Merci, Pierre, d'avoir confirmé mes dires et de les avoir complétés !
C'est vrai, je n'avais pas remarqué que l'axe radical de deux de mes cercles est tangent au troisième, en le sommet du triangle par lequel il passe ... et que par conséquent, le cercle orthogonal dont tu parles est le cercle circonscrit au triangle ...
Bien cordialement, JLB
Merci, Jean-Louis, de votre appréciation !
Il y a certainement de l'orthologie là-dedans, mais je m'avoue bien incapable d'en tirer le début d'un raisonnement ...
Merci, Pierre, d'avoir remis ce problème particulier dans son contexte général, même si à ce niveau-là, je perds totalement pied ! Mais ce n'est pas grave ...
Bien cordialerment
$JLB$
Bonsoir à tous,
Je propose encore cette figure à vos réflexions ... Mais peut-être en connaissez-vous déjà une semblable ?
Soit un triangle $ABC$, ses trois médiatrices, et les points d'intersection $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$, $C_1$ et $C_2$ des médiatrices et des droites portant les côtés, autres que les milieux de ceux-ci, et définis comme dans la discussion que j'ai initiée il y
Bonne nuit à tous
Soit $ABC$ un triangle, tel que le côté $AB$ soit plus petit que $BC$, lui-même plus petit que $CA$. Les "points de sortie" des médiatrices sont alors $A_1$, point d'intersection de $CA$ et de la médiatrice de $BC$, $B_1$, point d'intersection de $BC$ et de la médiatrice de $CA$, et $C_1$, point d'intersection de $CA$ et de la médiatrice de $AB$.
Les
Bonsoir à tous,
Je viens d'essayer de voir ce qu'il en est avec le point de Nagel et le point de Gergonne : cela ne marche pas !
Bien cordialement $JLB$
Edit : et pour le point de Lemoine non plus ...
Il semble donc que ce soit une propriété spécifique des médiatrices du triangle ...
Bonsoir Yan,
Je propose "scissienne" sur le modèle de "clivienne" et "cévienne" : je pense qu'il ne faut pas hésiter à forger des néologismes, pourvu qu'ils soient, primo, immédiatement compréhensibles d'après leur définition, dans le contexte de leur emploi, et secundo, rationnellement construits du point de vue linguistique.
Pourquoi pas "sc
Bonjour Yan, bonjour à tous,
Puisque que "cleaver" a pour équivalent français "clivienne", et que "to split" n'a pas, contrairement à "to cleave", de terme français "bon ami", je proposerais d'utiliser un dérivé d'un autre synonyme de "couper", mais moins équivoque ou moins usuel que "diviser", par exemple de l
Bonsoir, Rescassol,
Il est certain que quand le point $P$ est suffisamment loin du triangle, les perpendiculaires issues de $P$ aux droites portant les côtés du triangle ne traversent pas celui-ci ...
Mais dans mon esprit, pour la situation des points d'intersection, la distinction intérieur/extérieur des côtés est importante, car je m'intéresse précisément à ces points d'inters
Merci beaucoup, Rescassol !
Mais je regrette de devoir te dire que la figure ci-dessus ne correspond pas à mon énoncé : les deux cercles $(O_1)$ et $(O_2)$ que tu as tracés ne correspondent pas à ce que j'ai défini: avec un point $P$ à l'intérieur du triangle comme tu l'a figuré, le cercle $(O_1)$ passe par les trois points situés à l'intérieur des côtés du triangle, ce qui n
Bien cher Pappus,
D'abord merci de relancer cette discussion !
Je viens de la relire depuis le début, et je m'aperçois que je ne sais pas ce qu'est "l'anticomplément" d'un point dans un triangle ... et je n'ai pas mon Lalesco sous la main ...
Quant à ta dernière figure, je commence tout juste à l'étudier ...
Bien amicalement $JLB$
PS : Il n'
Bonjour Jean-Louis,
Je vous avoue que j'espérais que vous en auriez une dans votre "encyclopédie du triangle" !
Mais si c'est un problème original, vous pourriez peut-être le proposer sur un autre site, pour voir ?
Je vais essayer de voir ce que ça donne avec le centre du cercle inscrit, serait-il sur la sextique indiquée par Rescassol ?
Bien cordialement $JLB$
Edit 1 :
Bonjour Jean-Louis,
Pour commencer à réfléchir, je me permets de proposer ces figures ...
On peut peut-être répondre en considérant des arcs capables ?
Mais peut-être faut-il commencer par deux carrés ...
Bien cordialement, $JLB$
Merci beaucoup, Rescassol !
