Géométrie plane

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En plus de proposer quelques rudiments de géométrie plane, ce chapitre a deux vocations importantes :
  1. la première est d’apprendre à calculer. On verra comment certains problèmes de géométrie se ramènent à effectuer des calculs qui peuvent s’avérer difficiles si on ne procède pas avec un minimum de méthode.

  2. la seconde de donner des représentations concrètes pour le cours d’algèbre linéaire qui nous occupera en seconde période. On verra que l’ensemble des vecteurs du plan est muni d’une structure algébrique particulière appelée espace vectoriel. La bonne compréhension des notions et propriétés des chapitres [chapitre_ev] et [chap_dim_ev] passe par une bonne représentation de ces notions dans le cas particulier du plan (et de l’espace).

Il est conseillé dans une première lecture de ne s’attacher qu’aux démonstrations marquées du signe \(\heartsuit\).

Comme indiqué dans le programme, on suppose connues les notions suivantes :

  • calcul vectoriel

  • distance et norme euclidienne

  • orthogonalité

  • orientation

  • angles et angles orientés

Ces différentes notions seront précisées dans les chapitres [chapitre_ev] et [chap_prod_scal].

Après quelques rappels sur les repères cartésiens et les coordonnées polaires, on introduit deux outils fondamentaux en géométrie (plane) : le produit scalaire et le déterminant. Le premier permet de tester l’orthogonalité de deux vecteurs et le second leur colinéarité. On mettra en évidence leurs propriétés algébriques (bilinéarité, (anti)symétrie) et leurs propriétés géométriques (projection, calcul d’aire,...).

On s’intéressera ensuite aux droites et aux cercles du plan. On déterminera leurs équations cartésiennes (sous une forme plus générale que celle vue au lycée), paramétriques (qui correspond en fait à l’équation du mouvement d’un solide au cours du temps suivant la droite ou le cercle considéré) et polaires. On mettra en place des méthodes efficaces de calcul de la distance d’un point à une droite. Elles serviront dans de nombreuses situations.

J’étais incapable de relancer la balle par
dessus le grillage; elle partait toujours à environ
un radian de la direction où elle aurait dû aller.
Richard Feynman - 1985.

En plus de proposer quelques rudiments de géométrie plane, ce chapitre a deux vocations importantes :

  1. la première est d’apprendre à calculer. On verra comment certains problèmes de géométrie se ramènent à effectuer des calculs qui peuvent s’avérer difficiles si on ne procède pas avec un minimum de méthode.

  2. la seconde de donner des représentations concrètes pour le cours d’algèbre linéaire qui nous occupera en seconde période. On verra que l’ensemble des vecteurs du plan est muni d’une structure algébrique particulière appelée espace vectoriel. La bonne compréhension des notions et propriétés des chapitres [chapitre_ev] et [chap_dim_ev] passe par une bonne représentation de ces notions dans le cas particulier du plan (et de l’espace).

Il est conseillé dans une première lecture de ne s’attacher qu’aux démonstrations marquées du signe \(\heartsuit\).

Comme indiqué dans le programme, on suppose connues les notions suivantes :

  • calcul vectoriel

  • distance et norme euclidienne

  • orthogonalité

  • orientation

  • angles et angles orientés

Ces différentes notions seront précisées dans les chapitres [chapitre_ev] et [chap_prod_scal].

Après quelques rappels sur les repères cartésiens et les coordonnées polaires, on introduit deux outils fondamentaux en géométrie (plane) : le produit scalaire et le déterminant. Le premier permet de tester l’orthogonalité de deux vecteurs et le second leur colinéarité. On mettra en évidence leurs propriétés algébriques (bilinéarité, (anti)symétrie) et leurs propriétés géométriques (projection, calcul d’aire,...).

On s’intéressera ensuite aux droites et aux cercles du plan. On déterminera leurs équations cartésiennes (sous une forme plus générale que celle vue au lycée), paramétriques (qui correspond en fait à l’équation du mouvement d’un solide au cours du temps suivant la droite ou le cercle considéré) et polaires. On mettra en place des méthodes efficaces de calcul de la distance d’un point à une droite. Elles serviront dans de nombreuses situations.

Quelques notations et rappels

Dans tout le chapitre on notera \(\mathscr P\) l’ensemble des points du plan et \(\mathscr V\) l’ensemble des vecteurs du plan.

Euclide, né vers -325, mort vers -265 à Alexandrie

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On sait peu de choses au sujet d’Euclide.
Il parti en Égypte afin d’y enseigner les mathématiques et travailla au monseion1 d’Alexandrie. Il mena de nombreux travaux de recherche. Il est l’auteur des Éléments. Ce texte, formé de treize livres, est une compilation du savoir mathématique de son époque. Il resta une référence pendant près de \(2000\) ans et contient, entre autre, les fondements de la géométrie du plan.
C’est dans les Éléments que pour la première fois un travail mathématique a été réalisé sur la base d’une démarche axiomatique.

Addition vectorielle

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Rappelons que pour former la somme de deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) de \(\mathscr V\), il suffit de considérer trois points \(A,B,C\) de \(\mathscr P\) tels que \(\overrightarrow{u}= \overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{v} =\overrightarrow{BC}\). Le vecteur somme \(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\) est alors donné par \[\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.\] L’addition vectorielle vérifie les propriétés suivantes:

  • elle est associative: pour tous \(\overrightarrow{u},\, \overrightarrow{v},\, \overrightarrow{w}\) dans \(\mathscr V\), on a: \[(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})+\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u} + (\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}).\]

  • elle possède un élément neutre noté \(\overrightarrow{0}\): pour tout \(\overrightarrow{u}\) dans \(\mathscr V\):\[\overrightarrow{u}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}.\] Remarquons que le vecteur nul est représentable, pour tout point \(A\) de \(\mathscr P\) par le vecteur \(\overrightarrow{AA}\).

  • chaque vecteur \(\overrightarrow{u}\) dans \(\mathscr V\) possède un vecteur symétrique \(\overrightarrow{v}\) vérifiant : \[\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}.\] On notera \(-\overrightarrow{u}\) le vecteur \(\overrightarrow{v}\) symétrique de \(\overrightarrow{u}\). Comme \(\overrightarrow{0}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BB}=\overrightarrow{0}\), cette notation conduit à celle-ci: \(-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}\).

  • l’addition dans \(\mathscr V\) est commutative: pour tout \(\overrightarrow{u},\, \overrightarrow{v}\) de \(\mathscr V\), \[\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}.\]

Pour résumer ces quatre propriétés, on dit que le couple \((\mathscr V,+)\) est un groupe commutatif.

Produit d’un vecteur et d’un réel

Á tout nombre réel \(\lambda\) et à tout vecteur \(\overrightarrow{u}\in \mathscr V\), on peut associer le vecteur \(\lambda. \overrightarrow{u}\). Ce produit que l’on dit externe possède les propriétés suivantes:

  • Pour tout vecteur \(\overrightarrow{u}\in \mathscr V\), \(1\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}\).

  • Pour tous réels \(\lambda,\, \mu\) et tous vecteurs \(\overrightarrow{u}\in\mathscr V\), \((\lambda.\mu)=\lambda(\mu \overrightarrow{u})\).

  • Le produit par un scalaire est distributif par rapport à l’addition vectorielle: pour tout réel \(\lambda\) et tout vecteurs \(\overrightarrow{u},\, \overrightarrow{v}\) de \(\mathscr V\), \(\lambda\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)=\lambda \overrightarrow{u}+\lambda \overrightarrow{v}\).

  • Le produit par un scalaire est distributif par rapport à l’addition des réels: pour tout réels \(\lambda,\, \mu\) et tout \(\overrightarrow{u}\) de \(\mathscr V\), \((\lambda+\mu)\overrightarrow{u}=\lambda \overrightarrow{u}+\mu \overrightarrow{u}\).

On dira, pour résumer ces \(8\) propriétés de l’addition vectorielle et du produit externe, que le triplet \((\mathscr V,+,.)\) est un espace vectoriel sur \(\mathbb{R}\).

Vecteurs colinéaires, unitaires

(Vecteurs colinéaires).
Deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) de \(\mathscr V\) sont colinéaires si il existe un réel \(\lambda\) tel que \(\overrightarrow{u}=\lambda \overrightarrow{v}\) ou un réel \(\eta\) tel que \(\overrightarrow{v} = \eta \overrightarrow{u}\).
Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs du plan. Il est d’ailleurs le seul vecteur du plan à vérifier cette propriété (exercice!).
(Vecteur unitaire ou normé).
Un vecteur est dit unitaire ou normé si sa norme est 1.

Droites du plan

Soit \(A\) un point de \(\mathscr P\) et \(\overrightarrow{u}\) un vecteur de \(\mathscr V\). On note \(A+\overrightarrow{u}\) l’unique point \(B\) de \(\mathscr P\) donné par \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}\).
(Droite vectorielle).
Soit \(\overrightarrow{u}\) un vecteur non nul du plan. On appelle droite vectorielle dirigée par \(\overrightarrow{u}\) le sous-ensemble de \(\mathscr V\), noté \(Vect\left(\overrightarrow{u}\right)\), des vecteurs du plan colinéaires à \(\overrightarrow{u}\). \[Vect\left(\overrightarrow{u}\right)=\left\{\lambda \overrightarrow{u} ~|~ \lambda\in\mathbb{R}\right\}\]
(Droite affine).
Soit \(A\) un point du plan \(\mathscr P\) et \(\overrightarrow{u}\) un vecteur non nul de \(\mathscr V\). La droite \(D\) passant par \(A\) et dirigée par \(\overrightarrow{u}\) est l’ensemble des points du plan de la forme \(A+\lambda \overrightarrow{u}\)\(\lambda\) est réel. \[D=\{A+\lambda \overrightarrow{u}~\mid~\lambda \in \mathbb{R}\} = A + \mathop{\mathrm{Vect}}(\overrightarrow{u}).\] Un vecteur non nul de \(\mathscr V\) est un vecteur directeur de la droite donnée par le couple \((A,\overrightarrow{u})\) si il est colinéaire à \(\overrightarrow{u}\).
Remarquons que si une droite \(D\) est donnée par le couple \((A,\overrightarrow{u})\) et si \(M\) est un point du plan, alors on a : \[M\in D \Leftrightarrow \exists \lambda \in \mathbb{R}\,:\, M=A+\lambda\overrightarrow{u} \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}=\lambda \overrightarrow{u} \Leftrightarrow \overrightarrow{AM} \textrm{ et } \overrightarrow{u} \textrm{ sont colinéaires}.\]
(Droites parallèles, orthogonales).
On dit que :
  • deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

  • deux droites sont orthogonales (ou perpendiculaires) si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.

Modes de repérage dans le plan

Repères Cartésiens

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(Base).
  • Un couple de vecteur \((\overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath})\) de \(\mathscr V\)est une base de \(\mathscr V\)si et seulement si ces deux vecteurs sont non colinéaires.

  • Une base est dite orthogonale si les deux vecteurs la composant sont orthogonaux.

  • Elle est dite orthonormale si elle est orthogonale et si les deux vecteurs la composant sont de plus unitaires.

En vertu de la remarque [nul_implique_colineaire_tout_vecteurs] page [nul_implique_colineaire_tout_vecteurs], si \(\left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\right)\) forme une base du plan, alors aucun des deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) n’est nul.
(Caractérisation des bases du plan).
Soit \(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\in \mathscr V\). Le couple \(\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)\) forme une base du plan si et seulement si : \[\boxed{\forall \alpha,\beta \in\mathbb{R},\quad \alpha \overrightarrow{u} + \beta \overrightarrow{v} =0 \Rightarrow \alpha=\beta=0}\]
(1).
  • Nous allons effectuer un raisonnement par contraposée (vous pouvez consulter la page [raisonnement_par_contraposee] si vous n’êtes pas familier avec ce type de raisonnement). Supposons que \(\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)\) ne soit pas une base du plan. Alors \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires. Donc il existe \(\beta' \in \mathbb{R}\) tel que \(\overrightarrow{u} = \beta' \overrightarrow{v}\). On prouve ainsi l’existence de deux réels \(\alpha=1\) et \(\beta= -\beta'\) non tous deux nuls tels que \(\alpha \overrightarrow{u} + \beta \overrightarrow{v} =0\) et l’implication directe est prouvée.

  • Effectuons à nouveau un raisonnement par contraposée. Supposons qu’il existe deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) non tous deux nuls tels que \(\alpha \overrightarrow{u} + \beta \overrightarrow{v} =0\).

    • Si \(\alpha\neq 0\), on obtient : \(\overrightarrow{u} = -{\beta}/{\alpha} \overrightarrow{v}\) et les vecteurs \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires. Ils ne peuvent donc pas former une base du plan.

    • Si \(\alpha=0\) alors \(\beta\) est non nul et on a : \(\beta \overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}\), ce qui n’est possible que si \(\overrightarrow{v}=0\). D’après la remarque précédant la proposition, \(\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)\) ne forme là encore pas une base du plan.

