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Re: Exemple suite de fonctions - 9 months ago
Par exemple sur $[0,1]$, la suite $(f_n)$ définie par, pour tout $n>0$, $f_n(x)=0$ si $x>1/n$, $f_n(x)=n^2x$ si $0\leq x \leq 1/(2n)$, et $f_n(1/(2n)+x)=n/2-n^2x$ si $0\leq x \leq 1/(2n)$. Alors $(f_n)$ tend vers la fonction nulle ponctuellement mais pas uniformément. L'intégrale de $f_n$ est $1/4$, mais l'intégrale de la limite de $(f_n)$ est $0$.by marco - Analyse
Re: Décomposition - 9 months ago
Merci Gerard0 et Fin de partie. En effet, je n'ai pas pensé à écrire que la suite était supposée strictement croissante.by marco - Arithmétique
Décomposition - 9 months ago
Bonjour, Soit $n$ un entier strictement positif, et $a_0, a_1, \dots, a_{n-1}$ des entiers positifs, tels que, si $I,J \subset \{0, \dots, n-1\}$, alors $\sum_{i \in I} a_i=\sum_{j \in J} a_j$ implique $I=J$. Est-ce que $a_{n-1} \geq 2^{n-1}$ ? J'ai montré que $\sum_{i=0}^{n-1} a_i \geq 2^n-1$. Merci d'avance.by marco - Arithmétique
Re: Un anneau quotient - 9 months ago
Suivant l'idée de Maxtimax, on peut considérer l'algèbre $B=\Q /(X^2,Y^2, XY,Y-ZX,X-ZY)$ (on suppose donc $Z=T$ et $X^2=Y^2=XY=0$). $\{X^2,Y^2,XY,Y-ZX,X-ZY\}$ est une base de Groebner pour l'ordre lexicographique tel que $Z>Y>X$. Soit $U$ un inversible de $B$, alors on peut écrire $U=P(Z)+Q(Z)Y$, car $X=YZ$ et $Y^2=0$. Soit $V$ son inverse sous la forme $V=R(Z)+S(Z)Y$, aloby marco - Algèbre
Re: Somme des chiffres de $10^{2046} - 2046$ - 9 months ago
$A=\underbrace{66\dots666}_{1990~ \mathrm{fois}}=\frac{6}{9} \times (10^{1990}-1)$. Donc $A^2=\frac{4}{9} \times (10^{1990}-1) \times(10^{1990}-1)=4 \times \underbrace{111 \dots 11}_{1990 ~ \mathrm{fois}} \times (10^{1990}-1)=\underbrace{444 \dots 44}_{1990 ~ \mathrm{fois}}\times 10^{1990} - \underbrace{444 \dots 44}_{1990 ~ \mathrm{fois}}$ Donc $A^2$ est le nombre constitué de $1989$ foisby marco - Arithmétique
Re: Curseur des nombres premiers - 9 months ago
Poirot: comment l'as-tu interprété ? Il y a bien une case par entier relatif. Je ne comprends pas. Autre hypothèse: Si on commence à $5$, on va vers la droite, donc on décrit tous les nombres supérieurs à $5$. Si on commence à $7=4+3$, on va vers la gauche, donc on décrit tous les nombres inférieurs à $7$. Donc la réunion est bien $\Z$.by marco - Arithmétique
Re: Curseur des nombres premiers - 9 months ago
Peut-être, je n'ai pas compris, mais si on commence à $3$, on va vers la gauche, donc on n'atteindra pas $4$. Si on commence à $5=4+1$, on va vers la droite, donc on n'atteindra pas $4$. À moins de considérer que si on part de $7=4+3$, on va vers la gauche en traversant le $5=4+1$ sans changer de direction.by marco - Arithmétique
Re: Déterminant et changement de corps de base - 9 months ago
Merci pour ta réponse.by marco - Algèbre
Re: Déterminant et changement de corps de base - 9 months ago
Bonjour Paul, est-ce qu'il y a une autre démonstration du lemme utilisé dans Bourbaki ?by marco - Algèbre
Re: Déterminant et changement de corps de base - 9 months ago
