Re: Transformée de Fourier - 8 months ago

Si $f$ est continue, bornée et de dérivée bornée, est-ce qu'elle est la transformée de Fourier d'une mesure ?

Re: Transformée de Fourier - 8 months ago

Merci pour vos réponses.

Re: Produit tensoriel d'espaces de fonctions - 8 months ago

Tout élément $e$ du produit tensoriel s'écrit sous la forme $\sum_{i=1}^n f_i \otimes g_i$ pour un certain $n$ (qui n'est pas unique et qui dépend de $e$). @mehdi: c'est valable pour tous espaces topologiques $X$ et $Z$.

Transformée de Fourier - 8 months ago

Bonjour, Est-ce que toute fonction $f$ continue (resp. continue et bornée) de $\R$ dans $\R$ est la transformée de Fourier d'une mesure, c'est-à-dire qu'il existe $\mu$ une mesure sur $\R$ telle que $f(x)= \int_{k=- \infty}^{k= + \infty} e^{ikx} d \mu$ pour tout $x \in \R$ ? Merci d'avance. PS: peut-être note-t-on plutôt $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{ikx}d\mu (k)$...

Re: Produit tensoriel d'espaces de fonctions - 8 months ago

Par "topographique", veux-tu dire "topologique" ? Si oui, alors si les $f_i$ sont continues de $X$ dans $\R$ ou $\C$, et les $g_i$ continues de $Z$ dans $\R$ ou $\C$, alors la fonction de $X \times Z$ dans $\R$ ou $\C$ qui à $(x,z)$ associe $\sum_{i=1}^n f_i(x)g_i(z)$ est aussi continue (pour la topologie produit sur $X \times Z$).

Re: Question de traduction - 8 months ago

$\R^+$ n'est pas un sous-anneau de $\R$ et pourtant il est clos par multiplication et addition et contient $1$.

Re: Produit tensoriel d'espaces de fonctions - 8 months ago

De plus, l'application ci-dessus est linéaire et injective. En effet, dans l'écriture de l'élément du produit tensoriel $\sum_i f_i \otimes g_i$, on peut supposer que la famille $(g_i)$ est libre dans $C(Z)$. Donc, si la fonction $(x,z) \mapsto \sum_i f_i(x)g_i(z)$ est la fonction nulle, alors, pour tout $a \in X$, la fonction $z \mapsto \sum_i f_i(a) g_i(z)$ est la fonction nul

Re: Produit tensoriel d'espaces de fonctions - 8 months ago

On a une application $C(X) \otimes C(Z) \rightarrow C(X \times Z)$ qui à $\sum_{i=1}^n f_i \otimes g_i$ associe $(x,z) \mapsto \sum_{i=1}^n f_i(x)g_i(z)$.

Re: Isomorphisme et automorphisme - 8 months ago

En dimension infinie, cela ne me semble pas possible. Par exemple si $E=\R^{(\N)}$, $F=E$ et $G=\{ (x_n) \in E ~ |~ x_0=0\}$. Alors le décalage vers la droite est un isomorphisme $f$ de $F$ sur $G$. Mais il ne peut exister d'isomorphisme $g$ de $E$ sur $E$ tel que $g _{|F}=f$, car, comme $E=F$, donc $g=f$ et $f$ n'est pas surjectif de $E$ dans $E$. Le décalage vers la droite est $f:

Re: sub-lattice - 8 months ago

Soit $A=B=\{1,2,3,4\}$ avec $\leq_2$ qui est l'ordre usuel sur $B$. Et $\leq_1$ tel que $1 \leq_1 2 \leq_1 4$ et $1 \leq_1 3 \leq_1 4$. Alors la réponse à 1) est non. $$ \xymatrix{ &4\\ 2\ar@{-}&&3 \ar@{-}\\ &1\ar@{-}\ar@{-} } $$

Re: Théorème de dénombrement - 9 months ago

$P \cup I= \omega \times 2$.

Re: Théorème de dénombrement - 9 months ago

Soit $\alpha$ l'union des ordinaux de la collection obtenue en considérant tous les bons ordres sur $\omega$. Si $\alpha$ peut s'obtenir comme bon ordre sur $\omega$, alors il est dénombrable, donc $\alpha +1$ aussi, donc $\alpha+1$ peut s'obtenir comme bon ordre sur $\omega$. Par définition de $\alpha$, on a alors $\alpha+1 \subset \alpha$. Contradiction.

Re: Une équation avec l’indicateur d’Euler - 9 months ago

Lourrran: $a=4$, $b=2$ est solution du problème initial, c'est-à-dire $2^a+(a-\phi(a)-1)!=a^b+1$. En effet, $\phi(4)=2$, et donc on a bien $2^4+(4-2-1)!=4^2+1=17$.

Re: Une équation avec l’indicateur d’Euler - 9 months ago

Re: Une équation avec l’indicateur d’Euler - 9 months ago

Démonstration plus courte: 1) Si $a$ est divisible par deux nombres premiers distincts, c'est-à-dire que $a$ ne s'écrit pas $a=p^k$ avec $p$ premier: alors $a=p^kc$ avec $p$ premier, $p \wedge c=1$ et $c>p$. $p, 2p, \dots, (p^{k-1}c-1)p$ ne sont pas premiers avec $a$, et sont strictement plus petits que $a$. De plus, $c$ aussi n'est pas premier avec $a$ et est strictement pl

Re: Une équation avec l’indicateur d’Euler - 9 months ago

Ma démonstration est à revoir. Peut-être quelqu'un aura trouvé d'ici là...