    L’implication réciproque est ainsi prouvée.

(Repère Cartésien, Origine d’un repère, repère orthogonal, orthonormal).
Un repère cartésien \(\mathscr R\) du plan \(\mathscr P\) est donné par un triplet \((O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath})\)  où \(O\) est un point de \(\mathscr P\) et où \((\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath})\) forme une base de \(\mathscr V\).
  • Le point \(O\) est l’origine du repère.

  • Si les deux vecteurs \(\overrightarrow{\imath}\) et \(\overrightarrow{\jmath}\) sont orthogonaux, on dit que \(\mathscr R\) est un repère orthogonal. Si ils sont de plus unitaires, le repère \(\mathscr R\) est alors dit orthonormal.

  • Les droites passant par \(O\) de vecteur directeur respectifs \(\overrightarrow{\imath}\) et \(\overrightarrow{\jmath}\) sont appelés axes du repère \(\mathscr R\) et sont notés \((Ox)\) et \((Oy)\).

(Repère orthonormal direct).
Un repère orthonormal \((O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath })\)est dit direct si l’angle \((\widehat{\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}})\) a pour mesure \({\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\).
(Coordonnées cartésiennes d’un vecteur, d’un point).
Soit \((O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath })\)un repère du plan \(\mathscr P\).
  • Soit \(\overrightarrow{u}\) un vecteur de \(\mathscr V\)et \((\overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath})\) une base de \(\mathscr V\). Il existe un unique couple de réels \((x,y)\) tel que \[\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{\imath}+y\overrightarrow{\jmath}.\] Ce couple \((x,y)\) représente les coordonnées ( ou les composantes) du vecteur \(\overrightarrow{u}\) dans la base \((\overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath})\). On notera cela sous une des formes suivantes: \[\overrightarrow{u} (x,y), \quad \overrightarrow{u} \left|\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right. \quad \textrm{ ou} \quad \overrightarrow{u} \left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right).\]

  • Soit \(M\) un point du plan \(\mathscr P\) et \((O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath })\)un repère \(\mathscr R\) de \(\mathscr P\). Il existe un unique couple de réels \((x,y)\) tel que \[\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{\imath}+y\overrightarrow{\jmath}.\] Ce couple \((x,y)\) représente les coordonnées du point \(M\) dans le repère \(\mathscr R\). De même que précédemment, on écrira: \[M (x;y), \quad M \left|\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right. \quad \textrm{ ou} \quad M \left(\begin{matrix} x \newline y \end{matrix} \right).\]

Soient \(\overrightarrow{u}\) un vecteur de \(\mathscr V\)et soient \(\overrightarrow{u_1}\) le projeté de \(\overrightarrow{u}\) sur \((Ox)\) parallèlement à \((Oy)\) et \(\overrightarrow{u_2}\) le projeté de \(\overrightarrow{u}\) sur \((Oy)\) parallèlement à \((Ox)\). On a: \(\overrightarrow{u}= \overrightarrow{u_1}+\overrightarrow{u_2}\). Comme \(\overrightarrow{u_1}\) est colinéaire à \(\overrightarrow{\imath}\) et \(\overrightarrow{u_2}\) est colinéaire à \(\overrightarrow{\jmath}\), il existe des réels \(x\) et \(y\) tels que \(\overrightarrow{u_1}=x\overrightarrow{\imath}\) et \(\overrightarrow{u_2}=y\overrightarrow{\jmath}\). Par conséquent: \(\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{\imath }+ y\overrightarrow{\jmath}\). Ce couple \((x,y)\) est de plus unique: si \((x',y')\) est un autre couple de réels tels que : \(\overrightarrow{u}=x'\overrightarrow{\imath }+ y'\overrightarrow{\jmath}\), on obtient, par soustraction : \(\overrightarrow{0}=(x-x')\overrightarrow{\imath}+(y-y')\overrightarrow{\jmath}\), soit encore : \((x-x')\overrightarrow{\imath}=(y'-y)\overrightarrow{\jmath}\). Comme \(\overrightarrow{\imath}\) et \(\overrightarrow{\jmath}\) ne sont pas colinéaires, cette égalité n’est possible que si \(x=x'\) et \(y=y'\).
  • Cette proposition permet d’identifier l’ensemble des points du plan avec l’ensemble \(\mathbb{R}^2\). En effet, si un repère cartésien \(\mathscr R\) est fixé dans \(\mathscr P\), à tout point \(M\) de \(\mathscr P\) correspond un unique couple de réels \((x,y)\): ses coordonnées. Réciproquement, à tout couple de réel \((x,y)\) correspond un unique point \(M\) de \(\mathscr P\) dont les coordonnées dans le repère considéré sont données par ce couple.

  • De même, si une base \(\mathscr B\) est fixée, on peut identifier l’ensemble des vecteurs du plan avec \(\mathbb{R}^2\). Notons \(\theta_{\mathscr B}\) l’application qui à un vecteur \(\overrightarrow{u}\) de \(\mathscr V\) lui associe ses coordonnées \(\left(x,y\right)\) dans \(\mathscr B\) : \[\theta_{\mathscr B}: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathscr P & \longrightarrow & \mathbb{R}^2 \\ M & \longmapsto & \left(x,y\right) \end{array} \right. .\] La proposition [rep_cart_plan] dit que \(\theta_{\mathscr B}\) est bijective. Cette identification respecte   de plus l’addition et la multiplication par un scalaire. Ainsi, si \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{u}'\) sont deux vecteurs du plan qui ont pour coordonnées respectives \(\overrightarrow{u} \left|\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right.\) et \(\overrightarrow{u} \left|\begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix} \right.\) dans \({\mathscr B}\) alors \[\begin{aligned} label@equ\_cart\_1@finlabel \theta_{\mathscr B}\left(\overrightarrow{u}\right)=\left(x,y\right) \quad \textrm{ et} \quad\theta_{\mathscr B}\left(\overrightarrow{u}'\right)=\left(x',y'\right) \end{aligned}\] et le vecteur \[\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}'=x\overrightarrow{\imath }+ y\overrightarrow{\jmath }+ x'\overrightarrow{\imath }+ y'\overrightarrow{\jmath}=\left(x+x'\right)\overrightarrow{\imath }+ \left(y+y'\right)\overrightarrow{\jmath}\] a pour coordonnées \(\left(x+x',y+y'\right)\) ce qui s’écrit aussi \[\begin{aligned} label@equ\_cart\_2@finlabel \theta_{\mathscr B}\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}'\right)=\left(x+x',y+y'\right)\end{aligned}\]

    En identifiant les relations [equ_cart_1] et [equ_cart_2], on obtient \[\theta_{\mathscr B}\left(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{u}' \right)=\theta_{\mathscr B}\left(\overrightarrow{u}\right)+\theta_{\mathscr B}\left(\overrightarrow{u}'\right)\] On montrerait de plus facilement que, si \(\lambda\) est un réel, alors \(\theta_{\mathscr B}\left(\lambda \overrightarrow{u}\right)= \lambda \cdot \theta_{\mathscr B}\left(\overrightarrow{u}\right)\), ce qui n’est qu’une autre façon de dire que \(\lambda\overrightarrow{u}\) a pour coordonnées \(\left|\begin{matrix} \lambda x \\ \lambda y \end{matrix} \right.\). Pour résumer ces deux égalités, on dit que \(\theta_{\mathscr B}\) est une application linéaire. Une application entre deux espaces vectoriels qui est à la fois linéaire et bijective est appelée un isomorphisme d’espaces vectoriels.

  • Si on connaît les coordonnées d’un point \(A \left(\begin{matrix} x_A \\ y_A \end{matrix} \right)\) et celles d’un point \(B \left(\begin{matrix} x_B \\ y_B \end{matrix} \right)\) dans un repère \((O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath })\), on obtient celles \(\left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right)\) de \(\overrightarrow{AB}\). Ainsi, \(x\overrightarrow{\imath}+y\overrightarrow{\jmath}=\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=x_B\overrightarrow{\imath}+y_B\overrightarrow{\jmath}-x_A\overrightarrow{\imath}-y_A\overrightarrow{\jmath}=(x_B-x_A)\overrightarrow{\imath}+(y_B-y_A)\overrightarrow{\jmath}\) et donc en identifiant: \(\overrightarrow{AB} \left(\begin{matrix} x_B-x_A \newline y_B-y_A \end{matrix} \right)\).

(Identification de \(\mathscr P\) et de \(\mathscr V\) avec \(\mathbb{R}^2\)).
En résumé :
  • un repère \(\mathscr R\) \((O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath })\)étant fixé dans \(\mathscr P\), l’application qui a un point de \(\mathscr P\) associe ses coordonnées dans \(\mathscr R\) est une bijection de \(\mathscr P\) dans \(\mathbb{R}^2\). Cette bijection permet d’identifier le plan et \(\mathbb{R}^2\).

  • une base \(\mathscr B\) étant fixée dans \(\mathscr V\), l’application \(\theta_{\mathscr B}\) qui à un vecteur de \(\mathscr V\) lui associe ses coordonnées dans \(\mathscr B\) est bijective et linéaire. Si on prend un peu d’avance sur le chapitre [chapitre_ev], on dit que \(\theta_{\mathscr B}\) est un isomorphisme d’espaces vectoriels. Cet isomorphisme permet d’identifier \(\mathscr V\) et \(\mathbb{R}^2\).

René Descartes, né 31 mars 1596 à La Haye, mort à Stockholm le 11 février 1650

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René Descartes est un philosophe, physicien et mathématicien français. La pensée de Descartes a eu des répercussions fondamentales sur la philosophie et la science moderne. Il est l’auteur du fameux Discours de la méthode. En tant que scientifique, les lignes suivantes, extraites de ce discours, devraient vous interpeller. La méthode fixe quatre principes pour la conduite de l’esprit humain : Le premier était de ne recevoir jamais aucune chose pour vraie, que je ne la connusse évidemment être telle : c’est-à-dire, d’éviter soigneusement la précipitation et la prévention ; et de ne comprendre rien de plus en mes jugements, que ce qui se présenterait si clairement et si distinctement à mon esprit, que je n’eusse aucune occasion de le mettre en doute. Le second, de diviser chacune des difficultés que j’examinerais, en autant de parcelles qu’il se pourrait, et qu’il serait requis pour les mieux résoudre. Le troisième, de conduire par ordre mes pensées, en commençant par les objets les plus simples et les plus aisés à connaître, pour monter peu à peu, comme par degrés, jusqu’à la connaissance des plus composés ; et supposant même de l’ordre entre ceux qui ne se précèdent point naturellement les uns les autres. Et le dernier, de faire partout des dénombrements si entiers, et des revues si générales, que je fusse assuré de ne rien omettre. . Bien que François Viète utilise déjà une notation semi-symbolique, René Descartes est le premier à utiliser une notation entièrement symbolique. Il est à l’initiative de l’introduction des lettres latines dans les notations mathématiques. Il propose d’utiliser les premières lettres de l’alphabet (\(a\), \(b\), \(c\), ...) pour les paramètres et les dernières (\(x\), \(y\), \(z\), ...) pour les inconnues. Nous utilisons toujours cette convention! Descartes est aussi à l’origine de la notion de repère du plan et de ce qu’on appelle maintenant la géométrie analytique, ce qui nous intéresse ici. On raconte que c’est en observant une mouche qui se promenait sur les carreaux d’une fenêtre, qu’il aurait pensé à définir, à l’aide des carreaux, des coordonnées du plan. Descartes comprit le premier qu’on peut transformer un problème de géométrie en un problème algébrique. La géométrie de Descartes est publiée en français en \(1637\) et traduite en latin par Van Schooten en \(1649\), puis, dans une édition considérablement augmentée et commentée en deux volumes en \(1659\) et \(1661\). Cette seconde édition favorisera considérablement la propagation des idées de Descartes.