Peut-être il faut prendre la limite de la suite des sous-espaces engendrés par les $B_1,\dots, B_k$ qui est bien de dimension au plus $n$.by marco - Algèbre
Re: Déterminant et changement de corps de base - 9 months ago
Merci Pea. Mais pourquoi si la réponse à la question est oui, tout sous-espace de matrices commutant deux à deux est de dimension au plus $n$ ?by marco - Algèbre
Re: Un théorème de Paul Broussous - 9 months ago
Soit $A_1, \dots, A_k$ des matrices à coefficients complexes qui commutent. Existe-t-il des suites de matrices $B_1(n), \dots, B_k(n)$ diagonalisables qui commutent (c'est-à-dire $B_i(n)B_j(n)=B_j(n)B_i(n)$) et telles que $B_i(n)$ tend vers $A_i$, lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ ?by marco - Algèbre
Re: Un théorème de Paul Broussous - 9 months ago
Peut-on se placer sur $\C$ et utiliser la densité des matrices diagonalisables ? Je ne sais pas car il faut que les matrices commutent.by marco - Algèbre
Re: Un théorème de Paul Broussous - 9 months ago
On peut démontrer le lemme utilisé dans la preuve de Bourbaki et cité par Paul Broussous comme ceci. Par exemple pour $n=2$. Soit $K$ un corps, soit $A,B,C,D$ des matrices de $M_d(K)$ qui commutent deux à deux. Soit $M=\begin{pmatrix} A&B \\ C& D \end{pmatrix}$. Si on se place dans la clôture algébrique de $K$, alors $A,B,C,D$ sont trigonalisables dans une même base. $A'=PAP^{-1},by marco - Algèbre
Re: OIM 2021 - 9 months ago
Bravo YvesM. Il y aussi égalité si $x_1=-x_2 \neq 0$ et $x_3= \cdots=x_n=0$.by marco - Concours et Examens
Re: "Il est facile de" 2 - 10 months ago
Si $J=(Y^2, b)$, alors $(X,Y)=(b)$ dans $B=\C/(X^2,Y^2)$. Donc $X=Mb$, $Y=Nb$ dans $B$, et $b=uX+vY+wXY$ dans $B$. On peut supposer $M=\alpha+\gamma X+\delta Y$ et $N=\lambda +\mu X+\nu Y$, avec $u,v,w, \alpha, \dots, \nu \in \C$. Donc $X=Mb=\alpha u X+ \alpha v Y+\alpha w XY+\gamma v XY+\delta u XY$ $(1)$ Et $Y=Nb=\lambda u X+ \lambda v Y+ \lambda w XY+ \mu v XY+ \nu u XY$ $(2)$ Donc $by marco - Fondements et Logique
Re: "Il est facile de" 2 - 10 months ago
Pour la 1159, si on considère $A=\C/(X^2, Y^3)$, alors tout idéal a au plus $2$ générateurs. Mais si on considère l'idéal de $A$, $J=(X,Y)$ et $a=Y^2$, alors $J$ ne s'écrit pas $J=(Y^2,b)$. À vérifier.by marco - Fondements et Logique
Re: Polynômes invariants sous permutation - 10 months ago
Pour $n=3$, tu peux prendre $X_1^2X_2+X_2^2X_3+X_3^2X_1$.by marco - Algèbre
Re: Cherche matrices - 10 months ago
La matrice $\begin{pmatrix} 1&1\\0 &1\end{pmatrix}$ n'est pas diagonalisable sur $\C$, car sinon elle serait égale à $I_2$ (c'est un exercice classique). Ensuite, la matrice $\begin{pmatrix} 0&-1\\1 &0\end{pmatrix}$ n'est pas diagonalisable sur $\R$. Donc on fait un mélange des deux.by marco - Algèbre
Re: Cherche matrices - 10 months ago
Pour le 2), on peut choisir la matrice $$\begin{pmatrix} 1 & 1 &0 &0 \\ 0 & 1 & 0&0\\ 0&0&0&-1\\ 0&0&1&0 \end{pmatrix}$$by marco - Algèbre
Re: $E=h \nu$ pour proton = trois quarks - 11 months ago
Merci YvesM. Soit une particule de masse $m$, d'énergie $E$, et de quantité de mouvement $p$, et vérifiant la relation que tu as écrite $E^2=m^2c^4+p^2c^2$, est-ce que cette particule n'est pas décrite par une onde $e^{\pm i (\omega t -k x)}$ avec $E= h \nu= \overline{h} \omega$ et $p= \overline{h}k=\frac{h}{\lambda}$ ? (J'ai mis $\pm$ car je ne me souviens pas si c'est $+$ oby marco - Mathématiques et Physique
