},~
\left|u_n\right| \leqslant M\) et donc \(\forall n\in\mathbb{N},~-M\leqslant u_n \leqslant
M\) ce qui prouve que la suite \(\left(u_n\right)\) est bornée.
(Suite croissante, décroissante, monotone). On dit qu’une suite réelle \(\left(u_n\right)\) est
croissante si et seulement si : \[\forall n\in\mathbb{N}, \quad u_n \leqslant u_{n+1}\]
décroissante si et seulement si : \[\forall n\in\mathbb{N}, \quad u_{n+1} \leqslant u_n\]
monotone si et seulement si elle est croissante ou décroissante.
On dit que \(\left(u_n\right)\) est strictement croissante , strictement décroissante ou strictement monotone si et seulement si l’inégalité correspondante est stricte.
(Suite constante). Une suite \((u_n)\in \mathscr S(\mathbb{R})\) est dite constante lorsqu’il existe un réel \(\alpha \in \mathbb{R}\) tel que \(\forall n \in \mathbb{N},~u_n=\alpha\).
(À partir d’un certain rang). On dit qu’une propriété \(P(n)\) est vérifiée à partir d’un certain rang \(N \in \mathbb{N}\) si et seulement s’il existe un entier \(N\in \mathbb{N}\) tel que \(\forall n \geqslant N\), la propriété \(P(n)\) est vraie.
Convergence d’une suite
Suites convergentes, divergentes
(Limite, suite convergente, suite divergente). On dit qu’une suite réelle \(\left(u_n\right)\)converge vers un réel \(l\in\mathbb{R}\) si et seulement si \[\boxed{\forall \varepsilon>0,\quad \exists N\in\mathbb{N}:\quad \forall n\in
\mathbb{N}, \quad n\geqslant N \Rightarrow
\left|u_n-l\right|\leqslant\varepsilon}\] c’est-à dire, pour tout epsilon strictement positif, il existe un entier N tel que pour tout \(n\) plus grand que \(N\), \(u_n\) est à une distance plus petite que \(\varepsilon\) de \(l\).
On dit alors que \(l\) est la limite de la suite \((u_n)\) et on note \(u_n\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} l\) ou encore \(\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} u_n=l}\).
S’il existe un tel \(l\), on dit que la suite \((u_n)\) est convergente.
S’il n’existe pas de réel \(l\) vérifiant cette propriété, on dit que la suite \((u_n)\) est divergente.
Pour comprendre cette définition, étudiez le premier dessin de la figure ci-dessous. Imaginez qu’une clé à molette est centrée sur l’axe \((Oy)\) en \(l\). Vous pouvez choisir l’ouverture \(2\varepsilon\) à votre guise aussi petite que vous le souhaitez. Chaque ouverture détermine une bande \([l-\varepsilon,l+\varepsilon]\). Si la suite converge vers \(l\), on peut trouver un rang \(N\) à partir duquel tous les termes de la suite sont dans la bande \([l-\varepsilon, l+\varepsilon]\). Une autre façon de comprendre cette définition consiste à interpréter \(n\) comme un temps. À l’instant \(n\), on allume un point sur l’axe \((Ox)\) d’abscisse \(u_n\). Pour tout \(\varepsilon> 0\), à partir de l’instant \(N\), tous les points allumés seront dans l’intervalle \([l-\varepsilon, l+\varepsilon]\).
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Multimédia: un pied à coulisse où l’on choisit \(\varepsilon\) avec le rang \(N\) à partir duquel tous les termes sont dans la bande \([l-\varepsilon, l+\varepsilon]\)
(Pour montrer que \(u_n\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} l\)). On utilise le plan
Soit \(\varepsilon >0\).
On cherche à partir de quelle valeur \(N\), on a \(\left|u_N-l\right|\leqslant l\) en sorte de vérifier le point 3 . Cela se ramène la plupart du temps à la résolution d’inéquations. C’est souvent la partie la partie la plus difficile de la preuve
Posons \(N=...\).
Vérifions: soit \(n\geqslant N\), on a bien \(\left|u_n-l\right| \leqslant\varepsilon\).
Donc \(u_n\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} l\).
Montrons que la suite \((1/n)_{n\in\mathbb{N}^*}\) converge vers \(0\) en utilisant le plan ci-dessus.
Soit \(\varepsilon>0\).
On cherche \(N\) tel que \(1/N\leqslant\varepsilon\). On obtient \(N \geqslant 1/\varepsilon\).
On pose alors \(N=E\left(1/\varepsilon\right)+1\).
Vérifions. Soit \(n\geqslant N\). On a \(n\geqslant N \geqslant 1/\varepsilon\) ce qui s’écrit aussi \(1/n
\leqslant\varepsilon\) ou encore \(\lvert 1/n-0 \rvert \leqslant\varepsilon\).
Donc \(1/n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\).
(On peut utiliser une inégalité stricte dans la définition de convergence). Une suite \((u_n)\) converge vers une limite \(l \in \mathbb{R}\) si et seulement si \[\forall \varepsilon> 0,~\exists N \in \mathbb{N},~ \forall n \in \mathbb{N},~ n\geqslant N \Rightarrow \lvert u_n-l \rvert < \varepsilon\]
est évidente puisqu’une inégalité stricte est à fortiori large.
soit \(\varepsilon> 0\). Posons \(\varepsilon' = \varepsilon/2 > 0\). Puisque \(u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}l\), il existe un rang \(N \in \mathbb{N}\) à partir duquel \(\lvert u_n-l \rvert \leqslant\varepsilon'\) et à partir de ce rang, on a \(\lvert u_n-l \rvert \leqslant\varepsilon' < \varepsilon\).
Nous allons voir cette année plusieurs définitions d’analyse faisant intervenir des inégalités. Par défaut, nous utiliserons des inégalités larges. On peut souvent remplacer dans les définitions ces inégalités larges par des inégalités strictes au besoin en utilisant l’idée de la démonstration précédente.
(Unicité de la limite). La limite d’une suite réelle, si elle existe, est unique.
(1). Supposons que \(\left(u_n\right)\) possède deux limites \(l_1,l_2\in\mathbb{R}\) et montrons par l’absurde que \(l_1=l_2\).
Supposons \(l_1\neq l_2\) et posons \(\varepsilon= \lvert l_1-l_2 \rvert /2 > 0\). Puisque \(u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}l_1\), il existe un rang \(N_1 \in \mathbb{N}\) à partir duquel \(\lvert u_n - l_1 \rvert < \varepsilon\) et puisque \(u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}l_2\), il existe un rang \(N_2\) à partir duquel \(\lvert u_n-l_2 \rvert < \varepsilon\). Considérons l’entier \(n = \max(N_1,N_2)\) supérieur à la fois à \(N_1\) et \(N_2\). On a \(\lvert u_n-l_1 \rvert < \varepsilon\) et \(\lvert u_n-l_2 \rvert < \varepsilon\) mais alors, en utilisant l’inégalité triangulaire, \[\lvert l_1-l_2 \rvert = \left|(l_1-u_n)+(u_n-l_2)\right|
\leqslant\lvert u_n-l_1 \rvert + \lvert u_n-l_2 \rvert < 2\varepsilon= \lvert l_1-l_2 \rvert\] ce qui est absurde.
(La valeur absolue d’une suite convergente est convergente). Soit \(\left(u_n\right)\) une suite convergeant vers \(l\in\mathbb{R}\). Alors \(\boxed{\left|u_n\right|\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} \left|l\right|}\)
Soit \(\varepsilon> 0\), puisque \(u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}l\), il existe un rang \(N \in \mathbb{N}\) à partir duquel \(\lvert u_n - l \rvert \leqslant\varepsilon\). Alors pour \(n \geqslant N\), en vertu de la minoration de l’inégalité triangulaire voir [inegalites_triangulaires_R] page [inegalites_triangulaires_R], \(\bigl|~\lvert u_n \rvert - \lvert l \rvert ~\bigr| \leqslant\lvert u_n - l \rvert \leqslant\varepsilon\).
(Une suite convergente est bornée). Toute suite convergente est bornée.
(3). Posons \(\varepsilon= 1\). Puisque \((u_n)\) converge, il existe \(l \in \mathbb{R}\) et \(N \in \mathbb{N}\) tel que \(\forall n \geqslant N\), \(\lvert u_n-l \rvert \leqslant\varepsilon\). Donc pour \(n \geqslant N\), en vertu de la minoration de l’inégalité triangulaire, \(\lvert u_n \rvert - \lvert l \rvert \leqslant\lvert u_n-l \rvert \leqslant 1\) et donc \(\lvert u_n \rvert \leqslant 1 + \lvert l \rvert\). Les premiers termes sont en nombre fini, donc on peut poser \(M = \max(\lvert u_0 \rvert ,\dots, \lvert u_{N-1} \rvert , 1 + \lvert l \rvert )\). Alors, \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(\lvert u_n \rvert \leqslant M\) ce qui montre que la suite est bornée.
On se sert souvent du résultat suivant pour transformer l’hypothèse sur une limite en inégalité à partir d’un certain rang.