Changement de repère

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Un changement de repère consiste à changer simultanément l’origine \(O'\) et la base \((\overrightarrow{\imath'},\overrightarrow{\jmath}')\) d’un repère cartésien \(\mathscr R'\) \((O',\overrightarrow{\imath'},\overrightarrow{\jmath'})\) en l’origine \(O\) et la base \((\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath})\) d’un nouveau repère \(\mathscr R\) \((O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath })\). Soit \(M\) un point du plan \(\mathscr P\) de coordonnées \((x',y')\) dans l’ancien repère \(\mathscr R'\) et de coordonnées \((x,y)\) dans le nouveau repère \(\mathscr R\). Cherchons à exprimer les nouvelles coordonnées \((x,y)\) en fonction des anciennes \((x',y')\). Notons \((x_{O'},y_{O'})\) les coordonnées de \(O'\) dans \(\mathscr R\). On a \[\begin{aligned} x'\overrightarrow{\imath'}+y'\overrightarrow{\jmath}'&=&\overrightarrow{O'M}\\ &=& \overrightarrow{O'O}+\overrightarrow{OM}\\ &=&\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OO'}\\ &=&x\overrightarrow{\imath}+y\overrightarrow{\jmath}-x_{O'}\overrightarrow{\imath}-y_{O'}\overrightarrow{\jmath}\\ &=&(x-x_{O'})\overrightarrow{\imath}+(y-y_{O'})\overrightarrow{\jmath}\end{aligned}\] Si \((\alpha,\beta)\), \((\gamma,\delta)\) désignent les coordonnées respectives de \(\overrightarrow{\imath}'\) et \(\overrightarrow{\jmath}'\) dans \(\mathscr R\), on a aussi \[\begin{aligned} x'\overrightarrow{\imath'}+y'\overrightarrow{\jmath}'&=&x'(\alpha\overrightarrow{\imath}+ \beta\overrightarrow{\jmath})+y'(\gamma\overrightarrow{\imath}+\delta \overrightarrow{\jmath}\\ &=&(\alpha x'+\gamma y')\overrightarrow{\imath}+(\beta x'+\delta y')\overrightarrow{\jmath} \end{aligned}\] On obtient alors les relations recherchées \[\left\{\begin{array}{c} x-x_{O'}=\alpha x'+\gamma y'\newline y-y_{O'}=\beta x'+\delta y' \end{array}\right.\]

(Changement de repère).
Soit \(M\) un point de \(\mathscr P\) de coordonnées \((x',y')\) dans un premier repère \(\mathscr R'\) et de coordonnées \((x,y)\) dans un second repère \(\mathscr R\). Soient \((x_{O'},y_{O'})\) les coordonnées de \(O'\) dans \(\mathscr R\), \((\alpha,\beta)\), \((\gamma,\delta)\) les coordonnées respectives de \(\overrightarrow{\imath}'\) et \(\overrightarrow{\jmath}'\) dans \(\mathscr R\). Les nouvelles coordonnées \((x,y)\) de \(M\) en fonction des anciennes \((x',y')\) sont données par les relations \[\boxed{\begin{cases} x-x_{O'}&=\alpha x'+\gamma y'\newline y-y_{O'}&=\beta x'+\delta y' \end{cases}}\]
Sous forme matricielle, cette relation s’écrit \(\left(\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} \alpha&\gamma\\ \beta&\delta \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x'\\y' \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} x_{O'}\newliney_{O'} \end{array}\right)\).
(Changement de repère entre deux repères orthonormaux directs).
Soient \(\mathscr R\left(O,\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}\right)\) et \(\mathscr R\left(O',\overrightarrow{\imath}',\overrightarrow{\jmath}'\right)\) deux repères orthonormaux directs. Notons \(\theta=\left(\widehat{\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\imath}'}\right)\). Les nouvelles coordonnées \(\left(x,y\right)\) d’un point \(M\) du plan \(\mathscr P\) dans le repère \(\mathscr R\) s’expriment en fonction des anciennes \(\left(x',y'\right)\) dans le repère \(\mathscr R'\) par

\[\boxed{\begin{cases} x-x_{O'}&=\cos \theta x'-\sin \theta y'\newline y-y_{O'}&=\sin \theta x'+\cos \theta y' \end{cases}}\]

\(\left(x_{O'},y_{O'}\right)\) représente les coordonnées de \(O'\) dans le repère \(\mathscr R\).
Par projection sur les axes \(\left(O,\overrightarrow{\imath}\right)\) et \(\left(O,\overrightarrow{\jmath}\right)\), on obtient, pour les vecteurs \(\overrightarrow{\imath'}\) et \(\overrightarrow{\jmath'}\) les relations \[\begin{cases} \overrightarrow{\imath'}= \cos \theta \overrightarrow{\imath}+\sin \theta \overrightarrow{\jmath}\newline \overrightarrow{\jmath'}=-\sin \theta \overrightarrow{\imath}+\cos \theta \overrightarrow{\jmath} \end{cases}\] Par application de la proposition précédente avec \(\alpha=\cos \theta\), \(\beta= \sin \theta\), \(\gamma=-\sin \theta\) et \(\delta=\cos \theta\), on obtient la formule de changement de base annoncée.
Sous forme matricielle, cette relation s’écrit \(\left(\begin{array}{c} x\\y \end{array}\right) =\left(\begin{array}{cc} \cos \theta&-\sin \theta \\ \sin \theta&\cos \theta \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x'\\y' \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} x_{O'}\newliney_{O'} \end{array}\right)\).

Équation cartésienne

(Équation cartésienne).
Soit \(\mathscr R\) \((O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath })\)un repère. Une équation \(F(x,y)=0\) est une équation cartésienne d’une partie \(\mathscr A\) du plan si on a l’équivalence \[M(x,y)\in \mathscr A \Leftrightarrow F(x,y)=0.\]
Un repère orthonormal \(\left(O,\overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath}\right)\) du plan étant fixé, l’ensemble des points du plan d’équation cartésienne :
  • \(y-x-1=0\) est la droite affine dirigée par le vecteur \(\overrightarrow{\imath }+ \overrightarrow{\jmath}\) et passant par le point de coordonnées \(\left(0,1\right)\).

  • \(x^2+y^2-1=0\) est une équation du cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\).

Repères polaires

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(Repère polaire, pôle, axe polaire).
Soit \(\mathscr R\)\((O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath })\)un repère orthonormal direct. Soit \(\theta\) un réel. Soit \(\mathscr R(\theta)\) le repère \(\left(O,\overrightarrow{u}\left(\theta\right),\overrightarrow{v}\left(\theta\right)\right)\) image de \(\mathscr R\) par une rotation de centre \(O\) et d’angle \(\theta\). Ce repère, qui est encore orthonormal direct, est le repère polaire attaché au réel \(\theta\). De plus \[\boxed{\left\{\begin{array}{c} \overrightarrow{ u}(\theta)=\cos \theta \overrightarrow{\imath}+\sin \theta \overrightarrow{\jmath }\newline \overrightarrow{v}(\theta)=-\sin \theta \overrightarrow{\imath}+\cos \theta \overrightarrow{\jmath }\end{array}\right.}.\] Le point \(O\) est appelé le pôle et la droite orientée \((O,\overrightarrow{\imath})\) est appelée l’axe polaire de ce repère.
Les rotations sont des transformations du plan qui conservent les mesures d’angles orientés et les longueurs. L’image d’un repère orthonormal direct par une rotation est donc encore bien un repère orthonormal direct. Les formules sont obtenues par projection des vecteurs \(\overrightarrow{ u(\theta)}\) et \(\overrightarrow{ v(\theta)}\) sur les axes de \(\mathscr R\).
Si on considère un repère orthonormal direct \(\mathscr R\)\((O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath})\), \(\theta\) un réel, \(\mathscr R(\theta)\) le repère polaire associé à \(\theta\) : \(\left(O,\overrightarrow{u}\left(\theta\right),\overrightarrow{v}\left(\theta\right)\right)\) et si on identifie \(\mathscr V\) à \(\mathbb{C}\) via le repère \(\mathscr R\), on a \(\textrm{ Aff}(\overrightarrow{u} \left(\theta\right))=e^{i\theta}\) et \(\textrm{ Aff}(\overrightarrow{v} \left(\theta\right))=ie^{i\theta}\).
Il est fréquent de rencontrer les notations \((\overrightarrow{u_r},\overrightarrow{u_\theta})\) pour le couple \((\overrightarrow{u(\theta)},\overrightarrow{v(\theta)})\).
(Coordonnées polaires d’un point).
On rapporte le plan \(\mathscr P\) à un repère orthonormal direct \(\mathscr R\)\((O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath})\). On dit que \(\left(r,\theta\right)\in\mathbb{R}^2\) est un couple de coordonnées polaires pour le point \(M\left(x,y\right) \in \mathscr P\) si et seulement si \(\boxed{\left\{\begin{array}{c} x=r\,\cos \theta \newline y=r\,\sin \theta \end{array}\right.}\)
  • Si \(M\in\mathscr P\) a pour affixe \(z\neq 0\) alors un couple de coordonnées polaires pour \(M\) est donné par \(\left(r,\theta\right)\)\(\theta\) est un argument de \(z\) et \(r\) est le module de \(z\).

  • Si \(M\) un point du plan distinct du pôle de coordonnées polaires \((r_0,\theta_0)\) alors les autres couples de coordonnées polaires pour \(M\) sont les couples \((r,\theta)\) vérifiant \[\left\{\begin{array}{c} r=r_0 \\ \theta \equiv \theta_0\,[2\pi] \end{array}\right. \quad \textrm{ ou} \quad\left\{\begin{array}{c} r=-r_0 \newline \theta \equiv \theta_0+\pi\,[2\pi] \end{array}\right. .\]

  • Les coordonnées polaires de l’origine sont données par n’importe quel couple \(\left(0,\theta\right)\)\(\theta\in\mathbb{R}\).

(Comment calculer les coordonnées polaires d’un point à partir de ses coordonnées cartésiennes).
Soit \(M\in\mathscr P\) de coordonnées cartésiennes \(\left(x,y\right)\) dans un repère orthonormal direct \(\mathscr R\) tel que \(x\neq 0\). Un couple de coordonnées polaires pour \(M\) est donné par \(\left(r,\theta\right)\) avec \[\theta=\operatorname{arctan} \left({\scriptstyle y\over\scriptstyle x}\right) \quad \textrm{ et} \quad r=\dfrac{x}{\cos \theta}.\]

Équation polaire

(Équation polaire).
Soit \(\mathscr R\) \((O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath})\), un repère orthonormal direct. Une équation \(F(r,\theta)=0\) est une équation polaire d’une partie \(\mathscr A\) du plan lorsqu’un point \(M\) appartient à \(\mathscr A\) si et seulement si l’un des couples de coordonnées polaires \(\left(r,\theta\right)\) de \(M\) vérifie \(F(r,\theta)=0\).
Un repère orthonormal \(\left(O,\overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath}\right)\) du plan étant fixé, l’ensemble des points du plan d’équation polaire
  • \(\theta=0\) est l’axe \(\left(O,\overrightarrow{\imath}\right)\) de \(\mathscr R\).

  • \(r=1\) est le cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\).

Produit scalaire

Définition

Si \(\overrightarrow{u}\) est un vecteur de \(\mathscr V\), on note \(\left\|\overrightarrow{u}\right\|\) sa norme. Si \(A\) et \(B\) sont deux points de \(\mathscr P\) tels que \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}\), la norme de \(\overrightarrow{u}\) est donnée par la longueur \(AB\).
(Produit scalaire).
Le produit scalaire de deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) du plan \(\mathscr V\), noté \(\overrightarrow{u} . \overrightarrow{v}\) (on rencontrera aussi les notations \(\left<\overrightarrow{u}|\overrightarrow{v}\right>\) ou encore \(\left( \overrightarrow{u} \mid \overrightarrow{v} \right)\)) est défini, de manière géométrique, par: \[\boxed{\left\{\begin{array}{l} \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}= \left\|\overrightarrow{u}\right\| \, \left\|\overrightarrow{v}\right\| \, \cos \, (\widehat{ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}}) \textrm{ si les deux vecteurs } \overrightarrow{u} \textrm{ et } \overrightarrow{v} \textrm{ sont non nuls} \newline \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}=0 \textrm{ sinon.} \end{array}\right.}\]
  • Le produit scalaire ne dépend pas de l’orientation choisie dans le plan.

  • \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} = \left\|\overrightarrow{u}\right\|.\left\|\overrightarrow{u}\right\|\cos\left(\widehat{\overrightarrow{u}, \overrightarrow{u}}\right)=\left\|\overrightarrow{u}\right\|^2\). En résumé, \(\boxed{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} = \left\|\overrightarrow{u}\right\|^2}\).

Deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) de \(\mathscr V\) sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
(1).
Si un des deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) ou \(\overrightarrow{v}\) est nul, le résultat est immédiat. Supposons que \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) ne sont pas nuls.
  • Si \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont orthogonaux alors \(\left(\widehat{\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}}\right)=\pi/2 ~ \left[\pi\right]\) et \(\cos \left(\widehat{\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}}\right)=0\) et \(\overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}= \left\|\overrightarrow{u}\right\| \, \left\|\overrightarrow{v}\right\| \, \cos \, (\widehat{ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}})=0\).

  • Réciproquement, si \(\overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}=0\) alors \(\left\|\overrightarrow{u}\right\| \, \left\|\overrightarrow{v}\right\| \, \cos \, (\widehat{ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}})=0\). Mais comme \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) ne sont pas nuls, on a nécessairement \(\cos \, (\widehat{ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}})=0\), c’est-à-dire \(\left(\widehat{\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}}\right)=\pi/2 ~ \left[\pi\right]\) et \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) sont bien orthogonaux.