$E=h \nu$ pour proton = trois quarks - 11 months ago
Bonjour En mécanique quantique, une particule est une onde. Si l'onde est de fréquence $\nu$, la particule a une énergie $E=h\nu$. Si ceci est vrai pour un quark $q_i$ de fréquence $\nu_i$, il a une énergie $E_i=h \nu_i$. Donc, le proton étant composé de trois quarks, il a une énergie $E=E_1+E_2+E_3=h(\nu_1+\nu_2+\nu_3)$. Est-ce que la fréquence de l'onde du proton est la somme desby marco - Mathématiques et Physique
Re: Matrice aléatoire inversible - 11 months ago
@Alban_: en effet, pour $n=6$, si il y a moins de six $1$, il y a forcément une colonne de zéros, donc la matrice sera non inversible. Ce n'est pas symétrique. Par exemple, pour $n=2$, il y a $2$ matrices avec deux $1$ et $4$ matrices avec trois $1$, et sinon aucune matrice inversible avec zéro, un ou quatre $1$. J'ai essayé d'écrire le programme en Python, mais je n'y sby marco - Probabilités, théorie de la mesure
Re: Antécédent d'une matrice par l'exponentielle - 11 months ago
Merci Jean Lismonde. Mais, l'exercice était de trouver une matrice à coefficients réels.by marco - Algèbre
Re: Matrice aléatoire inversible - 11 months ago
Bonjour Alban_, J'ai écrit un programme qui fait le calcul pour $n=6$ en $18$ secondes. Je peux te le transmettre sur le forum, si ça t'intéresse. Le programme utilise le fait que, si on associe à chaque colonne $c_i$ le nombre entier dont la colonne est l'écriture en binaire, pour calculer les matrices inversibles, on peut supposer $c_1<c_1 <\dots <c_n$ et multiplier lby marco - Probabilités, théorie de la mesure
Re: Antécédent d'une matrice par l'exponentielle - 11 months ago
Ah, oui, bravo !by marco - Algèbre
Re: Antécédent d'une matrice par l'exponentielle - 11 months ago
Oui, effectivement. On peut aussi poser la même question pour $A=\begin{pmatrix} -1 & a &b&c\\ 0 & -1 &d&e\\ 0&0& -1 &f \\ 0&0&0 &-1\end{pmatrix},$ selon les valeurs de $a,b,c,d,e,f \in \R$ Je ne connais pas la réponse.by marco - Algèbre
Re: Antécédent d'une matrice par l'exponentielle - 11 months ago
Si $A=e^B$, alors $1=\det A=e^{Tr(B)}$. $B$ est à coefficients réels, donc $Tr(B)=0$, donc la somme des valeurs propres de $B$ est nulle. Donc soit les valeurs propres de $B$ sont distinctes, soit elles sont toutes les deux nulles. Si elles sont distinctes alors $B$ est diagonalisable, donc $A=e^B$ aussi, ce qui n'est pas le cas. Si elles sont toutes les deux nulles, alors $B=P\begin{pmatby marco - Algèbre
Re: Isomorphisme groupes orthogonaux - 11 months ago
Soit $A$ la matrice du premier produit scalaire, $B$ celle du deuxième. On cherche une matrice $P$ telle que $^tPBP=A$. Par exemple, on choisit $P=\sqrt{B}^{-1}\sqrt{A}$ ($A$ et $B$ sont symétriques définies positives). Soit $O$ une matrice orthogonale pour le produit scalaire $A$, alors $^tOAO=A$. Soit $U=POP^{-1}$, alors $^tUBU=B$, donc l'isomorphisme est $O \mapsto POP^{-1}$by marco - Algèbre