(Transformation de limite en inégalités). Soit \((u_n)\) une suite et \(k,k' \in \mathbb{R}\). On suppose que
Alors, il existe un rang \(N \in \mathbb{N}\) tel que \(\forall n \geqslant N\), \(k \leqslant u_n \leqslant k'\).
(1). Posons \(\varepsilon= \min(l-k, k'-l) > 0\). Puisque \(u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}l\), il existe un rang \(N\) à partir duquel \(\lvert u_n-l \rvert \leqslant\varepsilon\). Alors, si \(n \geqslant N\),
Les démonstrations de ce paragraphe sont très instructives pour comprendre ce qu’est une preuve d’analyse. Nous les avons rédigées en deux étapes. La première étape (qui se fait au brouillon) consiste à comprendre l’idée de l’approximation. La deuxième étape consiste à rédiger rigoureusement une preuve qui s’appuie sur le plan de démonstration correspondant aux définitions. Étudiez en particulier l’ordre dans lequel les différents objets sont introduits dans ces preuves.
Soit \((u_n)\) une suite réelle et \(l\) un réel. La suite \((u_n)\) converge vers \(l\) si et seulement si la suite \((u_n-l)\) converge vers \(0\).
Il suffit d’écrire \(\lvert u_n-l \rvert = \lvert (u_n-l)-0 \rvert\) dans la définition.
Pour montrer qu’une suite converge vers une limite \(l\), il suffit donc de majorer \(\lvert u_n-l \rvert\) comme le montre le résultat suivant.
(Théorème de majoration). Soit \((u_n)\) une suite réelle et \(l\in \mathbb{R}\). On suppose qu’il existe une suite réelle \((\alpha_n)\) et un rang \(N_1\in\mathbb{N}\) tel que
\(\forall n \geqslant N_1,\quad \left|u_n - l \right| \leqslant\alpha_n\),
alors \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} l\)
Soit \(\varepsilon> 0\).
Puisque \(\alpha_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\), il existe un rang \(N_2 \in \mathbb{N}\) tel que \(\forall n \geqslant N_2\), \(\lvert \alpha_n \rvert \leqslant\varepsilon\).
Posons \(N = \max(N_1, N_2)\).
Soit \(n \geqslant N\). Puisque \(n \geqslant N_1\) et \(n \geqslant N_2\), \[\lvert u_n -l \rvert \leqslant\alpha_n \leqslant\varepsilon\]
(La somme de suites convergentes est convergente). Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) deux suites. On suppose que
\(u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}l\),
\(v_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}l'\).
Alors \(u_n+v_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}l+l'\).
(3). Nous devons majorer \(\lvert (u_n+v_n)-(l+l') \rvert\) à partir d’un certain rang. Notre hypothèse permet de majorer les quantités \(\lvert u_n-l \rvert\) et \(\lvert v_n-l' \rvert\) par un réel \(\varepsilon'> 0\) arbitraire à partir d’un certain rang. Faisons donc apparaître ces groupements avant d’utiliser l’inégalité triangulaire : \[\lvert (u_n+v_n)-(l+l') \rvert = \lvert (u_n-l) + (v_n-l') \rvert \leqslant\lvert u_n-l \rvert +
\lvert v_n-l' \rvert \leqslant 2\varepsilon'\] Il ne reste plus qu’à rédiger rigoureusement la preuve en suivant le plan de démonstration.
Soit \(\varepsilon> 0\).
Posons \(\varepsilon' = \varepsilon/2 > 0\). Puisque \(u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}l\), il existe un rang \(N_1 \in \mathbb{N}\) à partir duquel \(\lvert u_n-l \rvert \leqslant\varepsilon'\). De même, il existe un rang \(N_2 \in \mathbb{N}\) à partir duquel \(\lvert v_n-l' \rvert \leqslant\varepsilon'\).
Posons \(N = \max(N_1, N_2)\).
Soit \(n \geqslant N\), comme \(n\geqslant N_1\) et \(n \geqslant N_2\), \[\lvert (u_n+v_n)-(l+l') \rvert \leqslant\lvert (u_n-l)+(v_n-l') \rvert \leqslant\lvert u_n-l \rvert + \lvert v_n-l' \rvert \leqslant
2\varepsilon' = \varepsilon\]
(Combinaison linéaire de suites convergentes). Soient deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) convergentes : \(u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}l\) et \(v_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}l'\). Alors pour tous réels \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\), \[\alpha u_n + \beta v_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}\alpha l + \beta l'\]
Similaire à la preuve précédente et laissée en exercice. Utiliser \(\varepsilon' = \varepsilon/(\lvert \alpha \rvert +\lvert \beta \rvert )\) lorsque \(\alpha\) et \(\beta\) ne sont pas tous les deux nuls.
(Produit de suites convergentes). On considère deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) convergentes :
Alors \(u_nv_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}ll'\).
(3). Nous devons estimer la quantité \(\lvert u_nv_n - ll' \rvert\) et utiliser notre hypothèse, \(\lvert u_n-l \rvert \leqslant\varepsilon'\) et \(\lvert v_n-l' \rvert \leqslant\varepsilon'\). Faisons donc apparaître ces groupements à l’intérieur des valeurs absolues avant de majorer grâce à l’inégalité triangulaire : \[\lvert u_nv_n-ll' \rvert = \lvert u_n(v_n-l') + l'(u_n - l) \rvert \leqslant\lvert u_n \rvert \lvert v_n-l' \rvert + \lvert l' \rvert
\lvert u_n-l \rvert \leqslant(\lvert u_n \rvert +\lvert l' \rvert )\varepsilon'\] Il reste \(\lvert u_n \rvert\) qu’il nous faut majorer. Nous savons qu’une suite convergente est bornée, donc \(\lvert u_n \rvert \leqslant M\) et alors \(\lvert u_nv_n-ll' \rvert \leqslant(\lvert l' \rvert +M)\varepsilon'\). Reste à rédiger rigoureusement la preuve en suivant le plan de démonstration.
Soit \(\varepsilon> 0\).
Puisque la suite \((u_n)\) converge, elle est bornée. Il existe \(M>0\) tel que \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(\lvert u_n \rvert \leqslant M\).
Posons \(\varepsilon' = \varepsilon/(\lvert l' \rvert + M) > 0\). Puisque \(u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}l\), il existe \(N_1 \in \mathbb{N}\) tel que \(\forall n \geqslant N_1\), \(\lvert u_n-l \rvert \leqslant\varepsilon'\). Puisque \(v_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}l'\), il existe \(N_2 \in \mathbb{N}\) tel que \(\forall n \geqslant N_2\), \(\lvert v_n-l' \rvert \leqslant
\varepsilon'\).
Posons \(N = \max(N_1, N_2)\).
Soit \(n \in\mathbb{N}\) tel que \(n \geqslant N\), on a \[\lvert u_nv_n-ll' \rvert = \lvert u_n(v_n-l') + l'(u_n-l) \rvert \leqslant\lvert u_n \rvert \lvert v_n-l' \rvert +
\lvert l' \rvert \lvert
u_n-l \rvert \leqslant(M+\lvert l' \rvert )\varepsilon' = \varepsilon\]
(Inverse d’une suite convergente). Soit \((u_n)\) une suite et \(l \in \mathbb{R}\). On suppose que
Alors \(\dfrac{1}{u_n} \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}\dfrac{1}{l}\).
(3). Nous devons estimer la quantité \(\lvert 1/u_n - 1/l \rvert\) en utilisant l’hypothèse \(\lvert u_n-l \rvert \leqslant\varepsilon'\). Écrivons \[\left|\dfrac{1}{u_n} - \dfrac{1}{l}\right| = \dfrac{\lvert u_n-l \rvert }{\lvert l \rvert \lvert u_n \rvert } \leqslant
\dfrac{\varepsilon'}{\lvert l \rvert \lvert u_n \rvert }\] Il reste \(\lvert u_n \rvert\) au dénominateur qu’il nous faut minorer. Comme \(\lvert u_n \rvert \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}\lvert l \rvert\), et que \(k = \lvert l \rvert /2 < \lvert l \rvert\), d’après la proposition [transformation_limite_inegalite], à partir d’un certain rang, \(\lvert 1/u_n - 1/l \rvert \leqslant 2\varepsilon'/\lvert l \rvert ^2\). Il nous reste à rédiger rigoureusement cette idée en suivant le plan :
Soit \(\varepsilon> 0\).
Posons \(\varepsilon' = \lvert l \rvert ^2\varepsilon/2\).
Puisque \(u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}l\), il existe un rang \(N_1\) à partir duquel \(\lvert u_n-l \rvert \leqslant\varepsilon'\).
Puisque d’après la proposition [unconvergeimpliquevalabsunconverge], \(\lvert u_n \rvert \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}\lvert l \rvert\), en utilisant la proposition [transformation_limite_inegalite] avec \(k =
\lvert l \rvert /{2} < \lvert l \rvert\), il existe un rang \(N_2 \in \mathbb{N}\) tel que \(\forall n \geqslant N_2\), \(\lvert u_n \rvert \geqslant\lvert \l \rvert /2\).