Interprétation en terme de projection

(Mesure algébrique).
Soit \(D\) une droite de \(\mathscr P\) orientée par un vecteur unitaire \(\overrightarrow{u}\). Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts de \(D\). La mesure algébrique \(\overline{AB}\) est l’unique réel \(\lambda\) tel que \(\overrightarrow{AB}=\lambda \overrightarrow{u}\).

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(Projection orthogonale).
Soit \(D\) une droite et soit \(A\) un point du plan \(\mathscr P\). Il existe un unique point \(A'\) de \(D\) tel que le vecteur \(\overrightarrow{AA'}\) soit orthogonal à la droite \(D\). Ce point est appelé le projeté orthogonal de \(A\) sur \(D\).
Soit \(\overrightarrow{u}\) un vecteur unitaire directeur de \(D\). Soit \(\overrightarrow{v}\) un vecteur unitaire de \(\mathscr V\) choisi en sorte que le couple \((\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})\) forme une base orthonormale du plan. Considérons le repère orthonormal \(\mathscr R(\Omega,\overrightarrow{ u},\overrightarrow{ v})\)\(\Omega\) est un point de \(D\). Soient \((x_A,y_A)\) les coordonnées de \(A\) dans ce repère. Un point \(M\) est élément de \(D\) si et seulement si dans \(\mathscr R\), son ordonnée est nulle. Considérons donc \(M(x,0)\) un point de \(D\). On a \(\overrightarrow{AM}\left(x-x_A,-y_A\right)\). Ce vecteur est orthogonal à \(D\) si et seulement si il est colinéaire à \(\overrightarrow{v}\), c’est-à-dire si et seulement si \(x-x_A=0\). On prouve ainsi à la fois l’existence et l’unicité de \(A'\).
Soit \(\mathscr R(O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath})\) un repère orthonormal et \(A\) un point du plan de coordonnées \((x,y)\) dans ce repère. La droite des abscisses est orientée par le vecteur \(\overrightarrow{\imath}\). Si \(A_x\) est le projeté orthogonal de \(A\) sur \((Ox)\) alors \(\overline{OA_x}=x\).
(Interprétation du produit scalaire en terme de projection).
Soient \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs de \(\mathscr V\). Soient \(O,\,A,\,B\) trois points de \(\mathscr P\) tels que \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{v}\). Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(B\) sur la droite \((OA)\). Choisissons pour cette droite l’orientation donnée par le vecteur \(\overrightarrow{OA}\). On a alors \[\boxed{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \overline{OA}\,.\,\overline{OH}}\]
(1).
Avec l’orientation choisie pour la droite \((OA)\), \(\left\|\overrightarrow{u}\right\|=OA=\overline{OA}\). Si \((\widehat{\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}})\) est un angle aigu, alors \(\left\|\overrightarrow{v}\right\| \cos (\widehat{ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}})=OH\) et si \((\widehat{ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}})\) est un angle obtus alors \(\left\|\overrightarrow{v}\right\| \cos\,(\widehat{ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}})=-OH\). Par conséquent, \(\left\| \overrightarrow{v}\right\| \cos(\widehat{ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}})=\overline{OH}\) et \(\overrightarrow{u} . \overrightarrow{v}=\left\|\overrightarrow{u}\right\| \, \left\|\overrightarrow{v}\right\| \, \cos\,(\widehat{ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}})=\overline{OA}\,.\,\overline{OH}\).

Propriétés du produit scalaire

(Symétrie du produit scalaire).
Le produit scalaire est symétrique : si \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont deux vecteurs de \(\mathscr V\) alors \(\boxed{\overrightarrow{u} . \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} . \overrightarrow{u}}\).
Il suffit d’écrire \(\overrightarrow{u} . \overrightarrow{v}=\left\| \overrightarrow{u}\right\| \, \left\| \overrightarrow{v}\right\| \, \cos \, (\widehat{ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}})\) et \(\overrightarrow{v} . \overrightarrow{u}=\left\| \overrightarrow{v}\right\| \, \left\| \overrightarrow{u}\right\| \, \cos \, (\widehat{ \overrightarrow{v},\overrightarrow{u}})\) puis d’observer que \((\widehat{\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}})=-(\widehat{\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}})\) et que la fonction cosinus est paire.
(Bilinéarité du produit scalaire).
Le produit scalaire est bilinéaire: pour tous vecteurs \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{u_1}\), \(\overrightarrow{u_2}\), \(\overrightarrow{v}\), \(\overrightarrow{v_1}\), \(\overrightarrow{v_2}\) de \(\mathscr V\) et pour tous réels \(\lambda_1\), \(\lambda_2\) \[\boxed{\overrightarrow{u} .(\lambda_1 \overrightarrow{v_1}+\lambda_2 \overrightarrow{v_2})=\lambda_1\overrightarrow{u} .\overrightarrow{v_1}+\lambda_2\overrightarrow{u} .\overrightarrow{v_2}} \quad \textrm{ et} \quad \boxed{(\lambda_1 \overrightarrow{u_1}+\lambda_2 \overrightarrow{u_2}).\overrightarrow{v}=\lambda_1\overrightarrow{u_1} .\overrightarrow{v}+\lambda_2\overrightarrow{u_2} .\overrightarrow{v}}\]
Supposons que \(\overrightarrow{u}\neq 0\). Soient \(\overrightarrow{\imath}={\scriptstyle\overrightarrow{u}\over\scriptstyle\left\|u\right\|}\) et \(O\) un point de \(\mathscr P\). Soit \(\overrightarrow{\jmath}\) le vecteur image de \(\overrightarrow{\imath}\) par la rotation de centre \(O\) et d’angle \({\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\). Le triplet \((O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath })\)forme un repère orthonormal direct \(\mathscr R\) du plan. Dans cette base, les coordonnées de
  • \(\overrightarrow{u}\) sont \((x,0)\) avec \(x=\left\|\overrightarrow{u}\right\|\).

  • \(\overrightarrow{v_1}\) sont \((x_1,y_1)\)

  • \(\overrightarrow{v_2}\) sont \((x_2,y_2)\).

  • \(\lambda_1 \overrightarrow{v_1}+\lambda_2 \overrightarrow{v_2}\) sont \((\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2, \lambda_1 y_1+\lambda_2 y_2)\).

Par application de la proposition [proj], il vient : \[\overrightarrow{u}. (\lambda_1 \overrightarrow{v_1}+\lambda_2 \overrightarrow{v_2})=x(\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2), \quad \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v_1}=x.x_1 \quad \textrm{ et} \quad\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v_2}=x.x_2\] Ceci prouve que \(\overrightarrow{u} .(\lambda_1 \overrightarrow{v_1}+\lambda_2 \overrightarrow{v_2})=\lambda_1\overrightarrow{u} .\overrightarrow{v_1}+\lambda_2\overrightarrow{u} .\overrightarrow{v_2}\). La seconde égalité se démontre de la même façon ou en utilisant la symétrie du produit scalaire et la première égalité.
(Expression du produit scalaire dans une base orthonormale).
Soit \((\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath})\) une base orthonormale et soient \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs de \(\mathscr V\) de coordonnées \(\overrightarrow{u} \left|\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right.\) et \(\overrightarrow{v} \left|\begin{matrix} x' \newline y' \end{matrix} \right.\) dans cette base. Alors \[\boxed{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'}\]
(1).
Comme \(\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{\imath}+y\overrightarrow{\jmath}\) et \(\overrightarrow{v}=x'\overrightarrow{\imath}+y'\overrightarrow{\jmath}\), par bilinéarité du produit scalaire, il vient

\[\begin{aligned} \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} &=& (x\overrightarrow{\imath}+y\overrightarrow{\jmath}).(x'\overrightarrow{\imath}+y'\overrightarrow{\jmath})\\ &=&x\overrightarrow{\imath}.(x'\overrightarrow{\imath}+y'\overrightarrow{\jmath})+y\overrightarrow{\jmath}.(x'\overrightarrow{\imath}+y'\overrightarrow{\jmath})\newline &=&x.x'\overrightarrow{\imath}.\overrightarrow{\imath}+xy'\overrightarrow{\imath}.\overrightarrow{\jmath}+yx'\overrightarrow{\jmath}.\overrightarrow{\imath}+yy'\overrightarrow{\jmath}\overrightarrow{\jmath}\end{aligned}\]

Comme \(\overrightarrow{\imath}\) et \(\overrightarrow{\jmath}\) sont orthogonaux, d’après la proposition [orthog], on a : \(\overrightarrow{\imath}.\overrightarrow{\jmath}=0\). Par ailleurs, \(\overrightarrow{\imath}\) et \(\overrightarrow{\jmath}\) étant unitaires, on a \(\overrightarrow{\imath}.\overrightarrow{\imath}=\left\|\overrightarrow{\imath}\right\|.\left\|\overrightarrow{\imath}\right\|=1\) et \(\overrightarrow{\jmath}.\overrightarrow{\jmath}=\left\|\overrightarrow{\jmath}\right\|.\left\|\overrightarrow{\jmath}\right\|=1\). Il vient alors que \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= xx'+yy'\).
(Expression de la norme d’un vecteur dans une base orthonormale).
Soit \((\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath})\) une base orthonormale. Soient \(\overrightarrow{u}\) un vecteur de coordonnées \(\overrightarrow{u} \left|\begin{matrix} x \newline y \end{matrix} \right.\) dans cette base. Alors \[\boxed{\left\|\overrightarrow{u}\right\|=\sqrt{x^2+y^2}}\] Si \((O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath})\) est un repère orthonormal et que \(A\) et \(B\) sont deux points de \(\mathscr P\) de coordonnées \(A(x_A,y_A)\), \(B(x_B,y_B)\) dans ce repère alors \[\boxed{AB=\left\|\overrightarrow{AB}\right\|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}}\]
Ces formules sont immédiates. Pour la première, on a \(\left\|\overrightarrow{u}\right\|=\sqrt{\overrightarrow{u} . \overrightarrow{u}}=\sqrt{x^2+y^2}\). Pour la seconde, il suffit d’appliquer la première au vecteur \(\overrightarrow{AB}\) dont les coordonnées sont données par \(\left(x_B-x_A,y_B-y_A\right)\).

Interprétation en termes de nombres complexes

Un repère orthonormal \((O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath})\) étant fixé, on peut identifier \(\mathscr V\) et \(\mathbb{C}\). Si \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) ont pour affixes respectives \(z\) et \(z'\), alors \[\boxed{\overrightarrow{u} . \overrightarrow{v}=\mathop{\mathrm{Re}}(\bar z . z').}\]
Exercice...

Déterminant

Définition

(Déterminant).
Le déterminant de deux vecteurs du plan \(\mathscr V\) \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\), noté \(\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})\) est défini, de manière géométrique, par: \[\boxed{\left\{\begin{array}{l} \mathop{\rm det}(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})= \left\|\overrightarrow{u}\right\| \, \left\|\overrightarrow{v}\right\| \, \sin \, (\widehat{ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}}) \textrm{ si les deux vecteurs } \overrightarrow{u} \textrm{ et } \overrightarrow{v} \textrm{ sont non nuls} \newline \mathop{\rm det}(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})=0 \textrm{ sinon.} \end{array}\right.}\]
  • Le déterminant dépend de l’orientation choisie dans le plan. Si on avait choisie l’orientation contraire, on aurait un déterminant de signe contraire.

  • Pour tout \(\overrightarrow{u}\in \mathscr V\), \(\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{u}\right)=0\). En effet, si \(\overrightarrow{u}\neq \overrightarrow{0}\), \(\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{u}\right)=\left\|\overrightarrow{u}\right\|\cdot \left\|\overrightarrow{u}\right\| \sin\left(\widehat{\overrightarrow{u},\overrightarrow{u}}\right)=0\) et si \(\overrightarrow{u}=0\) le résultat est immédiat.

Deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires si et seulement si \(\boxed{\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})=0}\).
(1).
Si l’un des deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) ou \(\overrightarrow{v}\) est nul, alors la proposition est évidente. Supposons qu’aucun des deux vecteurs est nul.
  • Si \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires alors \(\left(\widehat{\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}}\right)=0~\left[\pi\right]\) et \(\sin \left(\widehat{\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}}\right)=0\). Il vient alors que \(\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{u}\right)=\left\|\overrightarrow{u}\right\|\cdot \left\|\overrightarrow{u}\right\| \sin\left(\widehat{\overrightarrow{u},\overrightarrow{u}}\right)=0\).

  • Réciproquement, si \(\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{u}\right)=\left\|\overrightarrow{u}\right\|\cdot \left\|\overrightarrow{u}\right\| \sin\left(\widehat{\overrightarrow{u},\overrightarrow{u}}\right)=0\) alors comme \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont non nuls, cette égalité n’est possible que si \(\sin\left(\widehat{\overrightarrow{u},\overrightarrow{u}}\right)=0\) ce qui amène \(\left(\widehat{\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}}\right)=0~\left[\pi\right]\) et les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont donc colinéaires.

