Re: Déménagement du site - IMPORTANT! - 9 months ago

9..8..7..6..5..4..3..2..1..

Re: Topologie du groupe linéaire - 9 months ago

Si $E$ est un Banach alors $B(\mathrm{Id},1)$ ne contient que des inversibles donc $GL(E)$ est ouvert. En dimension infinie il peut exister $u$ et $v$ non inversibles tels que $uv$ soit inversible.

Re: Cette fonction continue n'existe pas - 9 months ago

On ne va quand même pas chanter « femmes des années 1980 ».

Re: Club de maths lycée - 9 months ago

Quelques idées d'activités ne demandant pas ou peu de connaissances : * Exercices du Kangourou * Exercices des concours AMC 8, AMC 10 et AMC 12 (selon le niveau des participants) * Tests AIME (c'est plus difficile que les AMC) * Questionnaires de l'olympiade de mathématique belge * Sujets de la coupe Animath * Regarder ce qui se fait dans d'autres clubs, par exemp

Re: Comment on devient un génie en maths - 9 months ago

Certaines lectures peuvent aider apparemment.

Re: moyenne = instantanée au milieu - 9 months ago

Montrer que pour toute fonction continue $f$ telle que $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ ne dépend que de $\dfrac{a+b}{2}$, la fonction $f$ est un polynôme du second degré.

Re: Polynôme pair - 9 months ago

Il est peut-être plus judicieux de chercher le polynôme dont les racines sont les carrés des racines du polynôme initial. Edit : bon mon message était inutile.

Re: Nouvelle épreuve "écrit 2" au capes de maths - 9 months ago

Pourtant toute réforme devrait évoquer P4.

Re: Comment on devient un génie en maths - 9 months ago

$ $

Re: Fonction à trouver - 9 months ago

J'ai déjà posé la question, et sol y a répondu :

Re: Ce groupe est-il sans torsion ? - 9 months ago

Tu as une inclusion $G\subset D$. Soit $T$ le sous-groupe de $D$ formé par les éléments de torsion. La composée $G\to D\to D/T$ est injective et $D/T$ est divisible sans torsion.

Re: Fonction à trouver - 9 months ago

Oups ce n'est pas ça que je voulais dire. Je prends pour $f$ l'unique fonction telle que $f(x)=d(x,2\Z)$ pour $0\leqslant x\leqslant 2021$ et $f(x+2021)=f(x)+1$ pour tout $x$.

Re: Fonction à trouver - 9 months ago

L'idée a l'air bonne, je n'ai pas vérifié si ça marche mais voici une fonction continue qui semble marcher aussi : $$f(x)=d(x,2\Z)+\left\lfloor \frac{x}{2021}\right\rfloor.$$ Edit : ce n'est pas ça. Je corrige au message suivant. Noter que ça marche si on remplace $2021$ par un nombre impair, mais pas par un nombre pair. D'où la question : Soit $f:\R\to\R$ con

Re: $\cos(r\pi)=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$ - 9 months ago

On a $\cos(2r\pi)=(4k+1)-\sqrt{16k(k+1)}$. On constate que si $\cos\theta = a-\sqrt{b}$ où $a>0$ est un entier impair et $b>0$ est entier qui n'est pas un carré parfait, alors $\cos(2\theta)=a'-\sqrt{b'}$ où $a'=2a^2+2b-1>a$ et $b'=4a^2b$ vérifient des propriétés analogues avec $b'>b$. Or il existe des entiers $n>m>1$ tels que $\cos (2^n r\pi)

Re: Ce groupe est-il sans torsion ? - 9 months ago

L'énoncé a l'air faux pour $D=\Q/\Z$ et $G=\{0\}$.

Re: Fonction à trouver - 9 months ago

$f(n+\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$ pour $n=0,\ldots,2020$ non ?

Re: Fonction à trouver - 9 months ago

$f(x)=\lfloor \frac{x}{2021}\rfloor + x - \lfloor x\rfloor$ devrait faire l'affaire.