Posons \(N=\max(N_1, N_2)\).
Soit \(n \geqslant N\), \[\left| \dfrac{1}{u_n} - \dfrac{1}{l}\right| = \dfrac{\lvert u_n-l \rvert }{\lvert l \rvert \lvert u_n \rvert } \leqslant
\dfrac{\varepsilon'}{\lvert l \rvert ^2/2}=\varepsilon\]
(Quotient de suites convergentes). On considère deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) et on fait les hypothèses suivantes.
\(u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}l\),
\(v_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}l'\),
\(l' \neq 0\).
Alors \(\dfrac{u_n}{v_n} \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}\dfrac{l}{l'}\).
Les théorèmes précédents s’appellent les théorèmes généraux sur les suites.
Limites et relations d’ordre
Nous allons voir dans ce paragraphe les liens entre limites et inégalités. Ces résultats sont particuliers aux suites réelles et ne s’étendront pas aux suites complexes (il n’y a pas de relation d’ordre naturelle dans \(\mathbb{C}\) !).
(Passage à la limite dans une inégalité). Soit \((u_n)\) une suite réelle et \(k \in \mathbb{R}\). On suppose que :
Montrons le résultat par l’absurde. Supposons \(l > k\) et posons \(\varepsilon= l-k >
0\). Puisque \(u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}l\), il existe un rang \(N_1 \in \mathbb{N}\) à partir duquel \(\lvert u_n-l \rvert < \varepsilon\) (on peut utiliser une inégalité stricte dans la définition de la limite). D’après la deuxième hypothèse, il existe un rang \(N_2 \in \mathbb{N}\) à partir duquel \(u_n \leqslant k\). Considérons l’entier \(n = \max(N_1, N_2)\). On devrait avoir d’une part \(l-u_n < l-k\) d’où \(u_n > k\) et d’autre part \(u_n \leqslant k\) ce qui est absurde.
Attention aux hypothèses de ce théorème important : on suppose que la suite converge. En aucun cas un passage à la limite ne permet de justifier l’existence d’une limite. On obtient évidemment le théorème correspondant en remplaçant l’inégalité \(\leqslant\) par \(\geqslant\).
(Passage à la limite dans les inégalités). Soient deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\). On suppose que :
\(u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}l\),
\(v_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}l'\),
À partir d’un certain rang, \(u_n \leqslant v_n\).
Alors \(l\leqslant l'\).
Il suffit d’utiliser le résultat précédent avec la suite \((w_n) = (u_n-v_n)\) et \(k = 0\).
Multimédia: Une suite cv vers \(l\). On choisit une barre de hauteur \(k < l\) et on obtient le rang à partir duquel \(u_n \geqslant k\)
(Théorème des gendarmes). On considère trois suites: \((u_n)\), \((v_n)\) et \((w_n)\) . On suppose que :
À partir d’un certain rang, \(v_n \leqslant u_n \leqslant w_n\),
Les deux suites encadrantes \((v_n)\) et \((w_n)\) convergent vers une même limite\(l \in \mathbb{R}\).
Alors la suite \((u_n)\) converge vers \(l\).
(1).
Soit \(\varepsilon> 0\).
Puisque \(v_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}l\), il existe \(N_2 \in \mathbb{N}\) tel que \(\forall n \geqslant N_2\), \(\lvert v_n-l \rvert \leqslant\varepsilon\). De même, il existe \(N_3 \in \mathbb{N}\) tel que \(\forall n \geqslant N_3\), \(\lvert w_n-l \rvert \leqslant\varepsilon\). D’après la première hypothèse, il existe \(N_1 \in \mathbb{N}\) tel que \(\forall n \geqslant N_1\), \(v_n \leqslant u_n \leqslant w_n\)
Posons \(N = \max(N_1, N_2, N_3)\).
Soit \(n \geqslant N\). On a \(u_n-l \leqslant w_n-l \leqslant\varepsilon\) et \(l-u_n \leqslant l-v_n \leqslant\varepsilon\). Par conséquent, \(\lvert u_n-l \rvert \leqslant\varepsilon\).
Contrairement au passage à la limite dans les inégalités, le théorème des gendarmes garantit l’existence de la limite de \((u_n)\). Bien distinguer les deux théorèmes.
(Caractérisation séquentielle de la borne supérieure). On considère une partie \(X\) non vide et majorée de \(\mathbb{R}\). Elle possède une borne supérieure \(\sup X\). Soit un réel \(l \in \mathbb{R}\). Les deux propriétés suivantes sont équivalentes.
\(l = \sup X\).
\(l\) est un majorant de \(X\) et il existe une suite \((x_n)\) d’éléments de \(X\) qui converge vers \(l\).
(1). La preuve illustre bien l’utilisation des deux théorèmes précédents.
On sait que \(\sup X\) est un majorant de la partie \(X\). Nous allons utiliser pour la première fois une technique importante en analyse : la construction d’une suite à partir d’une propriété à quantificateurs de la forme \(\forall \varepsilon> 0,~ \exists x \dots\). Utilisons la caractérisation à \(\varepsilon\) de la borne supérieure (théorème ). \[\forall \varepsilon> 0,~\exists x \in X,~ \sup X - \varepsilon\leqslant x \leqslant\sup X\] Soit \(n \in \mathbb{N}[\star]\), en prenant \(\varepsilon= 1/n > 0\) dans la propriété ci-dessus, il existe un réel \(x_n \in X\) vérifiant \(\sup X - 1/n \leqslant x_n \leqslant\sup X\). On construit ainsi une suite de points \((x_n)\) de \(X\) qui converge vers \(\sup X\) d’après le théorème des gendarmes.
Montrons que \(l\) est le plus petit des majorants de la partie \(X\). Soit \(M\) un majorant de \(X\), on a \(\forall x \in X\), \(x \leqslant M\) d’où \[\forall n \in \mathbb{N},~ x_n \leqslant M\] Mais puisque \(x_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}l\), par passage à la limite dans les inégalités, on en déduit que \(l \leqslant M\).
Multimédia: illustrer cette construction séquentielle
Limites infinies
Nous allons étendre la notion de limite d’une suite à \(\overline{\mathbb{R}}\).
(Suite divergeant vers \(+\infty\) ou \(-\infty\)). Soit \(\left(u_n\right)\) une suite réelle.
On dit que \(\left(u_n\right)\)diverge (ou tend) vers \(+\infty\) si et seulement si \[\forall M\in\mathbb{R}, \quad \exists N\in\mathbb{N}: \quad \forall n\in \mathbb{N}, \quad n\geqslant N \Rightarrow
u_n\geqslant M\] On note alors \(u_n\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} +\infty\).
On dit que \(\left(u_n\right)\)diverge (ou tend) vers \(-\infty\) si et seulement si \[\forall m\in\mathbb{R}, \quad \exists N\in\mathbb{N}: \quad \forall n\in \mathbb{N}, \quad n\geqslant N \Rightarrow
u_n\leqslant m\] On note alors \(u_n\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} -\infty\).
(Pour montrer que \(u_n\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}
+\infty\)). On utilise le plan :
Soit \(M\in \mathbb{R}\).
Posons \(N=...\)
Vérifions: soit \(n\geqslant N\), on a bien \(u_n\geqslant M\)
Attention, il existe des suites divergentes qui ne tendent pas vers \(\pm \infty\), par exemple la suite de terme général \((-1)^n\) …
On étend les théorèmes généraux aux suites qui divergent vers l’infini. Par exemple :
Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) deux suites. On suppose que
Alors \(u_n + v_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty\).
On veut minorer \(u_n+v_n\) à partir d’un certain rang. Avec nos hypothèses, à partir d’un certain rang, \(u_n \geqslant l - 1\) et \(v_n \geqslant M'\) (avec \(M'\) aussi grand que l’on veut). Alors à partir d’un certain rang, \(u_n + v_n \geqslant M' + l - 1\). Il suffit de rédiger rigoureusement cette idée :
Soit \(M \in \mathbb{R}\).
Posons \(M' = M-l+1\).
Puisque \(v_n \rightarrow +\infty\), il existe \(N_1 \in \mathbb{N}\) tel que \(\forall n \geqslant N_1\), \(v_n \geqslant M'\).
Puisque \(u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}l\) et que \(k=l-1 < l\), d’après le théorème [transformation_limite_inegalite], il existe \(N_2 \in \mathbb{N}\) tel que \(\forall n \geqslant N_2\), \(u_n \geqslant l-1\).
Posons \(N=\max(N_1, N_2)\).
Soit \(n \geqslant N\), \(u_n+v_n \geqslant l-1+M' = M\).
Plus généralement, on dispose des théorèmes généraux suivants qui utilisent les opérations sur \(\overline{\mathbb{R}}\) vues dans les tables .
(Théorèmes généraux étendus à \(\overline{\mathbb{R}}\)). On considère deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\). On suppose que :
\(u_n \rightarrow l \in \overline{\mathbb{R}}\),
\(v_n \rightarrow l' \in \overline{\mathbb{R}}\)
Alors,
\(u_n + v_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}l+l'\) sauf si \((l+l')\) est une forme indéfinie.