Un corollaire immédiat à cette proposition est que trois points du plan \(A\),\(B\) et \(C\) sont alignés si et seulement si \(\mathop{\rm det}(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=0\).

Interprétation en terme d’aire

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(Interprétation du déterminant en terme de projection).
Soient \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs de \(\mathscr V\). Soient \(O,\,A,\,B\) trois points de \(\mathscr P\) tels que \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{v}\). Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(B\) sur la droite \((OA)\). Choisissons pour la droite \((BH)\) l’orientation dans le sens directement orthogonale à \(\overrightarrow{OA}\). On a alors : \[\boxed{\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}) = OA.\overline{HB}.}\] La valeur absolue de ce déterminant correspond à l’aire du parallélogramme construit selon les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\).
(1).
Il est clair que \(\left\|\overrightarrow{u}\right\|=OA\). Compte tenu de l’orientation choisie pour \((HB)\), si \(\alpha\) est la détermination de \((\widehat{ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}})\) appartenant à \(\left]-\pi,\pi\right]\) alors
  • si \(\alpha\) est positif, \(\left\|\overrightarrow{v} \right\|\, \sin (\widehat{ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}})=HB\)

  • si \(\alpha\) est négatif, \(\left\|\overrightarrow{v} \right\|\, \sin(\widehat{ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}})=-HB\).

Par conséquent \(\left\|\overrightarrow{v}\right\| \, \sin (\widehat{ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}})=\overline{HB}\) et \(\overrightarrow{u} . \overrightarrow{v}=\left\|\overrightarrow{u}\right\| \, \left\| \overrightarrow{v} \right\|\, \sin(\widehat{ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}})=OA\,.\,\overline{HB}\).

Propriétés du déterminant

(Antisymétrie du déterminant).
Le déterminant est antisymétrique: si \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont deux vecteurs de \(\mathscr V\) alors \(\boxed{\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u} , \overrightarrow{v}) =- \mathop{\rm det}( \overrightarrow{v} , \overrightarrow{u})}\).
C’est une conséquence directe du fait que \(\sin(\widehat{\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}})=-\sin(\widehat{\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}})\).
(Bilinéarité du déterminant).
Le déterminant est bilinéaire: pour tous \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{u_1}\), \(\overrightarrow{u_2}\), \(\overrightarrow{v}\), \(\overrightarrow{v_1}\), \(\overrightarrow{v_2}\) de \(\mathscr V\) et pour tous réels \(\lambda_1\), \(\lambda_2\), on a \[\boxed{\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u}, \lambda_1 \overrightarrow{v_1}+\lambda_2 \overrightarrow{v_2})=\lambda_1\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v_1})+\lambda_2\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v_2})} \quad \textrm{ et} \quad\boxed{\mathop{\rm det}(\lambda_1 \overrightarrow{u_1}+\lambda_2 \overrightarrow{u_2},\overrightarrow{v})=\lambda_1\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u_1} ,\overrightarrow{v})+\lambda_2\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u_2} ,\overrightarrow{v}).}\]
Supposons \(\overrightarrow{u}\neq 0\). Soient \(\overrightarrow{\imath}={\scriptstyle\overrightarrow{u}\over\scriptstyle\left\|u\right\|}\) et \(O\) un point de \(\mathscr P\). Soit \(\overrightarrow{\jmath}\) le vecteur image de \(\overrightarrow{\imath}\) par la rotation de centre \(O\) et d’angle \({\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\). Le triplet \((O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath })\)forme un repère orthonormal direct \(\mathscr R\) du plan. Dans cette base, les coordonnées de:
  • \(\overrightarrow{u}\) sont \((x,0)\) avec \(x=\left\|\overrightarrow{u}\right\|\).

  • \(\overrightarrow{v_1}\) sont \((x_1,y_1)\)

  • \(\overrightarrow{v_2}\) sont \((x_2,y_2)\).

  • \(\lambda_1 \overrightarrow{v_1}+\lambda_2 \overrightarrow{v_2}\) sont \((\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2, \lambda_1 y_1+\lambda_2 y_2)\).

Par application de la proposition [proj_det]: \[\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u}, \lambda_1 \overrightarrow{v_1}+\lambda_2 \overrightarrow{v_2})=x(\lambda_1 y_1+\lambda_2 y_2), \quad \mathop{\rm det}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v_1})=x.y_1 \quad \textrm{ et} \quad\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v_2})=x.y_2.\] Il vient alors \(\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u} ,\lambda_1 \overrightarrow{v_1}+\lambda_2 \overrightarrow{v_2})=\lambda_1\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v_1})+\lambda_2\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v_2})\). La seconde égalité se démontre de la même façon ou en utilisant l’antisymétrie du déterminant et la première égalité.
(Expression du déterminant dans une base orthonormale directe).
Soit \((\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath})\) une base orthonormale directe et soient \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs de \(\mathscr V\) de coordonnées \(\overrightarrow{u} \left|\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right.\) et \(\overrightarrow{v} \left|\begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix} \right.\) dans cette base. Alors \[\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=xy'-yx'\] On notera \(\left|\begin{array}{cc}x & x' \\ y & y'\end{array}\right|\) le déterminant \(\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})\). On a donc \[\boxed{\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=\left|\begin{array}{cc} x & x' \newline y & y' \end{array}\right|=xy'-x'y}\]
(1).
Comme \(\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{\imath}+y\overrightarrow{\jmath}\) et \(\overrightarrow{v}=x'\overrightarrow{\imath}+y'\overrightarrow{\jmath}\), par bilinéarité du déterminant, on a \[\begin{aligned} \mathop{\rm det}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}) &=& \mathop{\rm det}(x\overrightarrow{\imath}+y\overrightarrow{\jmath},x'\overrightarrow{\imath}+y'\overrightarrow{\jmath})\\ &=&x\mathop{\rm det}(\overrightarrow{\imath},x'\overrightarrow{\imath}+y'\overrightarrow{\jmath})+y\mathop{\rm det}(\overrightarrow{\jmath},x'\overrightarrow{\imath}+y'\overrightarrow{\jmath})\newline &=&x.x'\mathop{\rm det}(\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\imath})+xy'\mathop{\rm det}(\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath})+yx'\mathop{\rm det}(\overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{\imath})+yy'\mathop{\rm det}(\overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{\jmath}).\end{aligned}\] Comme la base \((\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath})\) est orthonormale et directe, \(\mathop{\rm det}(\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath})=1\) et \(\mathop{\rm det}(\overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{\imath})=-1\). D’après la proposition [colin], \(\mathop{\rm det}(\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\imath})=\mathop{\rm det}(\overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{\jmath})=0\). On obtient alors \(\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=xy'-yx'.\)

Interprétation en terme de nombres complexes

Un repère orthonormal direct \((O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath})\) étant fixé, on peut identifier \(\mathscr V\) et \(\mathbb{C}\). Si \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) ont pour affixes respectives \(z\) et \(z'\), alors \[\boxed{\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u} , \overrightarrow{v})=\mathop{\mathrm{Im}}(\bar z . z').}\]
Exercice...

Application du déterminant: résolution d’un système linéaire de Cramer de deux équations à deux inconnues

Soit \[\left(\mathscr S\right):\left\{ \begin{aligned} ax&+by&=&\alpha\cr cx&+dy&=&\beta \end{aligned}\right.\] On appelle déterminant de ce système le réel \(\delta=ad-bc\). Ce système linéaire est dit de Cramer si et seulement si son déterminant \(\delta\) est non nul. On a alors la proposition suivante.

Si \(\left(\mathscr S\right)\) est un système de Cramer alors il admet un et un seul couple solution \(\left(x,y\right)\) donné par \[\boxed{x=\dfrac{\left| \begin{array}{cc} \alpha&b\\ \beta &d \end{array} \right|}{ad-bc} \quad \textrm{ et} \quad y=\dfrac{\left| \begin{array}{cc} a&\alpha\newline c&\beta \end{array} \right|}{ad-bc}}\]
  1. Prouvons l’unicité du couple \(\left(x,y\right)\). Soient \(\left(x_1,y_1\right)\) et \(\left(x_2,y_2\right)\) deux couples solutions de \(\left(\mathscr S\right)\). On vérifie facilement que le couple \(\left(X,Y\right)=\left(x_2-x_1,y_2-y_1\right)\) est solution du système \[\left\{ \begin{aligned} ax&+by&=&0\cr cx&+dy&=&0 \end{aligned}\right..\] Ceci prouve que dans le plan, identifié à \(\mathbb{R}^2\) par le choix d’un repère orthonormal, les vecteurs \(\left(a,b\right)\) et \(\left(c,d\right)\) sont tous deux orthogonaux au vecteur \(\left(X,Y\right)\). Mais comme \[\mathop{\rm det}(\left(a,b\right),\left(c,d\right))=\left|\begin{array}{cc} a & b \newline c & d \end{array}\right|=\delta\neq 0,\] les deux vecteurs \(\left(a,b\right)\) et \(\left(c,d\right)\) ne sont pas colinéaires. Le vecteur \(\left(X,Y\right)\) étant orthogonal à deux vecteurs non colinéaires ne peut être que nul donc \(X=0\) et \(Y=0\). Ceci prouve que \(x_1=x_2\) et que \(y_1=y_2\) et donc l’unicité du couple solution.

  2. Pour prouver l’existence du couple \(\left(x,y\right)\), il suffit de vérifier que le couple donné dans l’énoncé de la proposition est bien solution de \(\left(\mathscr S\right)\), ce qui ne pose pas de difficulté.

Si le déterminant du système est nul alors ce système admet soit une infinité de solutions soit aucune.

Droites

Préambule: Lignes de niveau

(Ligne de niveau).
Soit \(\alpha\) un réel. Une partie \(\mathscr A\) du plan est une ligne de niveau \(\alpha\) d’une fonction \(F:\mathscr P\longrightarrow\mathbb{R}\) si \(\mathscr A\) est solution de l’équation \(F(M)=\alpha\). \[M\in \mathscr A \Leftrightarrow F(M)=\alpha\]

Lignes de niveau de \(\protect M \protect\mapsto \protect\vec{u}\protect.\protect\overrightarrow{AM}\)

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Soient \(A\) un point de \(\mathscr P\), \(\overrightarrow{u}\) un vecteur non nul de \(\mathscr V\), \(\alpha\) un réel et \(F: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathscr P & \longrightarrow & R \newline M & \longmapsto & \overrightarrow{u}.\overrightarrow{AM} \end{array} \right. .\) La ligne de niveau \(\alpha\) de \(F\): \(F(M)=\alpha\) est donnée par la droite dont la direction est orthogonale à \(\overrightarrow{u}\) et qui passe par le point \(M_0\) de \(\mathscr P\) défini par \(\boxed{\overrightarrow{AM_0}=\alpha.{\scriptstyle\overrightarrow{u}\over\scriptstyle\left\|u\right\| ^2}}\).
Posons \(\overrightarrow{U}={\overrightarrow{u}}/{\left\|\overrightarrow{u}\right\|}\) et considérons \(\overrightarrow{V}\) un vecteur unitaire de \(\mathscr V\) tel que \((A,\overrightarrow{ U},\overrightarrow{ V})\) forme une repère orthonormale directe de \(\mathscr V\). Soient \((x,y)\) les coordonnées de \(M\) dans ce repère et \(\alpha\) un réel. Comme \(\overrightarrow{u} \left(\left\|{\overrightarrow{u}}\right\|,0\right)\) et \(\overrightarrow{AM}\left(x,y\right)\), on a : \[\begin{aligned} F(M)= \alpha &\Rightarrow & \overrightarrow{u}.\overrightarrow{AM}=\alpha %&\implique& \ve{u}.(x\ve U+y\ve V )= \alpha\\ %&\implique& x\ve u.\ve U=\alpha\\ %&\implique& x\ve u.\frac{\ve u}{\norme{\ve u}}=\alpha\\ \Rightarrow x.\left\|\overrightarrow{u}\right\|=\alpha \Rightarrow x={\scriptstyle\alpha\over\scriptstyle\left\|\overrightarrow{u}\right\|}\end{aligned}\] ce qui prouve que si \(M\) est élément de la ligne de niveau \(F(M)=\alpha\) alors \(M\) est élément de la droite orthogonale à \(\overrightarrow{u}\) passant par le point \(M_0\) tel que \(\overrightarrow{AM_0}=\alpha.{\scriptstyle\overrightarrow{u}\over\scriptstyle\left\|\overrightarrow{u}\right\| ^2}\). Réciproquement, si \(M\) est élément de cette droite alors les coordoonées de \(M\) dans le repère \((A,\overrightarrow{ U},\overrightarrow{ V})\) sont de la forme \(\left({\alpha}/{\left\|\overrightarrow{u}\right\|},y\right)\)\(y\in\mathbb{R}\) et on vérifie facilement que \(F\left(M\right)=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{AM}=\alpha\). Donc \(M\) appartient à la ligne de niveau \(F(M)=\alpha\).