Re: Fonction à trouver - 9 months ago

lourrran, ta fonction n'est pas définie en $\frac{\pi}{2}$. Cela dit, il existe beaucoup de solutions non continues, mais pas de solution continue (hmm pas sûr).

Re: Cours internet erreur ? - 9 months ago

QuoteOShine J'ai trouvé un cours en ligne de niveau collège. C'est un cours écrit par un collégien ?

Re: Peut-être trop ambitieux - 9 months ago

QuoteHéhéhé Pas d'accord, une fois avoir cherché la correction permet aussi d'apprendre des choses. Oui mais très peu. Disons que regarder la correction de 5-10% des exercices que l'on cherche apporte un plus, mais ce n'est pas indispensable non plus. Si une série d'exercices est trop difficile on peut en choisir une plus facile, et une fois celle-ci résolue, la série

Re: Problème pour modifier un message - 9 months ago

J'ai réussi à modifier le message. Curieusement ce n'était pas à cause de l'accent circonflexe mais à cause de deux apostrophes ailleurs dans le texte.

Re: Peut être trop ambitieux - 9 months ago

La correction des exos ne sert à rien. C'est le fait de les chercher, et d'en résoudre certains, qui est formateur.

Re: Série absolument convergente mais non conv - 9 months ago

Généralisation : dans tout espace vectoriel normé non complet il existe une série absolument convergente non convergente. Voici les étapes : 1) Soit $(x_n)$ une suite de Cauchy non convergente. Il existe une suite extraite $(y_n)$ telle que $||y_n-y_{n+1}||<2^{-n}$ pour tout $n$. 2) La série $\sum (y_n-y_{n+1})$ répond à la question.

Re: Clôture faible d'une base orthonormée - 9 months ago

Re: Clôture faible d'une base orthonormée - 9 months ago

En fait c'est plus simple que ça. $U\cap B$ est un singleton. Si $e_n\ne e_m$ appartiennent à $U\cap B$ alors $||x_0||^2\geqslant |\langle x_0,e_n\rangle|^2 + |\langle x_0,e_m\rangle|^2 > \frac{1}{2}||x_0||^2+\frac{1}{2}||x_0||^2 = ||x_0||^2$, impossible. Maintenant, dans un espace séparé, si un point $x_0$ est dans l'adhérence d'une partie $B$ et si un voisinage $U$ de $x

Re: Clôture faible d'une base orthonormée - 9 months ago

Montrer que $U\cap B$ est fini, puis conclure.

Re: Progresser en math/physique (CPGE - ENS) - 9 months ago

Pour les erreurs de calcul, tout le monde en fait mais il faut trouver des moyens de contrôler le résultat : est-il raisonnable, est-il vrai dans des cas particuliers simples,... ?

Re: Blagues mathématiques - 9 months ago

Ce que je dis c'est qu'une homothétie de rapport $\lambda>0$ multiplie les aires par $\lambda^2$. Il appelle ça l'analyse dimensionnelle mais on n'est pas obligé d'appeler ça comme ça.

Re: Quiz - 9 months ago

@gai requin : pour le cas continu, oui, relis le message de Chaurien Pour $\#\{a_1+\cdots+a_j<m\}$ cela revient à $\#\{a_1+\cdots+a_{j+1}=m-1\}$, c'est une "combinaison avec répétition".

Re: Quiz - 9 months ago

\begin{align} E &= \sum_{j\geqslant 0} P(X_1+\cdots+X_j<m) \\ &= \sum_j\left(\frac{1}{n}\right)^j\#\{a_1+\cdots+a_j<m\} \\ &= \sum_j\left(\frac{1}{n}\right)^j\binom{j+m-1}{m-1} \end{align} On reconnaît une série entière et on trouve le résultat annoncé. Pour $n=m$ grand, dépasser $n$ en faisant des sauts dans $\{0,\ldots,n-1\}$ revient à dépasser $1