\(u_n v_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}ll'\) sauf si \((ll')\) est une forme indéfinie.
\(u_n/v_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}l/l'\) sauf si \(l/l'\) est une forme indéfinie.
On utilise souvent la variante suivante du théorème des gendarmes :
(Théorème des gendarmes étendu à \(\overline{\mathbb{R}}\)). Soient deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\). On suppose que
À partir d’un certain rang, \(v_n \leqslant u_n\),
alors \(u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}-\infty\).
Soit \(M \in \mathbb{N}\).
Puisque \(v_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty\), il existe un rang \(N_1 \in \mathbb{N}\) tel que \(\forall n \geqslant N_1\), \(v_n \geqslant M\).
D’après la première hypothèse, il existe un rang \(N_2 \in \mathbb{N}\) tel que \(\forall n\geqslant N_2\), \(v_n \leqslant u_n\).
Posons \(N = \max(N_1, N_2)\).
Soit \(n \geqslant N\), \(u_n \geqslant v_n \geqslant M\).
Suite extraite d’une suite
(Suite extraite). On dit qu’un suite \((v_n)\) est une suite extraite ou une sous suite d’une suite \((u_n)\) s’il existe une application \(\varphi:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}\)strictement croissante telle que \[\forall n \in \mathbb{N}, \quad v_n=u_{\varphi(n)}\]
Soit \(\varphi:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}\) strictement croissante. Alors \[\forall n \in \mathbb{N},\quad \varphi(n) \geqslant n\]
Par récurrence :
Si \(n=0\) alors comme \(\varphi\) est à valeurs dans \(\mathbb{N}\), on a bien \(\varphi\left(0\right)\geqslant 0\).
Soit \(n\in\mathbb{N}\).
On suppose que \(\varphi(n) \geqslant n\). Montrons que \(\varphi(n+1)
\geqslant n+1\). Comme \(\varphi\) est strictement croissante, on a nécessairement \(\varphi\left(n+1\right)>\varphi\left(n\right)\geqslant n\). Par conséquent \(\varphi\left(n+1\right) \geqslant n+1\). (Si pour deux entiers \(x,y\), on a \(x>y\) alors \(x\geqslant y+1\)).
La propriété est alors prouvée par application du principe de récurrence.
(Une suite extraite d’une suite convergente est convergente). Toute suite extraite d’une suite \(\left(u_n\right)\) convergeant vers une limite \(l\) est une suite convergeant vers \(l\)
Soit \(\varphi: \mathbb{N}\mapsto \mathbb{N}\) une application strictement croissante. On suppose que \(u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}l\). Montrons que \(u_{\varphi(n)} \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}l\).
Soit \(\varepsilon> 0\).
Puisque \(u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}l\), il existe \(N \in \mathbb{N}\) tel que \(\forall n \geqslant N\), \(\lvert u_n-l \rvert
\leqslant\varepsilon\).
Soit \(n \geqslant N\). D’après le lemme précédent, \(\varphi(n) \geqslant n \geqslant N\) et donc \(\lvert u_{\varphi(n)} - l \rvert \leqslant\varepsilon\).
(Critère de divergence d’une suite). Soit \((u_n)\) une suite réelle. On suppose qu’il existe deux suites extraites \(u_{\varphi(n)}\) et \(u_{\widetilde
\varphi(n)}\) telles que:
Il suffit de prendre la contraposée de la précédente proposition : si \(\left(u_n\right)\) admet des suites extraites qui ont des limites différentes, alors elle diverge.
La suite \((u_n)=\left((-1)^n\right)\) est divergente. En effet, la suite extraite \((u_{2n})\) converge vers \(1\) alors que la suite extraite \((u_{2n+1})\) converge vers \(-1\).
(Critère de convergence d’une suite). Soit \(\left(u_n\right)\) une suite et \(l\in\overline{\mathbb{R}}\). On suppose que :
alors \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} l\).
Soit \(\varepsilon>0\).
Comme \(u_{2n}\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} l\), il existe un rang \(N_1\in\mathbb{N}\) tel que \(\forall p\geqslant N_1\), \(\left|u_{2p}-l\right|\leqslant\varepsilon\). Puisque \(u_{2n+1}\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} l\), il existe un rang \(N_2\in\mathbb{N}\) tel que \(\forall p\geqslant N_2\), \(\left|u_{2p+1}-l\right|\leqslant\varepsilon\).
Posons \(N=\max\left(2N_1,2N_2+1\right)\).
Soit \(n\geqslant N\). Il y a deux possibilités.
Si \(n\) est pair, \(n =2p\) avec \(2p \geqslant N \geqslant 2N_1\) d’où \(p \geqslant N_1\) et alors \(\left|u_{2p}-l\right|\leqslant\varepsilon\).
Si \(n\) est impair, \(n = 2p+1\) avec \(2p+1 \geqslant N \geqslant 2N_2+1\) d’où \(p \geqslant N_2\) et alors \(\left|u_{2p+1}-l\right|\leqslant\varepsilon\).
Dans les deux cas, on a vérifié que \(\lvert u_n-l \rvert \leqslant\varepsilon\).
Suites monotones
Théorème de la limite monotone
(Théorème de la limite monotone). Soit \(\left(u_n\right)\) une suite croissante. On a les deux possibilités suivantes.
Si la suite \(\left(u_n\right)\) est majorée alors elle converge vers une limite finie \(l\in \mathbb{R}\) donnée par \(l=\sup\left\{u_n ~|~ n \in
\mathbb{N}\right\}\).
Si la suite \(\left(u_n\right)\) n’est pas majorée alors elle diverge vers \(+\infty\).
(3).
Supposons que \(\left(u_n\right)\) soit une suite croissante et majorée par un réel \(M\). L’ensemble \(\mathscr A=\left\{u_n ~|~ n\in\mathbb{N}\right\}\) est une partie non vide et majorée de \(\mathbb{R}\). En appliquant la propriété de la borne supérieure [borne_sup], cet ensemble possède une borne supérieure \(l\in\mathbb{R}\). Montrons que \(u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}l\).
Soit \(\varepsilon> 0\).
D’après la caractérisation de la borne supérieure, il existe \(x \in \mathscr A\) tel que \(l-\varepsilon\leqslant x \leqslant l\). Il existe \(N \in \mathbb{N}\) tel que \(x = u_N\) et on a \(l-\varepsilon\leqslant u_N \leqslant l\).
Soit \(n \geqslant N\). Puisque la suite \((u_n)\) est croissante, \(u_N \leqslant u_n\) et comme \(l\) est un majorant de \(\mathscr A\), \(u_n \leqslant l\). D’où \(l-\varepsilon\leqslant u_N \leqslant u_n \leqslant l\). Mais alors \(-\varepsilon\leqslant u_n-l \leqslant 0\) ce qui montre que \(\lvert u_n-l \rvert \leqslant\varepsilon\).
Supposons que \(\left(u_n\right)\) est croissante mais non majorée. Soit \(A\in\mathbb{R}\). Comme \(\left(u_n\right)\) n’est pas majorée, il existe \(N\in\mathbb{N}\) tel que \(u_N\geqslant A\). Comme \(\left(u_n\right)\) est croissante, on a \(\forall n\geqslant N\), \(u_n\geqslant u_N\geqslant A\). Par conséquent \(u_n
\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} +\infty\).
Ce théorème dit que toute suite croissante possède une limite dans \(\overline{\mathbb{R}}\).
La première partie de ce théorème est souvent formulée sous la forme suivante qu’il faut impérativement retenir :
Si une suite \((u_n)\) croissante converge vers \(l\), on a \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(u_n \leqslant l\).
Si un suite \((u_n)\) décroissante converge vers \(l\), on a \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(l \leqslant u_n\).
Soit \(\left(u_n\right)\) une suite décroissante. On a les deux possibilités suivantes.
Si \(\left(u_n\right)\) est minorée alors \(\left(u_n\right)\) converge vers une limite finie \(l\in \mathbb{R}\) donnée par \(l=\inf\left\{u_n ~|~ n \in
\mathbb{N}\right\}\).
Si \(\left(u_n\right)\) n’est pas minorée alors elle diverge vers \(-\infty\).
Il suffit d’appliquer la propriété précédente à la suite \(\left(-u_n\right)\).
Le théorème de la limite monotone permet de justifier l’existence d’une limite sans la connaître explicitement. C’est un théorème d’existence abstrait très important en analyse.
Suites adjacentes
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Suites adjacentes
(Suites adjacentes). Soient \(\left(u_n\right)\) et \(\left(v_n\right)\) deux suites réelles. On dit que \(\left(u_n\right)\) et \(\left(v_n\right)\) sont adjacentes si et seulement si
(Théorème de convergence des suites adjacentes). Soient \(\left(u_n\right)\) et \(\left(v_n\right)\) deux suites réelles. On suppose que
les suites \(\left(u_n\right)\) et \(\left(v_n\right)\) sont adjacentes.