Re: Une équation avec l’indicateur d’Euler - 9 months ago

Si $a$ est impair et $a=pc$ avec $p$ le plus petit premier divisant $a$ et $c \geq p$. Alors $p,2p, \dots , (c-1)p$ ne sont pas premiers avec $a$ et sont $<$ à $a$, donc $a-\phi(a)-1 \geq c-1$. Donc $(c-1)!$ divise $(a-\phi(a)-1)!$. Si $c$ n'est pas premier, alors $c\geq p^2$ et on doit pouvoir montrer que $a$ divise $(c-1)!$ donc $(a-\phi(a)-1)!$. Donc $2^a=2^a+(a-\phi(a)-1)!=a^b+1=

Re: Une équation avec l’indicateur d’Euler - 9 months ago

$a-\phi(a)-1$ compte le nombre d'entiers $x$ compris entre $1$ et $a-1$, tel que $x$ n'est pas premier avec $a$. Si $a$ n'est pas premier, $a=pc$ avec $p$ le plus petit premier divisant $a$, et $c>1$, donc $p$ et $2p$ ne sont pas premiers avec $a$. Si $c>2$, $1<p<2p<a$, on a alors $a-\phi(a)-1 \geq 2$. (Si $c=2$, alors comme $p\leq c$, $p=2$, et $a=4$, et on retrou

Re: Une équation avec l’indicateur d’Euler - 9 months ago

Il y a une autre solution $a=4$, $b=2$.

Re: Déterminant - 9 months ago

En effet, on peut écrire $(I_m+\lambda_1A_1)(I_m+\overline{\lambda_1}A_1) \dots (I_m+\lambda_nA_n)(I_m+\overline{\lambda_n}A_n)=I_m+\sum_{k=1}^n ((\lambda_k+\overline{\lambda_k})A_k+|\lambda_k|^2A_k^2)$. On choisit $2 \mathrm{Re} (\lambda_k)=x_k$, et $|\lambda_k|^2=y_k$, ce qui est possible si $y_k=|\lambda_k|^2\geq (\mathrm{Re}( \lambda_k))^2=\frac{x_k^2}{4}$.

Re: Équation diophantienne - 9 months ago

Par ordinateur, il n'y a pas solution pour $1 \leq a \leq 22$. On le voit en considérant l'équation modulo $47$. Sauf pour $a=9$, où il faut considérer l'équation modulo $139$, et sauf pour $a=17$, où il faut regarder l'équation modulo $277$. Par exemple, pour $a=1$, modulo $47$, $x^{23}=-1,0,1$ et de même pour $y^{23}$, donc il n'y a pas de solution.

Re: éléments idempotents de $Z/12Z$ - 9 months ago

Idempotent, c'est pour la multiplication: $4 \times 4= 16=4$, et $9 \times 9=81=9$.

Re: Déterminant - 9 months ago

Par récurrence sur la dimension $m$ de l'espace. Soit $A_1, \dots, A_n$ des matrices telles que, si $i<j$, alors $A_i A_j=0$. Soit $p$ le plus grand $i$ tel que $A_i \neq 0$. Soit $\lambda$ une valeur propre (éventuellement complexe) non nulle de $A_p$, alors il existe $x\neq 0$ telle que $A_px= \lambda x$, donc, pour tout $i<p$, $A_iA_px=\lambda A_ix$, donc, comme $A_i A_p=0$, et $\l

Re: Catégorie des corps de nombres - 9 months ago

Bonjour, Soit $K$ et $L$ des extensions galoisiennes de $\Q$, si on a un morphisme $i$ de $K$ dans $L$, alors $i$ est injectif et si $\phi$ est un automorphisme de corps de $L$, alors $\phi(i(K))=i(K)$, donc on peut associer à $i$ un morphisme $F(i)$ de $\mathrm{Gal}(L/ \Q)$ dans $\mathrm{Gal}(K/\Q)$ par $F(i)( \phi)=i^{-1} \circ \phi \circ i$. $i$ est injectif car c'est un morphism

Re: Max d’une somme - 9 months ago

Pour $n=2p$, le maximum est aussi réalisé pour la permutation $\tau$ de $\Z/(2p\Z)$ $x \mapsto x+p$. Je n'ai pas compris pourquoi le problème revient à maximaliser $\sum (k-\sigma(k))^2$.

Re: Problème sur les matrices inversibles - 9 months ago

Bonjour, Le problème avait déjà été posé par Etanche il y a quelques mois et résolu par Pea: voici le lien.

Re: Vers l’infini et au-delà - 9 months ago

Non, on ne peut pas, car le rationnel $q=0,21212121\dots$ ne serait pas dans la liste. En effet, si c'est le $i$-ème rationnel de la liste, sa $i$-ème décimale est égal à $i$ modulo 2. Or, ce n'est pas le cas de $q$.

Re: Décomposition - 9 months ago

Peut-être on peut généraliser la conjecture d'Erdös. Soit $b$ un entier supérieur ou égal à $2$, soit $a_0, \dots, a_n $ des entiers positifs, tels que l'application $f$ qui à $(c_i)_{i=0,\dots, n} \in \{0, 1, \dots, b-1\}^{n+1}$ associe $\sum_{i=0}^n c_i a_i$ est injective. Alors $\sum_{i=0}^n \frac{1}{a_i} < \frac{b}{b-1}=\sum_{k =0}^{\infty} \frac{1}{b^k}$. Et aussi, pour

Re: Décomposition - 9 months ago

Merci PierreB.

Re: Décomposition - 9 months ago

Le fait qu'il y ait unicité de l'écriture est dans les hypothèses. La question est: est-ce que alors $ a_{n-1} \geq 2^{n-1}$ ?