Toutes ces difficultés viennent, selon moi, de ce que l'on n'aurait jamais dû nommer la proposition composée $P \implies Q$ une implication, ni la lire "$P$ entraîne $Q$ " ou "$P$ implique $Q$ ", mais seulement l'appeler un conditionnel, et la lire exclusivement "si $P$ alors $Q$ ".
Mais comment lutter contre une tradition vieille de plus de deux m
@Chaurien, quiz, c'est le titre que j'ai donné au fil, et non moi, GG ! "quiz" est un mot anglais qui n'a pas vraiment d'équivalent français et qui signifie devinette, jeu radiophonique, etc.
Par exemple : quiz ou encore.
@Marco, pour le 2), oui. (L'auteur écrit simplement $(x^{x^5})^5 = 100^5$, $(x^5)^{(x^5)} = 10^{10}$, $x = \sqrt [5]{10}$ (avec un argum
Bonjour,
Plusieurs chaînes Youtube proposent des petits problèmes mathématiques. Difficile d'y résister lorsqu'on est amateur ! Mais les algorithmes de Youtube sont ainsi conçus que si l'une de ces vidéos nous est proposée un jour par hasard et qu'on la visionne, d'autres du même genre nous sont proposées, etc. Il y a un effet "boule de neige", c'est inf
Bonjour,
$x^{\sqrt x} = \frac{1}{2}$, donc $( \sqrt x ^ \sqrt x) ^ 2 = \frac{1}{2}$, donc $( \sqrt x ^ \sqrt x) = \frac{1}{\sqrt 2}$
Posons $y = \frac{1}{\sqrt x}$
$y ^ \frac{1}{y} = \sqrt 2$, donc $y ^ 2 = 2 ^ y$.
À part la solution triviale $y = 2$, on a la solution $y = 4$ de la fameuse équation $x^y = y^x$.
D'où les solutions $x = \frac{1}{4}$ et $x = \frac{1}{16}$.
P.S. En rac
Dans le même ordre d'idées, j'avais vu une fois :
Un demi-groupe (magma associatif) non vide est un groupe ssi l'équation $axb = c$ possède (au moins) une solution :
Soit $a$ un élément et $f$ tel que $afa = a$.
Alors $e = af$ est le neutre :
Soit $x$ un élément quelconque et $u$ tel que $eue = x$.
On a $xe = euee = eue = x$
et $ex = eeue = eue = x$.
Les équations $ex�
Bonjour,
cela m'a sans doute échappé parce que j'ai lu le fil en diagonale, mais il ne me semble pas avoir vu mentionné le fait que l'aire du triangle $A'B'C'$ vaut sept fois celle du triangle $ABC$.
(sur la figure de pappus,
$\sigma AB'C' = \sigma AC'C = 2$ $ \sigma ABC$
$\sigma BC'A' = \sigma BA'A = 2$ $ \sigma ABC$
$\sigma CA
@topopot, j'ai encore pensé à un autre argument (qui fait appel au schéma de remplacement, mais non à l'axiome de la réunion), plus "conventionnel" et qui te conviendra peur-être mieux :
Je note $A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$ la différence symétrique de $A$ et $B$.
Je choisis $h$ hors de $ \{x \Delta y \mid x, y \in X \}$ et je considère l'ensem
Salut Thierry, je considère $X = \{$ $ \{ \varnothing \}, \{ \{\varnothing\}, \{\varnothing, \{\varnothing\}\}\}$ $ \}$ et je choisis $h = \varnothing$ qui n'appartient pas à $X$.
Es-tu sûr que $\{h\} \times X$ convient, à savoir, est disjoint de $X$ ?
Par ailleurs, je n'ai rien supposé à propos de $X$, qui est un ensemble quelconque.
$\cup X$, c'est la réunion de éléments de X, autrement dit l'ensemble des éléments des éléments de $X$, dont l'existence est garantie par l'axiome de la réunion. $\cup \cup X$, c'est donc l'ensemble des éléments des éléments des éléments de $X$.
Tu choisis $h$ hors de $\cup \cup X$, c'est-à-dire $h$ tel que $h \notin \cup \cup X$.
Si l'on avait $(h, x
Penser que les mathématiques sont l'étude de suites finies de symboles soumises à des règles, c'est comme penser que la littérature, c'est l'étude des mots et de la grammaire et que des oeuvres telles "La Comédie Humaine" de Balzac ou "L'Argent" de Zola y participent !
Voici le début d'un texte qui me semble compréhensible ... même par moi, c'est tout dire !
Il s'agit de "Logique moderne, fasc 3" de Jean-Blaise Grize, éd. Gauthier-Villars, 1972, dont le rabat de couverture précise qu'il s'adresse principalement aux étudiants et aux chercheurs en sciences humaines, et non aux mathématiciens !
À noter que ce que j'en co
La lettre $x$ n'a pas le même rôle dans "$x \mapsto x^3-x+1$" que dans "$x,y$ désignent ci-après des nombres réels; on a $x^2 - y^2 =(x-y)(x+y)$".
C'est un auxiliaire grammatical dans le premier exemple et un nom propre dans le deuxième.