Alors ces deux suites sont convergentes et convergent vers la même limite \(l\in\mathbb{R}\). De plus, \[\boxed{\forall n\in\mathbb{N}, \quad u_n \leqslant l \leqslant v_n}\]
Remarquons tout d’abord que pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_n\leqslant v_n\). En effet, si ce n’était pas le cas, il existerait \(N\in\mathbb{N}\) tel que \(u_N-v_N > 0\). Mais alors, comme \(\left(u_n\right)\) est croissante et \(\left(v_n\right)\) est décroissante, il vient pour tout \(n\geqslant N\), \(u_n-v_n\geqslant u_N-v_N>0\) ce qui est en contradiction avec le fait que \(u_n-v_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\). On en déduit en particulier que pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_n\leqslant v_n\leqslant v_0\) car \(\left(v_n\right)\) est décroissante et \(v_n\geqslant u_n\geqslant u_0\) car \(\left(u_n\right)\) est croissante.
\(\left(u_n\right)\) est croissante et majorée par \(v_0\). En vertu du théorème de la limite monotone [suite_lim_monotone], \(\left(u_n\right)\) converge vers une limite \(l_1\in\mathbb{R}\) et : \(\forall n\in\mathbb{N},\quad u_n \leqslant l_1\).
\(\left(v_n\right)\) est décroissante et minorée par \(u_0\). En appliquant à nouveau le théorème de la limite monotone [suite_lim_monotone], \(\left(v_n\right)\) converge donc vers une limite \(l_2\in\mathbb{R}\) et : \(\forall n\in\mathbb{N},\quad v_n \geqslant
l_2\).
Les deux suites convergent donc vers une même limite \(l=l_1=l_2\).
Approximation décimale des réels
Dans tout ce paragraphe \(x\) est un nombre réel. Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on pose \[\boxed{p_n=E\left(10^n x\right)}\] Par définition de la partie entière d’un réel, on a \(p_n \leqslant 10^n x < p_{n}+1\). Cette inégalité est équivalente à \(\dfrac{E\left(10^n x\right)}{10^n} \leqslant x < \dfrac{E\left(10^n x\right)+1}{10^n}\).
Posons, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \[a_n=\dfrac{E\left(10^n x\right)}{10^n} \quad \textrm{ et} \quad b_n=\dfrac{E\left(10^n x\right)+1}{10^n}\]
Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(a_n\) et \(b_n\) sont des rationnels : \(a_n,b_n\in\mathbb{Q}\).
(Valeur décimale approchée). Soit \(n\in\mathbb{N}\). Les rationnels \(a_n\) et \(b_n\) sont appelés respectivement valeurs décimales approchées de \(x\) à \(10^{-n}\) près respectivement par défaut et par excès.
\(n\)
\(a_n\)
\(b_n\)
erreur\(=10^{-n}\)
\(1\)
\(1 < \sqrt 2<2\)
\(1\)
\(2\)
\(1\)
\(2\)
\(1.4 < \sqrt 2<1.5\)
\(1.4\)
\(1.5\)
\(0.1\)
\(3\)
\(1.41 < \sqrt 2<1.42\)
\(1.41\)
\(1.42\)
\(0.01\)
\(4\)
\(1.414 < \sqrt 2<1.415\)
\(1.414\)
\(1.415\)
\(0.001\)
Les suites \(\left(a_n\right)\) et \(\left(b_n\right)\) sont adjacentes et leur limite commune est \(x\).
Soit \(n\in\mathbb{N}\). Rappelons que \(p_n \leqslant 10^n x < p_{n}+1\) où \(p_n=E\left(10^n x\right)\). En multipliant par \(10\) chaque membre de cette inégalité, on obtient \[10 p_n \leqslant 10^{n+1}x < 10\left(p_{n}+1\right).\] Or \(p_{n+1}\) est le plus grand entier inférieur à \(10^{n+1}x\) et \(1+p_{n+1}\) est le plus petit entier supérieur à \(10^{n+1}x\). Par conséquent, on a
\(10 p_n \leqslant p_{n+1}\) ce qui donne \(\dfrac{p_n}{10^n}
\leqslant\dfrac{p_{n+1}}{10^{n+1}}\) et donc \(a_n\leqslant a_{n+1}\). La suite \(\left(a_n\right)\) est croissante.
\(1+p_{n+1}< 10\left(p_{n}+1\right)\) ce qui s’écrit aussi : \(\dfrac{1+p_{n+1}}{10^{n+1}} \leqslant\dfrac{p_n+1}{10^n}\). La suite \(\left(b_n\right)\) est décroissante.
Comme \(b_n-a_n=10^{-n}\), on a bien \(b_n-a_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\) et on a prouvé que les deux suites \(\left(a_n\right)\) et \(\left(b_n\right)\) sont adjacentes. Elles sont donc convergentes et convergent vers une même limite \(l\in\mathbb{R}\). Comme \(\forall n\in\mathbb{N},\quad p_n \leqslant 10^n x <
p_{n}+1\), on a nécessairement \(l=x\) par passage à la limite dans les inégalités
Segments emboités et théorème de Bolzano-Weierstrass
( Théorème des segments emboîtés). Soit \((I_n)_{n\in\mathbb{N}}\) une suite de segments, \(I_n=[a_n,b_n]\) tels que
Ils sont emboîtés : \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(I_{n+1}\subset I_n\) ;
Leur diamètre tend vers \(0\) : \((b_n-a_n)\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\).
Alors il existe un réel \(l\in \mathbb{R}\) tel que \(\bigcap_{n\in\mathbb{N}} I_n =\{l\}\).
Soit \(n \in \mathbb{N}\). Puisque \([a_{n+1}, b_{n+1}]\subset [a_n, b_n]\), on a \(a_n \leqslant a_{n+1}\) et \(b_{n+1} \leqslant b_n\) ce qui montre que la suite \((a_n)\) est croissante et la suite \((b_n)\) décroissante. La deuxième hypothèse montre que ces suites sont adjacentes. Elles convergent donc vers la même limite \(l \in \mathbb{R}\). Montrons par double inclusion que \(\bigcap_{n\in\mathbb{N}} I_n = \{l\}\).
Montrons que \(l\) appartient à l’intersection des intervalles \(I_n\). Puisque les suites \((a_n)\) et \((b_n)\) sont adjacentes et convergent vers \(l\), on sait que \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(a_n \leqslant l \leqslant b_n\) et donc \(\forall n
\in \mathbb{N}\), \(l \in I_n\) ce qui montre que \(l \in \bigcap_{n\in\mathbb{N}} I_n\).
Soit \(x \in \bigcap_{n\in\mathbb{N}} I_n\). Montrons que \(x=l\). Par définition de l’intersection d’une famille (voir l’appendice [def:0714153224]), \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(x \in
I_n\) d’où \[\forall n \in \mathbb{N},\quad a_n \leqslant x \leqslant b_n\] Par passage à la limite dans les inégalités, on en tire que \(l \leqslant x \leqslant
l\) d’où \(l = x\).
Karl Weierstrass, né le 31 octobre 1815 à Ostenfelde (Westphalie), mort le 19 février 1897 à BerlinMathématicien Allemand. Karl Weierstrass est considéré comme le père de l’analyse moderne. Après des études secondaires brillantes, son père le force à étudier le droit à l’université de Bonn. Il ne fréquente guère les amphithéâtres et préfère s’adonner à l’escrime, aux mathématiques et à la boisson ... Tant et si bien qu’au bout de quatre ans il n’a toujours aucun diplôme. Son père consent à lui financer deux années supplémentaires afin qu’il décroche un poste d’enseignant dans le secondaire. Il rencontre alors Guddermann qui va le former aux mathématiques. Ce n’est qu’à 40 ans et alors qu’il enseigne dans le secondaire depuis une quinzaine d’année qu’il publie un article dans le fameux journal de Crelle sur les travaux qu’il a mené de façon isolée depuis plusieurs années. Il accède aussitôt à la célébrité et obtient rapidement un titre de docteur et une chaire à l’université de Berlin. Il s’est intéressé, entre autres aux fonctions analytiques et aux fonctions elliptiques. On lui doit le formalisme actuel en analyse.
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(Théorème de Bolzano-Weierstrass). De toute suite réelle bornée, on peut extraire une suite convergente.
Vous pouvez la sauter en première lecture. Nous allons uniquement donner une idée de la construction en ne rédigeant pas les récurrences complètes.
Considérons une suite \((u_n)\) bornée. Il existe \(a_0, b_0 \in \mathbb{R}\) tels que \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(a_0 \leqslant u_n \leqslant b_0\). Nous allons utiliser un procédé standard d’analyse, la dichotomie pour construire une suite extraite de \((u_n)\) qui va converger.
Posons \(c_0 = (a_0+b_0)/2\) et \(G_0 = \{n \in \mathbb{N}\mid u_n \in [a_0, c_0]\}\), \(D_0 = \{n \in \mathbb{N}\mid u_n \in [c_0, b_0] \}\). Puisque \(G_0 \cup D_0 = \mathbb{N}\), l’un de ces deux ensembles est infini.
