• Comme \(x\left(t\right)\xrightarrow[t\rightarrow +\infty]{}0\) et \(y\left(t\right)\xrightarrow[t\rightarrow +\infty]{}+\infty\) alors la droite d’équation \(x=0\) est asymptote à la courbe quand \(t\rightarrow +\infty\).

• On montre de même que la droite d’équation \(x=0\) est asymptote à la courbe quand \(t\rightarrow -\infty\).

• 1. On forme le quotient \(y\left(t\right)/x\left(t\right)\) et on cherche sa limite quand \(t\rightarrow 1^+\) : \[\dfrac{y\left(t\right)}{x\left(t\right)}= t^2+1=\xrightarrow[t\rightarrow 1]{} 2\]

  2. On cherche maintenant la limite de \(y\left(t\right)-2x\left(t\right)\) quand \(t\rightarrow 1\) : \[y\left(t\right)-2x\left(t\right)= \dfrac{t^2-1}{t-1}=t+1 \xrightarrow[t\rightarrow 1]{}2\] donc la droite d’équation \(y=2x+2\) est asymptote à la courbe quand \(t\rightarrow 1^+\).

  3. On cherche la position de la courbe relativement à l’asymptote. Pour ce faire, on étudie le signe de  : \[y\left(t\right)-2x\left(t\right)-2 = t-1 \geqslant 0 \textrm{ si } t \geqslant 1.\] Donc la courbe est au dessus de l’asymptote quand \(t\rightarrow 1^+\).

• La même étude montre que la droite d’équation \(y=2x+2\) est asymptote à la courbe quand \(t\rightarrow 1^-\) et que la courbe est en dessous de l’asymptote dans ce cas.

1. \(t \rightarrow -3\) : \(x(t) \xrightarrow[t \rightarrow -3]{} +\infty\) et \(y(t) \xrightarrow[t \rightarrow -3]{} -5/2\) donc la droite d’équation \(y = -5/2\) est asymptote.

2. \(t \rightarrow \pm \infty\) : effectuons un développement asymptotique : \[\begin{aligned} x(t) &= t + \dfrac{9}{t} + \underset{t \rightarrow \pm infty}{o}\left(1/t\right) \\ y(t) &= t + 1 + \dfrac{3}{t} + \underset{t \rightarrow \pm infty}{o}\left(1/t\right) \end{aligned}\] Pour éliminer le terme divergent, il suffit d’effectuer la combinaison linéaire : \[y(t) - x(t) - 1 = \dfrac{-6}{t} + \underset{t \rightarrow \pm infty}{o}\left(1/t\right)\] On en déduit d’une part que la droite d’équation \(y = x + 1\) est asymptote. D’autre part, la quantité \(y(t) - x(t) - 1\) représente la mesure algébrique verticale entre la droite et \(M(t)\). Par conséquent, lorsque \(t \rightarrow +\infty\), la courbe est située localement au dessous de l’asymptote et lorsque \(t \rightarrow -\infty\), elle est située localement au dessus.

3. \(t \rightarrow 3\), \[\begin{aligned} x(t) &= \dfrac{9}{2(t-3)} + \dfrac{15}{4} + \dfrac{7}{8}(t-3) + \underset{t \rightarrow 3}{o}\left((t-3)\right) \newline y(t) &= \dfrac{3}{t-3} + 4 + (t-3) \end{aligned}\] Éliminons les termes divergents : \[y(t) - \dfrac{2}{3} x(t) = \dfrac{3}{2} + \dfrac{5}{12}(t-3) + \underset{t \rightarrow 3}{o}\left((t-3)\right)\] On en déduit que la droite d’équation \(y = \dfrac{2}{3}x + \dfrac{3}{2}\) est asymptote à la courbe. Lorsque \(t \rightarrow 3^{-}\), la courbe est située localement en dessous de son asymptote. Lorsque \(t \rightarrow 3^{+}\), elle est située localement au dessus.

> x := (sin(t)+1)/t;
> y := cos(t) / t^2;
> series(x, t = 0, 2);

                            -1          2
                           t   + 1 + O(t )

> series(y, t = 0, 2);

                           -2            2
                          t   - 1/2 + O(t )

> series(y - x^2, t = 0, 2);

                          -1                    2
                     - 2 t   - 3/2 + 1/3 t + O(t )

> series(y - x^2 + 2*x, t = 0, 2);

                                          2
                         1/2 + 1/3 t + O(t )

Puisque \[y(t) - x(t)^2 + 2x(t) - \dfrac{1}{2} \underset{t \rightarrow 0}{\sim} \dfrac{t}{3},\] on en déduit que la parabole d’équation \(y = x^2-2x + 1/2\) est asymptote à notre courbe. Lorsque \(t \rightarrow 0^+\), la courbe est située localement au dessus de la parabole et lorsque \(t \rightarrow 0^-\), elle est située localement en dessous. exp:0227143049

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En trait pointillé le support de la courbe paramétrée, en trait plein le graphe de la parabole asymptote.

fig:exemple_courbe_asymptote

1. Les fonctions \(x\) et \(y\) sont définies sur \(\mathbb{R}\).

2. Symétries : puisque \(x(t+2\pi) = x(t) + 2R\pi\), \(y(t+2\pi) = y(t)\), le point \(M(t+2\pi)\) se déduit du point \(M(t)\) par une translation de vecteur \(\overrightarrow{V} = (2R\pi, 0)\). Il suffit donc de tracer la courbe pour \(t \in [0, 2\pi]\) et on complète le tracé par une infinité de translations de vecteur \(\overrightarrow{V}\). Puisque \(x(-t) = -x(t)\) et \(y(-t) = y(t)\), le point \(M(-t)\) est le symétrique du point \(M(t)\) par rapport à l’axe \((Oy)\). Il suffit donc d’étudier la courbe pour \(t \in [0, \pi]\) et de compléter par une symétrie par rapport à \((Oy)\).

3. Variations : \[\begin{cases} x'(t) &= R(1-\cos t) \\ y'(t) &= R\sin t \end{cases}\]

   

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   On remarque que le point \(M(0)\) est stationnaire et que le point \(M(\pi)\) est à tangente horizontale.

4. Étude du point stationnaire : Là encore, la première technique est peu commode car elle aboutit à une limite difficile à calculer avec les méthodes usuelles. On effectue alors un DL à l’ordre \(3\), \[\overrightarrow{F}(t) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t^2 \underbrace{ \begin{pmatrix} 0 \\ R/2 \end{pmatrix} }_{\overrightarrow{u}} + t^3 \underbrace{\begin{pmatrix} R/6 \newline 0 \end{pmatrix}}_{\overrightarrow{v}} + \underset{t \rightarrow 0}{o}\left(t^3\right)\] On en déduit que le point \(M(0)\) est un point de rebroussement de première espèce à tangente verticale.

5. Tracé :

   

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