Y a-t-il des points intérieurs au triangle, autres que le centre du cercle circonscrit, pour lesquels on retrouve ce résultat ?
Avec un point P intérieur au triangle, les trois perpendiculaires abaissées de ce point sur les côtés du triangle, et les six points définis comme dans mon premier message ?
Je n'ai pas l'impression qu'il en existe, quand je
Bonjour à tous,
Je vous propose ce problème.
Soit $ABC$ un triangle. La médiatrice de $BC$ coupe les droites $AB$ et $AC$ en les points $A_1$ et $A_2$ qui se trouvent respectivement à l'intérieur et à l'extérieur du cercle circonscrit à $ABC$, et les points $B_1$, $B_2$, $C_1$ et $C_2$ sont définis de même, respectivement sur les médiatrices de $AC$ et de $AB$. Soit $O_1$ et $O_2$ l
Bonsoir Bouzar, bonsoir à tous,
Voici ma solution à ta première question :
Puisque $I$ est le centre du cercle inscrit, $CI$ et $BI$ sont les bissectrices des angles en $C$ et $B$ du triangle $ABC$ qui est isocèle en $A$. Les points $M$ et $N$ sont donc les milieux des arcs $(AC)$ et $(AB)$, et les arcs $(BN)$, $(NA)$, $(AM)$ et $(MC)$ sont tous égaux à la moitié de l'arc $(AC)$. Il en rés
Merci, Pappus, Pierre et Rescassol, de tous ces développements et ces calculs !
J'aurais été bien en peine de trouver ce lieu compliqué !
Pappus, tu es tout excusé, bien entendu !
Pierre, STP, qu'appelles-tu "points guduliques" ?
Bien amicalement JLB
Bonsoir à tous,
Soit un triangle $ABC$, un point $P$ mobile sur la $A$-bissectrice intérieure, et les points $A'$, $B'$ et $C'$, symétriques de $P$ par rapport à $BC$, $CA$ et $AB$, respectivement.
D'après les figures ci-dessous, il semble qu'il existe exactement quatre positions particulières de $P$ pour lesquelles la conique passant par les cinq points $B$, $C$, $A�
Bonjour, Pappus, Bouzar, Rescassol, Jean-Louis,
Et merci de vous être intéressés à cette n-ième redite !
En fait, en reprenant ma figure après avoir envoyé mon premier message, je me suis aperçu, en ajoutant la $A$-hauteur de $ABC$, que celle-ci coupe le segment $B_1C_1$ en un point $A_2$ tel que $ADA_1A_2$ est un parallélogramme (réminiscence de lecture du Lalesco), puisque les côtés $AA_2$ et
Bonsoir à tous
Soit $ABC$ un triangle, $A_1B_1C_1$ le triangle médial de $ABC$, $D$ le point d'intersection de $B_1C_1$ et de la médiatrice de $BC$, $E$ et $F$ définis de même.
Montrer que les droites $AD$, $BE$ et $CF$ sont concourantes en $P$.
La droite $AD$ coupe $BC$ en $Q$, les points $R$ et $S$ sont définis de même : montrer que $A_1$, $B_1$, $C_1$, $Q$, $R$ et $S$ se trouvent su
Pappus, serait-ce cette discussion ?
Mais en la survolant, je n'y ai pas vu de message de Poulbot ...
Ou celle-ci : ?
Non, c'est plutôt celle-ci, , je crois bien !
Amicalement, JLB
PS : Mais ces trois discussions méritent amplement de remonter à la surface !!!
Pappus, je ne sais pas vraiment, mais je suppute que Jean-Louis a voulu indiquer le domaine où doit se trouver $M$ pour que le problème soit soluble ...
Bien amicalement, JLB
Bonsoir à tous,
Je ne crois pas que ce soit ce qu'attend Jean-Louis, mais on peut y arriver à peu près avec Geogebra, en ajustant $P$ "à la souris" pour que le milieu de $PP'$ (en noir) coïncide avec $M$ donné (en bleu, initialement, masqué par le point noir à la fin) ...
Apparemment, pour un point $M$, ce point $P$ est effectivement unique ...
Bon, ceci dit, il faudrait qu
Bien cher Pappus,
J'ai bien vu que tu avais utilisé des mesures algébriques, et j'en ai bien tenu compte dans mon ébauche de rédaction, car j'ai bien fait attention à écrire les segments comme si c'était des vecteurs, toujours dans le sens "de l'origine vers l'arrivée", une fois ce sens défini : par exemple, j'ai bien écrit "AB = DC" et non