Si \(G_0\) est infini, puisque \(G_0\) est une partie non vide de \(\mathbb{N}\), elle possède un plus petit élément \(n_0\) (c’est un axiome des entiers que nous verrons prochainement). Posons \(a_1 = a_0\), \(b_1 = c_0\), \(c_1=\left(a_1+b_1\right)/2\), \(G_1 = \{n > n_0 \mid
u_n \in [a_1, c_1] \}\), \(D_1 = \{n > n_0 \mid u_n \in [c_1, b_1] \}\).
Si \(G_0\) est fini, alors \(D_0\) est infini et possède un plus petit élément \(n_0\). On pose alors \(a_1 = c_0\), \(b_1 = b_0\), \(G_1 = \{n > n_0 \mid u_n \in [a_1,c_1]\}\), \(D_1 = \{n > n_0 \mid u_n \in [c_1, b_1] \}\).
Dans les deux cas, \(G_1 \cup D_1\) est un ensemble infini. On construit par récurrence une suite d’entiers \((n_k)_{k\in \mathbb{K} }\) et deux suites réelles \((a_n)\), \((b_n)\) vérifiant : \(n_0 < n_1 < \dots < n_k < \dots\), \(a_0 \leqslant a_1 \leqslant\dots \leqslant a_k \leqslant\dots \leqslant
b_k \leqslant\dots \leqslant b_1 \leqslant b_0\) et \(a_k \leqslant u_{n_k} \leqslant b_k\). Puisque \((b_k-a_k) = (b_0-a_0)/2^k\), on vérifie facilement que ce sont deux suites adjacentes. Elles convergent donc vers la même limite \(l \in \mathbb{R}\). On définit alors l’application \[\varphi: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{N} & \longrightarrow & \mathbb{N} \newline k & \longmapsto & n_k \end{array} \right.\] qui est strictement croissante. Puisque \(a_k \leqslant u_{n_k} \leqslant b_k\), d’après le théorème des gendarmes, la suite extraite \(u_{\varphi(k)}\) converge vers \(l\).
Multimédia: Animation qui explique cette construction.
Suites géométriques
(Convergence d’une suite géométrique). Considérons la suite géométrique \(\left(k^n\right)\) de raison \(k\in \mathbb{R}\) et de premier terme \(1\).
Si \(k >1\), la suite \((k^n)\) diverge vers \(+\infty\).
Si \(k=1\), la suite \((k^n)\) est constante et tend vers \(1\).
Si \(\left|k\right| <1\), la suite \((k^n)\) converge vers \(0\).
Si \(k \leqslant-1\), la suite \((k^n)\) diverge.
En résumé la suite géométrique \((k^n)\) converge si et seulement si \(\lvert k \rvert < 1\) ou bien \(k = 1\).
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Supposons \(k>1\). Nous allons utiliser l’inégalité suivante, dite de Bernoulli et qui se prouve aisément par récurrence (voir l’exercice [exo_inegalite_de_bernoulli] page [exo_inegalite_de_bernoulli]): \[\forall x\geqslant 0,\quad\forall n\in\mathbb{N},
\quad\left(1+x\right)^n\geqslant 1+nx.\] Comme \(k>1\), on a \(k-1>0\) et donc, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(k^n = \left(1+\left(k-1\right)\right)^n \geqslant 1+n\left(k-1\right)\). Comme \(k-1>0\), \(n\left(k-1\right)\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} +\infty\). Par le théorème des gendarmes, on en déduit que \(k^n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} +\infty\).
Si \(k=1\), trivialement \(k^n\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 1\).
Si \(\left|k\right|<1\), alors en supposant que \(k\) est non nul et en posant \(b=1/\lvert k \rvert\), on a \(b>1\). D’après le premier point, on peut affirmer que \(b^n
\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}+\infty\) et alors la suite \(\left|k\right|^n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\) et donc \(k^n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\). Si \(a=0\), le résultat est évident.
Si \(k\leqslant-1\), on peut extraire deux sous-suites de la suite \(\left(k^n\right)\), les suites \((k^{2n})\) et \((k^{2n+1})\). Si \(k<-1\), la première sous-suite diverge vers \(+\infty\) et la seconde diverge vers \(-\infty\) et si \(k=-1\), la première sous-suite converge vers \(1\) et la seconde converge vers \(-1\). Dans les deux cas, appliquant le théorème [sous_suites_limites_differentes], on peut affirmer que \(\left(k^n\right)\) est divergente.
(Série géométrique). Soit \(k\in \mathbb{R}\). On définit la progression géométrique (ou série géométrique) de raison \(k\) comme étant la suite de terme général \[\displaystyle{S_n=1+k+k^2+...+k^n=\sum_{i=0}^n k^i }\]
(Convergence d’une série géométrique).
On sait calculer une somme géométrique : \[\boxed{S_n=1+k+k^2+...+k^n=
\begin{cases}
\dfrac{1-k^{n+1}}{1-k} & \textrm{ si } k \neq 1 \newline
n+1 & \textrm{ si } k = 1
\end{cases}
}\]
Si \(\left|k\right|<1\), la suite \((S_n)\) converge vers le réel \(\dfrac{1}{1-k}\) et si \(\left|k\right|\geqslant 1\), la suite \((S_n)\) diverge.
Si \(\lvert k \rvert < 1\), puisque \(k^n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\), \(S_n = \dfrac{1-k^{n+1}}{1-k} \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}
\dfrac{1}{1-k}\). Si \(k = 1\), \(S_n = n+1 \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty\) et donc \((S_n)\) diverge. Pour \(\lvert k \rvert \geqslant 1\) et \(k \neq 1\), puisque \((1-k)S_n = 1-k^{n+1}\), on tire \(k^{n} = (1-(1-k)S_n)/k\). Si la suite \((S_n)\) convergeait vers \(l\), d’après les théorèmes généraux, la suite \((k^n)\) convergerait vers \((1-(1-k)l)/k\) ce qui est faux d’après le théorème précédent.
Le dessin suivant permet de visualiser la limite de la somme géométrique dans le cas où \(0 < k < 1\). On place les uns après les autres des cubes de côté \(k^i\). Multimédia: Faire varier k et la valeur de la somme
Les-mathematiques.net
Les suites et séries géométriques sont très utilisées en analyse. On essaie souvent de majorer des suites par des suites géométriques dont on connaît bien le comportement.
Relations de comparaison
Introduction
Bien que deux suites puissent avoir la même limite, elles peuvent avoir des comportement très différents en l’infini. On s’en convaincra en observant les graphes des suites \(\left(n\right)\), \(\left(2^n\right)\) et \(\left(n!/10\right)\). Une idée simple pour comparer le comportement asymptotique de deux suites \(\left(u_n\right)\) et \(\left(v_n\right)\) est d’étudier la nature de la suite quotient \(\left(u_n/v_n\right)\). Cette idée est à la base des notions de domination, prépondérance et équivalence que nous allons développer maintenant. Ainsi, on dira que \(\left(v_n\right)\) est prépondérante devant \(\left(u_n\right)\) si \(u_n/v_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\). On dira aussi que \(\left(u_n\right)\) et \(\left(v_n\right)\) sont équivalentes si \(u_n/v_n
\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}1\). On verra que cette façon de comparer le comportement asymptotique des suites aura des conséquences utiles sur les méthodes de calcul de limites.
(Suite dominée par une autre). Soient \(\left(u_n\right)\) et \(\left(v_n\right)\) deux suites. On dit que \(\left(u_n\right)\) est dominée par \(\left(v_n\right)\) si et seulement si il existe une suite \(\left(B_n\right)\) et un rang \(N\in\mathbb{N}\) tels que :
\(\left(B_n\right)\) est une suite bornée.
\(\forall n\geqslant N, \quad u_n=B_n v_n\)
On note alors : \(u_n=\underset{n \rightarrow +\infty}{O}\left(v_n\right)\)
(Transitivité de la relation \(O\)). Le relation \(O\) est transitive, ce qui signifie que si \(\left(u_n\right)\), \(\left(v_n\right)\) et \(\left(w_n\right)\) sont trois suites, alors : \[\left[u_n=\underset{n \rightarrow +\infty}{O}\left(v_n\right) \quad \textrm{ et} \quad v_n=\underset{n \rightarrow +\infty}{O}\left(w_n\right)\right]
\quad\Rightarrow \quad u_n=\underset{n \rightarrow +\infty}{O}\left(w_n\right)\]
Comme \(u_n=\underset{n \rightarrow +\infty}{O}\left(v_n\right) \quad \textrm{ et} \quad
v_n=\underset{n \rightarrow +\infty}{O}\left(w_n\right)\), il existe des suites bornées \(\left(B'_n\right)\) et \(\left(B''_n\right)\) telles que à partir d’un certain rang \(N'\) et d’un certain autre \(N''\), on a : \(\forall n\geqslant N', \quad u_n=B'_n
v_n\) et \(\forall n\geqslant N'', \quad v_n=B''_n w_n\). Posons \(N=\max\left(N',N''\right)\) et pour tout \(n\geqslant N\), posons \(B_n=B'_n.B''_n\). La suite \(\left(B_n\right)_{n\geqslant N}\) est bornée et : \[\forall n\geqslant N, \quad
u_n=B'_n v_n = B'_n B''_n w_n = B_n w_n.\] Par conséquent, \(u_n=\underset{n \rightarrow +\infty}{O}\left(w_n\right)\).
