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Analyse réelle et complexe ; Analyse fonctionnelle ; EDO et EDP
Re: problème aux limites - 7 years ago
Bonjour, soit y1(x) une fonction d'un intervalle I dans IR vers IR qui est une solution quelconque, mais non nulle. Alors z = a y est aussi solution pour pour a dans IR. Donc on a une infinité de solutions, toutes les fonctions z(x) = a y1(x) pour a quelconque.by YvesM - Analyse
Re: Égalité fonctionnelle ardue - 7 years ago
Bonjour, Je reprends: @Domi, l'utilisation d'un point de symétrie permet de conclure que f est identiquement nulle sur IR. Voici la démonstration : Soit f admettant un point (a, b) de symétrie dans le plan (y=f(x), x), alors, pour tout x dans IR, f(x+a) + f(a-x) = 2b. Merci @jandri pour sa correction. En x=0, 2f(a) = 2b, donc f(x+a) + f(a-x) = 2f(a) En x vers +inf, f(1) + f(by YvesM - Analyse
Re: Égalité fonctionnelle ardue - 7 years ago
Bonjour, Merci. On reprends : f(x+a) + f(a-x) = 2b par définition de la symétrie en x=0, 2f(a) = 2b, donc f(x+a) + f(a-x) = 2f(a) En x vers +inf, f(1) + f(1) = 2 f(a) donc f(a) = f(1) Le point de symétrie est (a, f(a)=f(1)). On ne peut pas spécifier le point a car, pour la fonction nulle, qui est une solution, tout a dans IR convient. Donc, comment conclure ?by YvesM - Analyse
Re: problème aux limites - 7 years ago
Bonjour, Voici ma façon de démontrer que ce problème admet une infinité de solutions ou une solution unique, sans calculer y(x). On pose z(x) = a y(x) pour tout x et pour a dans IR. Et on démontrer facilement que si y est solution, alors z est solution. C'est vrai pour l'équation différentielle, et c'est vrai pour les conditions à limites car 0 x a = 0. Donc il existeby YvesM - Analyse
Re: Égalité fonctionnelle ardue - 7 years ago
Bonjour, @Domi, l'utilisation d'un point de symétrie permet de conclure que f est identiquement nulle sur IR. Voici la démonstration : Soit f admettant un point (a, b) de symétrie dans le plan (y=f(x), x), alors, pour tout x dans IR, f(x-a) + f(-(x-a)) = 2b En x=a, on a f(0) + f(0) = 2b, donc b=f(0)=0. f est donc impaire par rapport à la droite verticale en x=a car f(x-a) = - fby YvesM - Analyse
Re: Égalité fonctionnelle ardue - 7 years ago
Bonjour, @Domi, si tu penses qu'il existe une (ou une infinité de) solution non nulle sur IR, merci d'en donner un seul exemple. (C'est plus facile que de fournir une démonstration.) J'ai pour ma part vu plusieurs démonstrations fausses. Donc, je maintiens que seule la fonction identiquement nulle sur IR est solution. La démonstration tiens en quelques lignes et fait iby YvesM - Analyse
Re: Goldbach - 7 years ago
Bonjour, méchante erreur de logique : le fait que 2 n soit différent de p+q n'implique pas (mais pas du tout) que 2 n soit plus grand que tout p+q ou plus petit que tout p+q...by YvesM - Arithmétique
Re: Théorème de Laguerre - 7 years ago
Bonjour, Oui la relation est valable pour tout x. Et ça ne marche pas... mais pas pour la raison que tu donnes car : Si le discriminant négatif te gêne, alors réécrit l'équation que tu obtiens en faisant apparaître (x+a)2 + b >= 0, et tu obtiendras la relation que j'ai indiquée. C'est de l'arithmétique pure... le fait que les coefficients ne sont pas constants ne chby YvesM - Algèbre
Re: Égalité fonctionnelle ardue - 7 years ago
Bonjour @Dom, c'est plus clair avec la démonstration. Comment passes-tu de la ligne 3 à la ligne 4 : f(N+1) = f(1) + ... ? Je ne peux pas suivre cette étape. Ceci étant dit, comme démontré plus haut : f(x+1) = f(1) + somme de k=0 à +inf de f(1/(x-k)) en x=0, on a somme de k=0 à +inf de f(-1/k) = 0 Et donc, en effet si f est de signe constant, alors nécessairement f(-1/k) = f(1/(1+kby YvesM - Analyse
Re: Egalité fonctionnelle ardue - 7 years ago
Bonjour, effectivement, la démonstration de A = f(+inf) = f(-inf) = f(1) = 0 n'est pas simple. Elle s'obtient comme tu proposes, à partir de : f(x+1) = f(1) + somme de k=0 à +inf de f(1/(x-k)) en x=0, on a : somme de k=0 à +inf de f(-1/k) = 0 Mais f(x+1) = f(x) + f(1/x) en x=-k donne f(-k+1) - f(-k) = f(-1/k) et on a une somme téléscopique à gauche, qui aboutit à f(1) = 0. Tantby YvesM - Analyse
Re: Egalité fonctionnelle ardue - 7 years ago