Lignes de niveau de \(\protect M\protect\mapsto \protect\mathop{\rm det}\left( \protect\vec{u},\protect\overrightarrow{AM}\right)\)

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Soient \(A\) un point de \(\mathscr P\), \(\overrightarrow{u}\) un vecteur non nul de \(\mathscr V\), \(\alpha\) un réel et \(G: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathscr P & \longrightarrow & \mathbb{R} \newline M & \longmapsto & \mathop{\rm det}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AM}) \end{array} \right. .\) La ligne de niveau \(\alpha\) de \(G\): \(G(M)=\alpha\) est donnée par la droite de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\) et qui passe par le point \(M_0\) de \(\mathscr P\) défini par \(\boxed{\overrightarrow{AM_0}=\alpha{\scriptstyle\overrightarrow{v}\over\scriptstyle\left\|u\right\| ^2}}\)\(\overrightarrow{v}\) est le vecteur directement orthogonal à \(\overrightarrow{u}\) et de même norme.
Comme dans la démonstration de la proposition précédente, posons \(\overrightarrow{U}={\overrightarrow{u}}/{\left\|\overrightarrow{u}\right\|}\) et considérons \(\overrightarrow{V}\) un vecteur unitaire de \(\mathscr V\) tel que \((A,\overrightarrow{ U},\overrightarrow{ V})\) forme une repère orthonormal direct de \(\mathscr V\). Soient \((x,y)\) les coordonnées de \(M\) dans ce repère. Soit \(\alpha\) un réel. Comme \(\overrightarrow{u} \left(\left\|{\overrightarrow{u}}\right\|,0\right)\) et \(\overrightarrow{AM}\left(x,y\right)\), on a : \[\begin{aligned} G(M)= \alpha \Rightarrow \mathop{\rm det}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AM})=\alpha %%%%&\implique& \det(\ve{u},x\ve U+y\ve V)= \alpha\\ %%%%&\implique& y\det(\ve u,\ve V)=\alpha\\ \Rightarrow y.\left\|\overrightarrow{u}\right\|=\alpha \Rightarrow y={\scriptstyle\alpha\over\scriptstyle\left\|\overrightarrow{u}\right\|}\end{aligned}\] Donc si \(M(x,y)\) vérifie l’équation \(G(M)= \alpha\) alors il est élément de la droite de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\) passant par le point \(M_0\) tel que \(\overrightarrow{AM_0}=\alpha.{\scriptstyle\overrightarrow{V}\over\scriptstyle\left\|\overrightarrow{u}\right\| }\). Réciproquement, si \(M\) est élément de cette droite, alors ses coordonnées dans le repère \((A,\overrightarrow{ U},\overrightarrow{ V})\) sont de la forme \(\left(x,{\alpha}/{\left\|\overrightarrow{u}\right\|}\right)\)\(x\in\mathbb{R}\) et on vérifie facilement que \(M\) est élément de la ligne de niveau \(G(M)=\alpha\) car \(G\left(M\right)=\mathop{\rm det}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AM})=\alpha\). Par ailleurs, si \(\overrightarrow{v}=\left\|\overrightarrow{u}\right\|\overrightarrow{V}\), on obtient bien \(\overrightarrow{AM_0}=\alpha.{\scriptstyle\overrightarrow{v}\over\scriptstyle\left\|\overrightarrow{u}\right\| ^2}\) et \(\overrightarrow{v}\) est comme indiqué dans la proposition.

Représentation paramétrique d’une droite

Cette représentation peut être utilisée quand on connaît un point et un vecteur directeur de la droite étudiée.
(Représentation paramétrique d’une droite).
Soit \(\mathscr R(O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath})\) un repère du plan. Soit \(D\) une droite du plan passant par un point \(A\) de coordonnées \((x_A,y_A)\) dans \(\mathscr R\) et dirigée par le vecteur non nul \(\overrightarrow{u} \left|\begin{matrix} \alpha \\ \beta \end{matrix} \right.\). \(D\) admet comme représentation paramétrique:

\[\boxed{\begin{cases} x&=x_A+t\,\alpha \\ y&=y_A+t\, \beta \end{cases} ; t\in\mathbb{R}} \quad \left(\star\right)\]

(Ce qui signifie que \(M(x_M,y_M)\in D\Leftrightarrow \exists \lambda_0 \in \mathbb{R}~~\left\{\begin{array}{c} x_M=x_A+\lambda_0\,\alpha \newline y_M=y_A+\lambda_0\, \beta \end{array}\right.\)).
Si \(M\left(x,y\right)\in D\) alors les vecteurs \(\overrightarrow{AM}\) et \(\overrightarrow{u}\) sont colinéaires. Il existe donc un réel \(t\) tel que \(\overrightarrow{AM}=t \overrightarrow{u}\) et l’égalité des coordonnées de ces deux vecteurs se traduit par les égalités \(\left(\star\right)\). Réciproquement, les égalités \(\left(\star\right)\) impliquent l’égalité vectorielle \(\overrightarrow{AM}=t \overrightarrow{u}\) et le fait que le point \(M\in D\).
Soit \(\mathscr R(O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath})\) un repère du plan. Déterminons une équation paramétrique de la droite \(D\) passant par le point : \(A\left(1,-2\right)\) et dirigée par le vecteur :\(\overrightarrow{u} \left|\begin{matrix} 3 \\ 5 \end{matrix} \right.\). Par application du théorème précédent, une équation paramétrique de \(D\) est : \[\left\{\begin{array}{c} x=1+3t\,\alpha \newline y=-2+5t\, \beta \end{array}\right. t\in\mathbb{R}\]

Équation cartésienne d’une droite

Cette représentation est aussi utilisable quand on connaît un point et un vecteur directeur de la droite en question. On se remémorera au préalable ce qu’est une équation cartésienne (voir la définition [equ_cartesienne] page [equ_cartesienne]).

(Équation cartésienne d’une droite).
Soient \(\mathscr R(O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath})\) un repère orthonormal du plan, \(\alpha,\,\beta\) deux réels non tous deux nuls.
  1. La droite \(D\) passant par le point \(A\) de coordonnées \((x_A,y_A)\) dans \(\mathscr R\) et dirigée par le vecteur non nul \(\overrightarrow{u} \left|\begin{matrix} -\beta \\ \alpha \end{matrix} \right.\) admet une équation cartésienne de la forme \[\boxed{\alpha x+\beta y+c=0}\]\(c\in\mathbb{R}\).

  2. Réciproquement, l’ensemble des points du plan d’équation \(\alpha x+\beta y+c=0\) avec \(c\in\mathbb{R}\) est une droite de vecteur directeur \(\overrightarrow{u} \left|\begin{matrix} -\beta \newline \alpha \end{matrix} \right.\).

  3. Deux telles équations représentent deux droites confondues si et seulement si elles sont proportionnelles.

  1. On pourrait démontrer cette égalité en éliminant le paramètre \(t\) dans l’équation paramétrique de \(D\). Il est plus rapide de constater que \[\begin{aligned} M(x,y) \in D&\Rightarrow & \mathop{\rm det}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AM})=0\\ &\Rightarrow & \left|\begin{array}{cc} -\beta & x-x_A \\ \alpha & y-y_A \end{array}\right|=0\\ &\Rightarrow &-\left(\alpha(x-x_A))+\beta(y-y_A)\right)=0 \\ &\Rightarrow & \alpha x + \beta y=-(\alpha x_A+\beta y_A)\end{aligned}\] qui correspond à l’égalité recherchée avec \(c=-(\alpha x_A+\beta y_A)\).

  2. Réciproquement, si \(\alpha x +\beta y+c=0\) est une équation cartésienne d’un sous-ensemble \(\mathscr A\) du plan et si \(A(x_A,y_A)\) est élément de ce sous-ensemble alors ses coordonnées vérifient l’équation \(\alpha x +\beta y+c=0\) et, pour tout \(M(x,y)\) de \(\mathscr A\): \(\alpha (x-x_A) +\beta (y-y_A)+c=0\). Donc, pour tout point \(M\) de \(\mathscr A\), \(\mathop{\rm det}(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{u})=0\)\({\overrightarrow{u}}\left(-\beta,\alpha\right)\). \(\mathscr A\) est donc la ligne de niveau \(0\) de l’application \(G\) de la proposition [ligne_niveau_det]. \(\mathscr A\) est donc, d’après cette proposition, la droite orthogonale à \(\overrightarrow{u}\) passant par \(A\).

  3. Considérons les deux équations cartésiennes \[(1)~~~\alpha_1 x + \beta_1 y+c_1=0 \quad \textrm{ et} \quad(2)~~~\alpha_2 x + \beta_2 y+c_2=0,\] la première représente une droite \(D_1\) et la seconde une droite \(D_2\). Si ces deux équations sont proportionnelles, alors tout point \(M\) dont les coordonnées \((x,y)\) vérifient l’équation \((1)\) (\(\Leftrightarrow M\in D_1\)) vérifient aussi l’équation \((2)\) et donc est aussi élément de \(D_2\). Ceci prouve que \(D_1=D_2\). Réciproquement, si une droite \(D\) possède deux représentations cartésiennes \((1)\) et \((2)\) alors, \({\overrightarrow{u_1}}\left(-\beta_1,\alpha_1\right)\) et \({\overrightarrow{u_2}}\left(-\beta_2,\alpha_2\right)\) étant deux vecteurs directeurs de \(D\), ils sont colinéaires et il existe donc \(k\in\mathbb{R}^*\) tel que \(\alpha_2=k\alpha_1\), \(\beta_2=k\beta_1\). Considérons un point \(A(x_A,y_A)\) de \(D\) et étudions les égalités \[\left\{\begin{array}{l} \alpha_1 x_A + \beta_1 y_A+c_1=0 \newline \alpha_2 x_A + \beta_2 y_A+c_2=0 \end{array}\right.,\] on montre que \(c_2=kc_1\) et donc que \((1)\) et \((2)\) sont proportionnelles.

Une droite donnée dans un repère orthonormal possède une infinité d’équations cartésiennes proportionnelles.
Soient \(\mathscr R(O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath})\) un repère orthonormal du plan, \(D\) une droite passant pas le point \(A\left(1,-1\right)\) et dirigée par le vecteur \(\overrightarrow{u} \left|\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right.\). Calculons une équation cartésienne de \(D\) dans \(\mathscr R\). Soit \(M\left(x,y\right)\in\mathscr P\). On a : \[\begin{aligned} M\in\mathscr D \Longleftrightarrow &\overrightarrow{AM} \quad \textrm{ et} \quad\overrightarrow{u} \textrm{ sont colinéaires} \Longleftrightarrow \mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{u} \right)=0 \Longleftrightarrow \left| \begin{array}{cc} x-1&1\newline y+1 &2 \end{array} \right|=0 \Longleftrightarrow 2x-y -3=0\end{aligned}\] Une équation cartésienne de \(D\) est donc :\(\boxed{2x-y -3=0}\)

Droite définie par deux points distincts

Cette méthode est à utiliser pour déterminer l’équation cartésienne d’une droite quand on connaît deux points de cette droite. Soit \(D\) une droite passant par les points \(A\) et \(B\) de \(\mathscr P\) de coordonnées respectives \((x_A,y_A)\) et \((x_B,y_B)\) dans un repère orthonormal direct du plan. On détermine une représentation paramétrique ou une équation cartésienne de \(D\) en remarquant que \(D\) admet \(\overrightarrow{AB}\) comme vecteur directeur et en se ramenant à une des méthodes développées dans l’un des deux paragraphes précédents.

Droite définie par un point et un vecteur normal

(Vecteur normal).
Soit \(D\) une droite du plan et \(\overrightarrow{n}\) un vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de \(D\). \(\overrightarrow{n}\) est un vecteur normal à \(D\).

La proposition qui suit permet de calculer l’équation cartésienne d’une droite quand on connaît un point et un vecteur normal de cette droite.

Le plan étant rapporté à un repère orthonormal, on considère une droite \(D\) d’équation cartésienne \(\alpha x+\beta y+c=0\). Alors le vecteur \(\boxed{{\overrightarrow{u}}\left(-\beta,\alpha\right)}\) est un vecteur directeur de \(D\) et \(\boxed{{\overrightarrow{v}}\left(\alpha,\beta\right)}\) est un vecteur normal à \(D\).
(1).
Le fait que \({\overrightarrow{u}}\left(-\beta,\alpha\right)\) est un vecteur directeur de \(D\) a déjà été prouvé dans la proposition [equ_cart_droite]. Le vecteur \({\overrightarrow{v}}\left(\alpha,\beta\right)\) est par ailleurs clairement orthogonal à \(\overrightarrow{u}\) et est donc un vecteur normal à \(D\).
(Équation d’une droite définie par un point et un vecteur normal).
Un repère orthonormal étant fixé, la droite \(D\) passant par le point \(A(x_A,y_A)\) et de vecteur normal \({\overrightarrow{n}}\left(\alpha,\beta\right)\) a pour équation \(\boxed{\alpha(x-x_A)+\beta(y-y_A)=0}\).
(1).
Soit \(M\left(x,y\right)\) un point du plan. Supposons que \(M\in D\) alors \(\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0\), ce qui s’écrit aussi \(\alpha(x-x_A)+\beta(y-y_A)=0\). Réciproquement si \(M\) vérifie cette égalité alors le produit scalaire \(\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}\) est nul et les vecteurs \(\overrightarrow{AM}\) et \(\overrightarrow{n}\) sont orthogonaux. Le vecteur \(\overrightarrow{AM}\) dirige donc la droite \(D\). \(A\) étant un point de cette droite, ceci n’est possible que si \(M\in D\).