(Une suite est dominée par une autre si et seulement si le quotient de la première par la deuxième est borné). Soit \(\left(u_n\right)\) et \(\left(v_n\right)\) deux suites. Si à partir d’un certain rang \(\left(v_n\right)\) ne s’annule pas alors : \[\boxed{u_n=\underset{n \rightarrow +\infty}{O}\left(v_n\right) \quad\Longleftrightarrow\quad
\textrm{ $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ est bornée}}\]
Supposons que \(\left(v_n\right)\) ne s’annule pas à partir du rang \(N\in\mathbb{N}\). La suite \(\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)_{n\geqslant N}\) est donc bien définie. On peut supposer que \(\left(v_n\right)\) ne s’annule jamais (et donc que \(N=0\)). Dire que : \(u_n=\underset{n \rightarrow +\infty}{O}\left(v_n\right)\) revient à dire qu’il existe un rang \(N\in\mathbb{N}\) et une suite bornée \(\left(B_n\right)\) tels que : \(\forall n\geqslant N,\quad u_n=B_n v_n\), ce qui est équivalent à dire que : \(\forall n\geqslant N,\quad \dfrac{u_n}{v_n}=B_n\) et donc que \(\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)\) est bornée.
Suite négligeable devant une autre
(Suite négligeable devant une autre). Soient \(\left(u_n\right)\) et \(\left(v_n\right)\) deux suites réelles. On dit que \(\left(u_n\right)\) est négligeable devant \(\left(v_n\right)\) si et seulement si il existe une suite \(\left(\varepsilon_n\right)\) et un rang \(N\) tels que
\(\forall n\geqslant N, \quad u_n=\varepsilon_n v_n\)
On note alors : \(u_n=\underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(v_n\right)\).
Écrire que \(u_n=\underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(1\right)\) revient à dire que \(u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\).
(Transitivité de la relation \(o\)). La relation \(o\) est transitive, ce qui signifie que si \(\left(u_n\right)\), \(\left(v_n\right)\) et \(\left(w_n\right)\) sont trois suites réelles, alors : \[\left[u_n=\underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(v_n\right) \quad \textrm{ et} \quad v_n=\underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(w_n\right)\right]
\quad\Rightarrow \quad u_n=\underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(w_n\right)\]
Identique à la démonstration de la transitivité de \(O\).
(Une suite est négligeable devant une autre si et seulement si le quotient de la première par la deuxième tend vers \(0\).). Soit \(\left(u_n\right)\) et \(\left(v_n\right)\) deux suites réelles. Si à partir d’un certain rang \(\left(v_n\right)\) ne s’annule pas alors : \[\boxed{u_n=\underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(v_n\right) \quad\Longleftrightarrow\quad
\dfrac{u_n}{v_n}\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0}\]
Identique à la démonstration du théorème [grando_borne].
Vous rencontrerez deux façons d’utiliser la notation \(o\).
La première est celle de la définition. Par exemple, on peut écrire \(\ln
n =\underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(n\right)\), ce qui signifie que \(\ln n/n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\).
Mais vous rencontrerez aussi des écritures comme : \[\dfrac{1}{n-1}= \dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{n^3} +
\underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(\dfrac{1}{n^3}\right)\] qui signifie que \(1/(n-1)
-\left(1/n+1/n^2+1/n^3\right)\) est négligeable devant \({1}/{n^3}\) quand \(n\rightarrow +\infty\). Autrement dit : \(1/n+1/n^2+1/n^3\) est une approximation de \({1}/ \left(n-1\right)\) quand \(n\rightarrow
+\infty\) et l’erreur commise est un \(\underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^3}\right)\) c’est-à-dire est négligeable devant \(1/n^3\) quand \(n\rightarrow +\infty\).
Suites équivalentes
(Suite équivalentes). Soient \(\left(u_n\right)\) et \(\left(v_n\right)\) deux suites réelles. On dit que \(\left(u_n\right)\) est équivalente à \(\left(v_n\right)\) si et seulement si : \[u_n -v_n =\underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(v_n\right)\]
La relation est équivalente à est une relation d’équivalence sur l’ensemble des suites. Soient \(\left(u_n\right)\), \(\left(v_n\right)\) et \(\left(w_n\right)\) trois suites réelles. On a :
\(\sim\) est réflexive : \(u_n \underset{n\rightarrow +\infty}{\sim} u_n\).
Montrons que si \(u_n \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim}v_n\), alors \(v_n \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim}u_n\). Puisque \(u_n \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim}v_n\), à partir d’un certain rang \(N\), \(u_n-v_n = v_n\varepsilon_n\) où \(\varepsilon_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\). On en tire \(u_n = (1+\varepsilon_n)v_n\). Puisque \(\varepsilon_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\), à partir d’un rang \(N_2 \geqslant N\), \(1-\varepsilon_n \neq 0\). Alors pour \(n \geqslant N_2\), \(v_n-u_n = -\varepsilon_n/(1-\varepsilon_n) v_n\). Définissons la suite \((e_n)\) par \(e_n = -\varepsilon_n/(1+\varepsilon_n)\). On a \(e_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\) ce qui montre que \(v_n-u_n = \petito{u_n}\) d’où \(v_n \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim}u_n\). Les autres preuves sont laissées en exercice.
(Une suite est équivalente à une autre si et seulement si le quotient de la première par la deuxième tend vers \(1\).). Soient \(\left(u_n\right)\) et \(\left(v_n\right)\) deux suites réelles. Si \(\left(v_n\right)\) ne s’annule pas à partir d’un certain rang, alors \[\boxed{u_n\underset{n\rightarrow +\infty}{\sim} v_n \quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{u_n}{v_n}\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 1}\]
(Pour montrer que \(u_n \underset{n\rightarrow +\infty}{\sim} v_n\)). on peut au choix, montrer que
À partir d’un certain rang, \(u_n=(1+\varepsilon_n)v_n\) avec \(\varepsilon_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\).
À partir d’un certain rang, \(u_n=v_n + \varepsilon_n\) avec \(\varepsilon_n=\underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(v_n\right)\).
(Équivalents et limites). Soit \(\left(u_n\right)\) et \(\left(u_n\right)\) deux suites réelles . Alors :
Si \(u_n \underset{n\rightarrow +\infty}{\sim} v_n\) et si \(v_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} l\in\overline{\mathbb{R}}\) alors \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} l\).
Si \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} l\in \mathbb{R}\) avec \(\boxed{l \neq 0}\), alors \(\boxed{u_n \underset{n\rightarrow +\infty}{\sim} l}\).
Comme \(u_n \underset{n\rightarrow +\infty}{\sim} v_n\), il existe une suite \(\left(\varepsilon_n\right)\) telle que, à partir d’un certain rang : \(u_n=(1+\varepsilon_n)v_n\) et \(\varepsilon_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}
0\). Comme \(v_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} l\in\overline{\mathbb{R}}\), par opération sur les limites : \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} l\).
Dire que : \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} l\in \mathbb{R}^*\) revient à dire que : \(\dfrac{u_n}{l} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 1\) et donc \(u_n
\underset{n\rightarrow +\infty}{\sim} l\).
Écrire \(u_n \underset{n\rightarrow +\infty}{\sim} 0\) revient à dire qu’à partir d’un certain rang, les termes de la suite \(\left(u_n\right)\) sont tous nuls.
(Un équivalent simple permet de connaître le signe d’une suite). Si \(\left(u_n\right)\) et \(\left(v_n\right)\) sont deux suites réelles équivalentes alors, il existe un rang à partir duquel elles sont de même signe \[u_n \underset{n\rightarrow +\infty}{\sim} v_n \Rightarrow \left[\exists N \in \mathbb{N}: \quad \forall n
\geqslant N, \quad u_n v_n\geqslant 0\right]\]
Comme \(u_n \underset{n\rightarrow +\infty}{\sim} v_n\) il existe une suite \(\left(\varepsilon_n\right)\) telle que, à partir d’un certain rang : \(u_n=(1+\varepsilon_n)v_n\) et \(\varepsilon_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}
0\). Le signe de \((1+\varepsilon_n)v_n\) est donc donné, à partir d’un certain rang, par celui de \(v_n\). Par conséquent, à partir d’un certain rang, les deux suites \(\left(u_n\right)\) et \(\left(v_n\right)\) sont de me signe.
(Produits, quotients, puissances d’équivalents). Soit \(\left(a_n\right)\), \(\left(b_n\right)\), \(\left(u_n\right)\), \(\left(v_n\right)\) des suites vérifiant : \[u_n \underset{n\rightarrow +\infty}{\sim} a_n \quad \textrm{ et} \quad v_n \underset{n\rightarrow +\infty}{\sim} b_n.\] Alors :
Si \(\left(v_n\right)\) et \(\left(b_n\right)\) ne s’annulent pas à partir d’un certain rang : \(\boxed{\dfrac{u_n}{v_n} \underset{n\rightarrow +\infty}{\sim}
\dfrac{a_n}{b_n}}\).