Je ne suis pas d'accord. L'emploi de locutions telles que "auxiliaire grammatical", dont on ne sait pas trè
Un exemple trivial de démonstration foireuse de "Un ensemble $A$ voisinage de tous ses points est un ouvert".
Par définition du voisinage, tout point x de $A$ appartient à un ouvert contenu dans $A$. Notons-le $O_{x}$. On a alors immédiatement que $A$, qui coïncide avec la réunion des $O_{x}$, est un ouvert.
Il faut évidemment définir $O_{x}$ comme réunion des ouverts contenant $
OK, Médiat, merci.
Ceci dit, le bouquin de Krivine est intitulé "Théorie des ensembles" (pour l'édition Cassini), et non "Théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel".
Dans l'introduction, il dit ".. Il y a beaucoups de systèmes d'axiomes possibles pour la théorie des ensembles, mais le consensus s'est finalement réalisé sur l'un des plus puissa
Merci Médiat pour les réponses, il faut que j'y réfléchisse.
1) N'est-ce pas l'inverse ? ZF au 2ème ordre n'est-elle pas plus forte que ZF au 1er, tous les théorèmes de celle-ci (1er) étant théorèmes de celle-là (2ème) ?
2) Tu parles de choix, je ne comprends pas parce que je n'ai jamais vu de près l'élaboration de la logique du 2ème ordre. Mais parmi ces choix
@Médiat, je n'ai pas dû bien m'exprimer. Je reformule en quelques questions précises.
1) Est-il vrai qu'il existe une théorie de ZF du second ordre ?
2) Si oui, est-il vrai que tous ses modèles sont isomorphes, et donc ce n'est pas le cas que certains aient des entiers finis avec un nombre infini d'éléments au sens intuitif, et d'autres pas ?
3) Est-il vrai
@Julia Paule, les entiers sont finis, mais peuvent (dans certains univers) avoir un nombre infini d'éléments au sens intuitif !
Voilà comment je me figure la chose. C'est intuitif, peu rigoureux, et peut-être même faux (?), mais j'ai très peu de connaissances en logique, et les participants plus compétents me corrigeront et t'expliqueront mieux.
Un ordinal limite est un or
@l, je profite de ce que le sujet a été évoqué pour poser une question qui m'intrigue depuis longtemps.
Je dois sans doute me tromper, mais il me semble que les considérations relativement paradoxales telles que les entiers (éléments d'$\omega$) peuvent avoir un nombre infini d'éléments, ou encore, une partie, au sens intuitif, d'un ensemble n'est pas nécessairement une
Dans le secondaire on trouve régulièrement des phrases du type « la droite $d$ appartient au plan $(ABC)$ ».
C'est quand même un sacré relâchement verbal, sachant qu'il suffit de dire que la droite $d$ est contenue dans le plan $(ABC)$ pour s'exprimer correctement !
@Julia Paule,
"Donc on pourrait dire qu'un plan donné, ensemble de ses points, est aussi ensemble de ses droites,... "
Cela ne serait guère raisonnable. Dans un exposé traditionnel de géométrie (exprimé dans la théorie des ensembles), on introduit le plan $P$ comme un ensemble dont on on appelle points les éléments, et un ensemble $D$ de parties de $P$ appellées droites, et v
@Martial, oui, disons que c'est la preuve du lemme qui n'est pas évidente. Quand je l'avais cherchée par mes propres moyens, j'avais considéré la chaîne $\emptyset \subset h(\emptyset) \subset h(h((\emptyset)) \subset ...$ et pensé naïvement et à tort que sa réunion était un point fixe. J'étais resté bloqué. L'astuce, c'est de prendre la réunion de TOUS les ense
Lemme (Knaster-Tarski) : Une application $h : \mathcal{P} (X) \rightarrow \mathcal{P}(X) $ croissante pour l'inclusion possède un point fixe.
Soit $K = \{ x \in \mathcal {P} (X) \mid x \subset h(x) \} $ et soit $ s = \bigcup K $ la borne supérieure de $K$.
Pour tout $x$ dans $K$, on a $ x \subset s $ et $ x \subset h(x) \subset h(s) $. Ainsi $h(s) $ est un majorant de $K$ et $s \su
@Médiat, je suis d'une viellie école avec de "vieux" livres comme par exemple "Algèbre générale" de Kurosh, où de russe en français, "ordre partiel était ce qu'on appelle maintenant "ordre", et "ordre linéaire", ce qu'on appelle "ordre total". Donc pour moi, dans mon esprit, "partiel" n'était pas pas antinomique
@Julia Paule, je ne sais pas si cela t'apporte quelque chose, mais à propos du rapport entre relation d'ordre partiel et inclusion, comme l'a souvent mentionné CC, toute relation d'ordre partiel dans un ensemble est plongeable (i.e. est isomorphe à une partie de) dans l'ensemble de ses parties muni de la relation d'inclusion.
OK, CC, mais tu n'as pas véritablement répondu à mon interrogation : est-ce que la démarche que j'ai esquissée est viable (i.e. est-ce qu'elle ne conduit pas rapidement à des contradictions rédhibitoires ?) et est-ce qu'elle permet de se dispenser des axiomes de ZF, ce qui serait en soi très intéressant, non ?