Distance d’un point à une droite

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(Distance d’un point à une droite).
Soit \(D\) une droite et \(M\) un point du plan. On appelle distance de \(M\) à \(D\) et on note \(d(M,D)\) la plus petite distance entre \(M\) et un point de \(D\).
Si \(H\) est le projeté orthogonal de \(M\) sur \(D\) et si \(N\) est un point de \(D\) alors, d’après le théorème de Pythagore, \[MN^2=MH^2+HN^2\geqslant MH^2\] Le minimum de la distance entre \(M\) et un point de la droite existe, est atteint en \(H\) et vaut \(MH\).
Soit \(\mathscr R\) \((O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath})\) un repère orthonormal direct du plan. Soit \(D\) une droite du plan :
  1. passant par un point \(A(x_A,y_A)\)

  2. de vecteur normal \(\overrightarrow{n}\)

  3. de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\)

  4. et d’équation cartésienne \(ax+by+c=0\).

Soit \(M(x_M,y_M)\) un point du plan, alors \[\boxed{d(M,D)=\dfrac{\left|\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{u}\right)\right|}{\left\|\overrightarrow{u}\right\|}=\dfrac{\left|\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{n}\right|}{\left\|\overrightarrow{n}\right\|}=\dfrac{\left|ax_M+by_M+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}}\]
(1).
Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(M\) sur \(D\).
  1. Par application des formules de trigonométrie dans le triangle \(AHM\) rectangle en \(H\), on a \[d\left(M,D\right)=HM=AM\left|\sin{\left(\widehat{\overrightarrow{AM},\overrightarrow{u}}\right)}\right| = \dfrac{\left\|\overrightarrow{AM}\right\|\left\|\overrightarrow{u}\right\|\left|\sin\left(\widehat{\overrightarrow{AM},\overrightarrow{u}}\right)\right|}{\left\|\overrightarrow{u}\right\|}=\dfrac{\left|\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{u}\right)\right|}{\left\|\overrightarrow{u}\right\|}\]

  2. Par ailleurs, toujours par utilisation de la trigonométrie dans le triangle \(AHM\), on a aussi \[d\left(M,D\right)=HM=AM\left|\cos{\left(\widehat{\overrightarrow{AM},\overrightarrow{n}}\right)}\right|= \dfrac{\left\|\overrightarrow{AM}\right\|\left\|\overrightarrow{n}\right\|\left|\cos\left(\widehat{\overrightarrow{AM},\overrightarrow{n}}\right)\right|}{\left\|\overrightarrow{n}\right\|}=\dfrac{\left|\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{n}\right|}{\left\|\overrightarrow{n}\right\|}\]

  3. Enfin, prenant pour \(\overrightarrow{n}\) le vecteur normal à \(D\) de coordonnées \(\left(a,b\right)\), on a \[d(M,D) = \dfrac{ \left|\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{n}\right| }{\left\|\overrightarrow{n}\right\|} = \dfrac{\left|a\left(x_M-x_A\right)+b\left(y_M-y_A\right) \right|}{\sqrt{a^2+b^2}} = \dfrac{\left|a x_M+b y_M -\left(a x_A +by_A\right)\right|}{\sqrt{a^2+b^2}} = \dfrac{\left|ax_M+by_M+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}\] car \(A\in D\) et donc \(a x_A+b y_A + c=0\).

Équation normale d’une droite

(Équation normale d’une droite).
On dit que \(\;\alpha x + \beta y=c\;\) est une équation normale d’une droite si \(\alpha^2+\beta^2=1\).

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Soit \(\mathscr R\) \((O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath})\) un repère orthonormal du plan. Pour toute droite \(D\) du plan, il existe des réels \(\theta\) et \(p\) tel que \(x\cos \theta +y \sin \theta=p\) soit une équation normale de \(D\) dans \(\mathscr R\).
Soit \(ax+by=c\) une équation cartésienne de \(D\). Alors \[{\scriptstyle a\over\scriptstyle\sqrt{a^2+b^2}}x+{\scriptstyle b\over\scriptstyle\sqrt{a^2+b^2}}x={\scriptstyle c\over\scriptstyle\sqrt{a^2+b^2}}\] est une équation proportionnelle à notre première équation et est donc une autre représentation cartésienne de \(D\) dans \(\mathscr R\). Comme \[\left( {\scriptstyle a\over\scriptstyle\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2 +\left( {\scriptstyle b\over\scriptstyle\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2=1,\] il existe ( défini modulo \(2\pi\)) \(\theta \in \mathbb{R}\) tel que \[\cos \theta= {\scriptstyle a\over\scriptstyle\sqrt{a^2+b^2}} \textrm{ et } \sin \theta= {\scriptstyle b\over\scriptstyle\sqrt{a^2+b^2}}.\] Posons \(p={\scriptstyle c\over\scriptstyle\sqrt{a^2+b^2}}\). Une équation de \(D\) est donc \(x\cos \theta +y \sin \theta=p\) et cette équation est, par construction, normale.
  • Si \(x\cos \theta +y \sin \theta=p\) est une équation normale d’une droite \(D\) dans un repère orthonormal \(\mathscr R\), la seule autre équation normale de \(D\) dans \(\mathscr R\) est \(x\cos (\theta+\pi) +y \sin (\theta+\pi)=-p\)

  • Interprétation géométrique de \(\theta\) et \(p\): Soit \(D\) une droite du plan rapporté à un repère orthonormal direct \(\mathscr R\) \((O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath})\). On suppose que \(D\) ne passe pas par l’origine de ce repère. Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(O\) sur \(D\) et soit \(x\cos \theta +y \sin \theta=p\) une équation normale de \(D\). Le vecteur \(\overrightarrow{n} \left|\begin{matrix} \cos \theta \newline \sin \theta \end{matrix} \right.\) est un vecteur normal à \(D\). Par conséquent, il est colinéaire au vecteur \(\overrightarrow{OH}\). Donc \(\left(\widehat{\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{OH}}\right) = \theta ~ [\pi]\). De plus, \[d\left(O,D\right)=\dfrac{\left|0\times\cos \theta+0\times \sin\theta -p\right|}{\sqrt{\cos^2 \theta +\sin^2 \theta }}=\left|p\right|\] et donc \(\left|p\right|=d\left(O,D\right)\).

  • En corollaire à cette dernière remarque, si \(x\cos \theta +y \sin \theta=p\) est une équation normale de \(D\) et si \(M\) est un point du plan alors \(d(M,D)=|x\cos \theta+y \sin \theta-p|\).

Équation polaire d’une droite

Dans tout ce paragraphe, on considère un repère orthonormal direct \(\mathscr R (O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath})\) et un repère polaire \(\mathscr R_\theta\left(O,\overrightarrow{u} \left(\theta\right), \overrightarrow{v} \left(\theta\right)\right)\).

(Équation polaire d’une droite passant par le pôle).
Une droite \(D\) passant par le pôle \(O\) du repère polaire \(\mathscr R_\theta\) a une équation polaire du type \[\boxed{\theta=\theta_0 ~\left[\pi\right]}\]\(\theta_0\) est un réel. Ceci signifie que si le point \(M\) est représenté par le couple de coordonnées \((r_M,\theta_M)\) dans \(\mathscr R_\theta\) alors \(M\) est élément de \(D\) si et seulement si \(\theta_M=\theta_0\). Réciproquement, une telle équation est celle d’une droite passant par le pôle \(O\) de \(\mathscr R_\theta\).
Soit \(\overrightarrow{u}\) un vecteur directeur de \(D\). Soit \(\theta_0\) une mesure de l’angle \((\widehat{\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{u}})\). \(M\) est élément de \(D\) si et seulement si il existe \(\alpha \in \mathbb{R}\) tel que \(\overrightarrow{OM}=t\overrightarrow{u}\), c’est-à-dire si et seulement si \((\left|t\right|,\theta_0)\) ou \((\left|t\right|,\theta_0+\pi)\) forme un système de coordonnées polaires de \(M\). L’équation \(\theta=\theta_0~\left[\pi\right]\) définie donc bien une équation polaire passant par \(O\) et dirigée par \(\overrightarrow{u}\).
(Équation polaire d’une droite ne passant pas par le pôle).
Une droite \(D\) ne passant pas par le pôle \(O\) du repère polaire \(\mathscr R_\theta\) admet une équation polaire du type \[\boxed{r=\dfrac{p}{\cos\left(\theta-\theta_0\right)}}\]\(p=d\left(O,D\right)\) et où \(\theta_0=\left(\widehat{\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{OH}}\right)~\left[2\pi\right]\), \(H\) étant le projeté orthogonal de \(O\) sur \(D\). Réciproquement, une telle équation est celle d’une droite ne passant pas par le pôle \(O\) de \(\mathscr R_\theta\).
On utilise une équation normale de la droite \(D\) et son interprétation géométrique. Comme la droite \(D\) ne passe pas par l’origine, elle admet une équation normale de la forme \(x\cos \theta_0 +y \sin \theta_0=p\)\(\theta_0\in\mathbb{R}\) et où \(p\neq 0\). Quitte à changer \(\theta_0\) en \(\theta_0+\pi\), on peut même supposer que \(p>0\). Si \((r,\theta)\) est un système de coordonnées polaires pour un point \(M\) du plan, alors les coordonnées de \(M\) sont données dans \(\mathscr R\) par le couple \((r \cos \theta,r \sin \theta)\). Le point \(M\) appartient à \(D\) si et seulement si \(r(\cos \theta \cos \theta_0+ \beta \sin \theta\sin \theta_0)=p\), c’est-à-dire si et seulement si \(r={\scriptstyle p\over\scriptstyle\cos\left(\theta-\theta_0\right)}\).

Intersection de deux droites, droites parallèles

Dans tout ce paragraphe, on considère un repère orthonormal \(\mathscr R (O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath})\).

Soient \(D\) et \(D'\) deux droites d’équations respectives \(ax+by=c\) et \(a'x+b'y=c'\) dans \(\mathscr R\)\((a,b)\in\mathbb{R}^2\setminus\left\{\left(0,0\right)\right\}\) et \((a',b')\in\mathbb{R}^2\setminus\left\{\left(0,0\right)\right\}\).
  • \(D\) et \(D'\) sont parallèles si et seulement si les couples \((a,b)\) et \((a',b')\) sont proportionnels, c’est-à-dire si et seulement si \(\left|\begin{array}{cc}a & a' \newline b & b'\end{array}\right|=0\) (Dans ce cas soit les deux droites sont confondues soit leur intersection est réduite à l’ensemble vide).

  • Si \(D\) et \(D'\) ne sont pas parallèles, elles ont un unique point d’intersection.

(1).
Les vecteurs \(\overrightarrow{u}\left(-b,a\right)\) et \(\overrightarrow{u'}\left(-b',a'\right)\) sont, respectivement, des vecteurs directeurs de \(D\) et \(D'\). \(D\) et \(D'\) sont parallèles si et seulement si ces deux vecteurs sont colinéaires, c’est-à-dire si et seulement si \[\left|\begin{array}{cc} -b& -b' \\ a & a'\end{array}\right|=-ba'+ab'=0.\] Cette dernière quantité étant égale à \(\left|\begin{array}{cc}a & a' \\ b & b'\end{array}\right|\), la première partie de la proposition est démontrée. Si par ailleurs \(D\) et \(D'\) ne sont pas parallèles, alors \(ab'-ba'\neq 0\) et, d’après la proposition [systeme_cramer_2] page [systeme_cramer_2], le système \(\begin{cases} ax+by&=c \\ a'x+b'y&=c'\end{cases}\) possède une unique solution: \[\begin{cases} x&=\dfrac{b'c-bc'}{ab'-ba'} \newline y&=\dfrac{ac'-a'c}{ab'-ba'}\end{cases}.\]

Cercles

Définition

(Cercle).
Le cercle de centre \(\Omega\) et de rayon \(R\geqslant 0\) est l’ensemble des points du plan situés à une distance \(R\) de \(\Omega\): \[\left\{M\in \mathscr P:~~\left\|\overrightarrow{\Omega M}\right\|=R \right\}\] Ce cercle sera noté \(\mathscr C(\Omega,R)\).