Si \(\left(u_n\right)\) et \(\left(a_n\right)\) sont strictement positives à partir d’un certain rang :\(\boxed{u_n^\alpha \underset{n\rightarrow +\infty}{\sim}
a_n^\alpha}\) où \(\alpha\in\mathbb{R}\).
Démontrons le premier équivalent. Les autres se prouvent de même. Comme \(u_n \underset{n\rightarrow +\infty}{\sim} a_n \quad \textrm{ et} \quad v_n \underset{n\rightarrow +\infty}{\sim} b_n\), il existe des suites \(\left(\alpha_n\right)\) et \(\left(\beta_n\right)\) toutes deux convergeant vers \(1\) telles que à partir d’un certain rang : \(u_n =
\alpha_n a_n\) et \(v_n=\beta_n b_n\). Par conséquent, à partir d’un certain rang : \(u_n.v_n = \left(\alpha_n a_n\right).\left( \beta_n b_n\right) =
\alpha_n\beta_n . a_n b_n\) et par opération sur les limites \(\alpha_n \beta_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 1\). On a donc bien : \(u_n
v_n \underset{n\rightarrow +\infty}{\sim} a_n b_n\).
Attention, il ne faut pas
Sommer des équivalents.
Composer des équivalents. En particulier, il ne faut pas
Prendre des logarithmes d’équivalents.
Prendre des exponentielles d’équivalents.
Par exemple :
\(n+1\underset{n \rightarrow +\infty}{\sim}n\) et \(-n\underset{n \rightarrow +\infty}{\sim}-n+2\) mais cela n’a pas de sens d’écrire : \(1 \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim}2\).
\(2^n+n\underset{n \rightarrow +\infty}{\sim}2^n\) mais par contre \(e^{2^n+n}\) n’est pas équivalent à \(e^{2^n}\).
Comparaison des suites de référence
(Comparaison logarithmique).
Si \(\left(u_n\right)\) et \(\left(v_n\right)\) sont deux suites à termes et si, à partir d’un certain rang, \[\boxed{\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \leqslant
\dfrac{v_{n+1}}{v_n}}\] alors \(\boxed{u_n=
\underset{n \rightarrow +\infty}{O}\left(v_n\right)}\).
Soit \(\left(u_n\right)\) est une suite à termes . On a :
Si à partir d’un certain rang : \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \leqslant
\dfrac{v_{n+1}}{v_n}\) alors, à partir d’un certain rang, on a : \(\dfrac{u_{n+1}}{v_{n+1}} \leqslant\dfrac{u_{n}}{v_{n}}\) et donc la suite \(\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)\) est décroissante à partir de ce rang. Comme \(\left(u_n\right)\) et \(\left(v_n\right)\) sont à termes strictement positifs, cette suite est minorée par \(0\). On peut donc appliquer le théorème de la limite monotone [suite_lim_monotone], la suite \(\dfrac{u_{n}}{v_{n}}\) converge vers une limite \(l\geqslant 0\). Par application du théorème [convergenteimpliquebornee], on peut affirmer que \(\dfrac{u_{n}}{v_{n}}\) est bornée et donc que \(u_n=
\underset{n \rightarrow +\infty}{O}\left(v_n\right)\).
Si \(l<1\) alors on peut trouver un réel \(r\in\left]l,1\right[\) (par exemple \(r = (l+1)/2\)). D’après le théorème [transformation_limite_inegalite] page [transformation_limite_inegalite], à partir d’un certain rang \(N\in\mathbb{N}\), on a \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \leqslant r\). Par conséquent, si \(n\geqslant N\), \[\dfrac{u_{n+1}}{u_N} = \dfrac{u_{n+1}}{u_n}
\dfrac{u_{n}}{u_{n-1}}
~\dots~\dfrac{u_{N+2}}{u_{N+1}} \dfrac{u_{N+1}}{u_N}\leqslant
\underbrace{r ~\dots~. r}_{n+1-N \textrm{ fois}} =r^{n+1-N}.\] Donc \(u_n \leqslant r^{n+1-N} u_N\) et comme \(0\leqslant r < 1\), la suite géométrique \((r^n)\) converge vers \(0\). On en déduit que \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\).
Si \(l>1\) alors en prenant \(r\in\left]1,l\right[\), à partir d’un certain rang \(N\in\mathbb{N}\), on a \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \geqslant r\). La démonstration se termine comme la précédente.
Soit \(\left(u_n\right)\) la suite de terme général \(u_n=\dfrac{\left(\ln n\right)^\beta}{n^\alpha}\). Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on a \(u_n=\left(\dfrac{\beta}{\alpha}\dfrac{\left(\ln
n^{\dfrac{\alpha}{\beta}}\right)}{n^{\dfrac{\alpha}{\beta}}}\right)^\beta\). Mais \(\dfrac{\ln x}{x} \xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{} 0\). Par conséquent \(\dfrac{{\ln
n^{\dfrac{\alpha}{\beta}}}}{n^{\dfrac{\alpha}{\beta}}}
\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\) et donc \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\) ce qui prouve que \(\left(\ln n\right)^\beta =
\underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(n^\alpha\right)\).
Considérons maintenant la suite \(\left(v_n\right)\) de terme général \(v_n=\dfrac{n^\alpha}{a^n}\). Soit \(n\in\mathbb{N}\). On a \[\dfrac{v_{n+1}}{v_n} =\dfrac{1}{a} \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^a
\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} \dfrac{1}{a}\] En appliquant le critère de comparaison logarithmique, on peut affirmer, puisque \(0<\dfrac{1}{a}<1\), que \(v_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\) et donc que \(n^\alpha~=~\underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(a^n\right)\).
Considérons la suite \(\left(w_n\right)\) de terme général \(w_n=\dfrac{a^n}{n!}\). On a \[\dfrac{w_{n+1}}{w_n} = \dfrac{a}{n+1} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\] En appliquant à nouveau le critère de comparaison logarithmique, on peut affirmer que \(v_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\) et donc que \(a^n
= \underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(n!\right)\).
Pour la dernière relation, si \(n\geqslant 1\) on vérifie facilement que : \[\dfrac{n!}{n^n}=\dfrac{1\times2\times3\times\dots\times
n}{n\times n\times n\times\dots\times n} \leqslant\dfrac{1}{n} \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0.\] On peut aussi appliquer le critère de comparaison logarithmique à la suite \(\left(x_n\right)\) de terme général \(x_n=\dfrac{n!}{n^n}\). On a : \[\dfrac{x_{n+1}}{x_n} = \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{n}=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{-n}
\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} \dfrac{1}{e}\in\left]0,1\right[.\]
(Équivalents usuels). Soit \(\left(u_n\right)\) une suite telle que \(\boxed{u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0}\).
La troisième équivalence est une conséquence de la limite usuelle \(\dfrac{\ln \left(1+x\right)}{x} \xrightarrow[x\rightarrow 0]{} 1\).
Par application des formules de trigonométrie, \(1-\cos
u_n=1-\cos\left(2\dfrac{u_n}{2} \right) = 2\sin^2 \dfrac{u_n}{2}
\underset{n\rightarrow +\infty}{\sim} 2 \dfrac{u_n^2}{4} = \dfrac{u_n^2}{2}\) par produit d’équivalents.
La cinquième équivalence est une conséquence de la limite usuelle \(\dfrac{e^x-1}{x}\xrightarrow[x\rightarrow 0]{} 1\).
\(\left(1+u_n\right)^\alpha -1 =e^{\alpha\ln \left(1+u_n\right)}-1 = \alpha\ln
\left(1+u_n\right)\) par application de la formule \(5\) car \(\alpha\ln
\left(1+u_n\right)\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\). Donc, en appliquant la formule \(3\), \(\left(1+u_n\right)^\alpha -1 \underset{n\rightarrow +\infty}{\sim}\alpha u_n\).
En conclusion à ce chapitre et avant d’aborder les exercices, il est vivement conseillé de prendre connaissance du paragraphe [AnnexeC_Equivalents] de l’annexe [AnnexeC]. On y apprendra différentes méthodes permettant de calculer des équivalents. Il sera aussi très profitable de (re-)lire le paragraphe [AnnexeC_Inegalites] de cette même annexe.
En résumé
Les différents théorèmes et les différentes définitions de ce chapitre doivent être parfaitement compris et appris. Il faut pouvoir les illustrer par des dessins et savoir refaire les démonstrations marquées avec des \(\heartsuit\). Pour la plupart, ces théorèmes et définitions seront re-formulés dans le cadre du prochain chapitre sur les fonctions réelles.
Enfin, en complément à ce chapitre, il faudra vous consacrer au paragraphe [AnnexeC_suites_recurrentes] page [AnnexeC_suites_recurrentes] toujours dans l’annexe [AnnexeC]. On y traite des suites définies par récurrence un thème .... récurrent... dans les concours.
Bibliographie
Barre utilisateur
[ID: 65] [Date de publication: 9 décembre 2021 18:37] [Catégorie(s): Le cours de SUP ] [
Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs:
1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ]
[nombre d'auteurs:
3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]