Équation cartésienne d’un cercle

Dans tout ce paragraphe, on considère un repère orthonormal \(\mathscr R (O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\).

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(Équation cartésienne d’un cercle).
Une équation cartésienne du cercle de centre \(\Omega \left|\begin{matrix} \alpha \newline \beta \end{matrix} \right.\) et de rayon \(R>\geqslant 0\) est donnée par \[(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=R^2\] ou sous forme développée \[\boxed{x^2+y^2-2\alpha x-2\beta y+\alpha^2+\beta^2-R^2=0}\] Réciproquement, si un sous-ensemble du plan satisfait une telle équation, alors ce sous-ensemble est le cercle de rayon \(R\) et de centre \(\Omega\).
(1).
Appelons \(\mathscr C\) le cercle de centre \(\Omega \left|\begin{matrix} \alpha \newline \beta \end{matrix} \right.\) et de rayon \(R>0\).

Supposons que \(M\left(x,y\right)\) est un point de \(\mathscr C\). Alors \(\left\|\overrightarrow{\Omega M}\right\|=R\) et élevant au carré \(\left\|\overrightarrow{\Omega M}\right\|^2=R^2\) ce qui s’écrit \((x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=R^2\).

Réciproquement, si les coordonnées de \(M\left(x,y\right)\) vérifient \((x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=R^2\) alors \(\left\|\overrightarrow{\Omega M}\right\|^2=R^2\) et \(\left\|\overrightarrow{\Omega M}\right\|=R\). Par suite \(M\in \mathscr C\).
L’équation \(x^2+y^2-2\alpha x-2\beta y + \gamma=0\) représente:
  1. L’ensemble vide si \(\alpha^2+\beta^2-\gamma<0\).

  2. Le cercle de centre \(\Omega(\alpha,\beta)\) et de rayon \(R=\sqrt{\alpha^2+\beta^2-\gamma}\) si \(\alpha^2+\beta^2-\gamma \geqslant 0\).

Remarquons que \[x^2+y^2-2\alpha x-2\beta y + \gamma=(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2-\alpha^2-\beta^2+\gamma.\] Si \(\alpha^2+\beta^2-\gamma<0\), cette équation cartésienne ne peut avoir de solution. Sinon, on applique la proposition précédente.

Représentation paramétrique d’un cercle

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(Représentation paramétrique d’un cercle).
Soit \(\mathscr R (O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath})\) un repère orthonormal. Le cercle de centre \(\Omega(\alpha,\beta)\) et de rayon \(R>0\) admet comme représentation paramétrique \[\boxed{\begin{cases} x&=\alpha+R\cos \theta \\ y&=\beta+R\sin \theta \end{cases}, ~~~~\theta\in \mathbb{R}}\] (Ce qui signifie que \(M\in\mathscr C(\Omega,R)\Leftrightarrow \exists ~ \theta_0\in \mathbb{R}\begin{cases} x_M&=\alpha+R\cos \theta_0 \newline y_M&=\beta+R\sin \theta_0 \end{cases}\)).
Soit \(M(x_M,y_M)\) tel qu’il existe un réel \(\theta_0\) vérifiant: \[\left\{\begin{matrix} x_M=\alpha+R\cos \theta_0 \\ y_M=\beta+R\sin \theta_0 \end{matrix}\right..\] On vérifie facilement que \((x_M,y_M)\) vérifie l’équation \((x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=R^2\).
Réciproquement, soit \(M(x_M,y_M)\in\mathscr C(\Omega,R)\). Les coordonnées de \(M\) vérifient \((x_M-\alpha)^2+(y_M-\beta)^2=R^2\). Posons \(a={\scriptstyle x-\alpha\over\scriptstyle R}\) et \(b={\scriptstyle y-\beta\over\scriptstyle R}\). Comme \(a^2+b^2=1\), il existe un réel \(\theta_0\) tel que \(a=\cos \theta_0\) et \(b=\sin \theta_0\). Donc \[\left\{\begin{matrix} x_M=\alpha+R\cos \theta_0 \newline y_M=\beta+R\sin \theta_0 \end{matrix}\right.\]

Équation polaire d’un cercle passant par l’origine d’un repère

(Équation polaire d’un cercle passant par l’origine d’un repère).
Soit \(\mathscr R (O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath})\) un repère orthonormal. Soit \(\Omega(\alpha,\beta)\). Le cercle \(\mathscr C\) de centre \(\Omega\), passant par \(O\) et de rayon \(R>0\) admet comme équation polaire \[\boxed{r=2\alpha\cos \theta+2\beta \sin \theta}\] ou, de manière équivalente \[\boxed{r=2R\cos(\theta-\theta_0)}\]\((R,\theta_0)\) est un système de coordonnées polaires pour \(\Omega\). Réciproquement, toute équation de la forme \(r=2\alpha\cos \theta+2\beta \sin \theta\) est l’équation d’un cercle de centre \(\Omega(\alpha,\beta)\), passant par l’origine \(O\) de \(\mathscr R\) et donc de rayon \(=\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\).
Soit \(\mathscr C\) un cercle de centre \(\Omega\), passant par \(O\) et de rayon \(R>0\). Comme \(O\) est élément de \(\mathscr C\), \(\mathscr C\) admet une équation cartésienne de la forme: \(x^2+y^2-2\alpha x-2\beta y =0\). Remplaçant \(x\) par \(r\cos \theta\) et \(y\) par \(r\sin \theta\), on obtient: \[\begin{aligned} &&x^2+y^2-2\alpha x-2\beta y =0 \\ &\Longleftrightarrow& r^2-2r(\alpha \cos \theta+\beta \sin \theta)=0\\ &\Longleftrightarrow& \left\{\begin{array}{l} r=2\alpha\cos \theta+2\beta \sin \theta ~~~(1) \\ \textrm{ ou}\\ r=0 ~~~(2)\end{array}\right.\end{aligned}\] La seconde équation admet pour ensemble solution le singleton \(\left\{O\right\}\). La seconde peut être ainsi réduite: si \((R,\theta_0)\) est un système de coordonnées polaires pour \(\Omega\), \(r=2R\cos(\theta-\theta_0)\) est équivalente à \((1)\). Comme le point \(O\) vérifie cette équation (pour \(\theta=\theta_0+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\)), les deux conditions \((1)\) et \((2)\) se résument à \((1)\) \(r=2\alpha\cos \theta+2\beta \sin \theta\) ou encore \(r=2R\cos(\theta-\theta_0)\).
Réciproquement, si un ensemble du plan admet comme équation polaire \(r=2\alpha\cos \theta+2\beta \sin \theta\) alors c’est le cercle de centre \(\Omega(\alpha,\beta)\) et passant par \(O\).

Caractérisation d’un cercle par l’équation \(\protect\overrightarrow{MA}.\protect\overrightarrow{MB}\protect=\protect 0\)

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(Caractérisation d’un cercle par l’équation \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0\)).
Soit \(\mathscr R (O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath})\) un repère orthonormal. Soient \(A(x_A,y_A)\) et \(B(x_B,y_B)\) deux points du plan. Soit \(\mathscr C\) l’ensemble des points \(M\) du plan vérifiant \[\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0.\] Alors \(\mathscr C\) est le cercle de diamètre \(AB\). Une équation de \(\mathscr C\) est donnée par \[\boxed{(x-x_A)(x-x_B)+(y-y_A)(y-y_B)=0}\]
Soit \(I\) le milieu de \([A,B]\). Pour tout point \(M\) du plan : \[\begin{aligned} &&\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0\\ &\Rightarrow & \left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}\right) . \left(\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IB}\right)=0\\ &\Rightarrow &\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{MI}+(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}).\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IA}=0\\ &\Rightarrow &MI^2-IA^2=0\newline &\Rightarrow & IM=IA\end{aligned}\] car \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\). En résumé, si \(M\) est élément de \(\mathscr C\) alors \(IM=IA\), c’est-à-dire \(M\) appartient au cercle de diamètre \(AB\). Réciproquement, si \(M\) est élément du cercle de diamètre \(AB\) alors \(IM=IA\) et remontant les implications précédentes, on montre que \(M\in\mathscr C\).
La précédente proposition est une reformulation du théorème de la médiane vu au collège :Un triangle est rectangle si et seulement si un de ses côté est un diamètre de son cercle circonscrit.

Intersection d’un cercle et d’une droite

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Soient \(D\) une droite et \(\mathscr C(\Omega,R)\) un cercle de rayon \(R>0\).
  1. Si \(d(\Omega,D)>R\) alors \(D\cap \mathscr C=\varnothing\).

  2. Si \(d(\Omega,D)<R\) alors \(D\cap \mathscr C\) est formée de deux points distincts.

  3. Si \(d(\Omega,D)=R\) alors \(D\cap \mathscr C\) est constitué d’un unique point. Si \(M\) est ce point, on dit que \(D\) est la tangente au cercle \(\mathscr C\) au point \(M\). \(M\) est le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur \(D\).

Soient \(D\) une droite et \(\mathscr C(\Omega,R)\) un cercle de rayon \(R>0\) et de centre \(\Omega\).
  1. Si \(d(\Omega,D)>R\), il ne peut y avoir de point d’intersection entre \(\mathscr C\) et \(D\).

  2. Si \(d=d(\Omega,D)<R\), nommons \(H\) le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur \(D\). Pour tout point \(M\) de \(D\), \(\Omega M^2+HM^2=\Omega M^2\), soit \(d^2+HM^2=\Omega M^2\). \(M\) est élément de \(\mathscr C\cap D\) seulement si on a à la fois \(\Omega M^2=R^2\) et \(HM^2=\Omega M^2-d^2\), c’est-à-dire seulement si \(HM^2=R^2-d^2\). Supposons que \(\overrightarrow{u}\) oriente la droite \(D\), il y a alors deux possibilités pour \(M\), elles sont données par \[\overrightarrow{HM}=\pm\sqrt{ R^2-d^2}\overrightarrow{u}\] Réciproquement, les deux points \(M\) données par cette dernière égalité sont bien éléments de \(\mathscr C\cap D\).

  3. Supposons enfin que \(d(\Omega,D)=R\). Cette distance est celle entre \(\Omega\) et \(H\), le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur \(D\). \(H\) est donc élément de \(\mathscr C\cap D\) et c’est le seul élément possible de cette intersection.

(Équation cartésienne de la tangente à un cercle).
Soit \(\mathscr R (O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath})\) un repère orthonormal. Soit \(\mathscr C\) un cercle de centre \(\Omega(\alpha,\beta)\) et de rayon \(R>0\). \(\mathscr C\) admet comme équation cartésienne : \[x^2+y^2-2\alpha x-2\beta y+\gamma=0\] (avec \(\gamma= \alpha^2+\beta^2 -R^2\)). La tangente à \(\mathscr C\) en \(M_0(x_0,y_0) \in \mathscr C\) admet pour équation cartésienne \[\boxed{x_0 x+y_0 y -\alpha(x_0+x)-\beta(y_0+y)+\gamma=0}\]
Un vecteur normal à la tangente à \(\mathscr C\) en \(M_0\) est donné par \(\overrightarrow{\Omega M_0} \left|\begin{matrix} x_0-\alpha \\ y_0-\beta \end{matrix} \right.\). Un point \(M \left|\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right.\) est élément de cette tangente si et seulement si \(\overrightarrow{\Omega M_0}.\overrightarrow{M_0M}=0\). On obtient ainsi une équation cartésienne de la tangente à \(\mathscr C\) en \(M_0\): \[(x_0-\alpha)(x-x_0)+(y_0-\beta)(y-y_0)=0~~~(*)\] Soit en développant: \[x x_0+y y_0-\alpha (x-x_0)-\beta (y-y_0)-x_0^2-y_0^2=0\] Comme \(M_0 \left|\begin{matrix} x_0 \newline y_0 \end{matrix} \right.\) est élément de cette tangente, \(x_0^2+y_0^2-2\alpha x_0-2\beta y_0+\gamma=0\) et l’équation cartésienne de départ \((*)\) est équivalente à \[x_0 x+y_0 y -\alpha(x_0+x)-\beta(y_0+y)+\gamma=0\]

En résumé

  1. Il convient d’avoir bien compris :

    • l’utilité du produit scalaire

    • l’utilité du déterminant

    et les différentes méthodes pour les calculer.

  2. Il faut savoir effectuer des changements de repère, vous en aurez un grand besoin en physique.

  3. Il faut savoir calculer rapidement et sans hésitation :

    • l’équation cartésienne

    • l’équation paramétrée

    • l’équation polaire

    d’un cercle et d’une droite.

  4. il faut aussi savoir calculer la distance d’un point à une droite et l’aire d’un parallélogramme dans le plan avec le déterminant.

  5. Au terme de ce chapitre, vous devrez savoir organiser des calculs afin de pouvoir les effectuer dans des conditions optimales.


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    [ID: 58] [Date de publication: 31 octobre 2021 09:47] [Catégorie(s): Le cours de SUP ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]




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