Bonjour, C'est une relation intéressante ; écrire f(x+1) comme somme infinie de f(1/(x-i)) à partir de i = 0. Dans ton écriture, tu as écrit k alors que l'indice de sommation est i, mais on le corrige aisément. Tu peux aussi directement passer à la limite quand k tends vers l'infini, car f(x-k) tends vers f(-inf) = A = f(1). On a donc : f(x+1) = f(1) + somme de i=0 à +inby YvesM - Analyse
Re: Théorème de Laguerre - 7 years ago
Bonjour, le problème que tu poses n'est pas facile... mais voici les indications. J'espère que tu pourras suivre (car mes écritures mathématiques sont juste ce que je peux taper sur le clavier). On part de ton inégalité en f, f' et f'' >= 0 et de l'équation différentielle en p f" + q f' + r f = 0. On écrit f" avec q, p, r, f, et f' grâce àby YvesM - Algèbre
Re: Égalité fonctionnelle ardue - 7 years ago
Bonjour @Dom, je suis curieux de ta méthode. Par ailleurs, on connaît une série de termes strictement positifs qui converge vers zéro sans que ce soit une contradiction. Par example, la suite u de IN* dans IR telle que u(n) = 1/n. Ce problème est ardu parce que la solution f=0 sur IR est évidente, et possède toutes sortes de propriétés, alors presque toutes les conditions et restrictions queby YvesM - Analyse
Re: Égalité fonctionnelle ardue - 7 years ago
Bonjour, @TCHAPAIEV, toutes les contributions sont les bienvenues. La question plus générale que tu as posée en considérant F = f - A est celle des symétries éventuelles de l'égalité fonctionnelle: pour tout x, f(x+1) = f(x) + f(1/x). Pour a dans IR* et b, c dans IR, posons f(x) = a g(b x) + c. Alors on a, après quelques lignes : g(x+1) = g(x + 1 - b) + g(b^2 / (x + 1 - b)) + c/a, poby YvesM - Analyse
Re: Défi seconde - 7 years ago
Bonjour, pour expliquer les choses dans la vie courante, on prends rarement des variables. sur un exemple, pourquoi pas dire : Monsieur M pouvait acheter, par son salaire, pour 100 euro de bien l'année dernière. Cette année, les prix ont augmentés de 12%, de sorte que le même bien vaut 112 euro. Dans le même temps, son salaire a augmenté de 22% et il peut acheter, par son salaire, pour 1by YvesM - Algèbre
Re: Défi Synthèse - 7 years ago
Bonjour, tu dois persévérer. Il s'agit de trouver l'aire d'un carré et l'aire d'un triangle. C'est à ta portée. Donc écrit sur la figure, AM = x, donc l'aire du carré est f(x) = x^2. Puis d'aire d'un triangle et base x hauteur divisée par 2. Base = MB = AB - BM = 10-x, hauteur = AP = AM = x, donc g(x) = (10-x) x / 2. Comme par hasard, le tableuby YvesM - Algèbre
Re: Egalité fonctionnelle ardue - 7 years ago
Bonjour, @TCHAPAIEV, l'énoncé dit que f est continue, pas qu'elle est périodique. De plus, tu écris: F = f - A est solution de l'équation fonctionnelle, si f l'est avec A = lim f(+inf). C'est faux, car si f est solution, alors F = f-A ne l'est pas (nécessairement). En effet, F(x+1) = F(x) + F(1/x) + A. Il faut donc que A soit nul. C'est bien le cas (jeby YvesM - Analyse
Re: Égalité fonctionnelle ardue - 7 years ago
Bonjour TCHAPAIEV, l'énoncé de le précise pas. Cette propriété se démontre. Par exemple, en prenant l'équation pour x tendant vers 0, et comme f est continue, alors limite f(x+1) en 0 est f(1), celle de f(x) est f(0) et donc la différence f(1) - f(0) = A est réelle et finie. Cette différence est, par définition, égale à la limite de f(1/x) quand x tends vers 0. Donc la limite de f(xby YvesM - Analyse
Re: Égalité fonctionnelle ardue - 7 years ago
Bonjour, J'en conviens : il y a abus de langage. Formellement on ne peut pas écrire 1/x pour x = 0. Mais l'équation fonctionnelle permet de donner un sens précis et de définir limite f(1/x) en 0 et puis de prolonger f par continuité. f étant continue, les limites à droite et à gauche sont égales.by YvesM - Analyse
Re: Problème démonstration proba - 7 years ago
Bonjour, Lorsque tu écris E(X) = y1q1 + ... je pense que tu voulais écrire E(Y). De plus, tu confonds la variable aléatoire Y et la valeur qu'elle prends lorsque tu écris Y = a xi + b. Tu devrais écrire Y = aX + b, ou yk = a xk +b. En évitant ces "détails" tu devrais arriver à la démonstration. Ceci étant dit, puisque tu définis yk = a xk + b, cela signifit que la valeur dby YvesM - Analyse
Re: Egalité fonctionnelle ardue - 7 years ago
Bonjour, Je ne crois pas. En prenant l'équation pour x tendant vers 0, et comme f est continue, alors limite f(x+1) en 0 est f(1), celle de f(x) est f(0) et donc la différence f(1) - f(0) = A est réelle et finie, et donc f(1/x) = A en x=0. Et cette relation définie f dans R tout entier.by YvesM - Analyse
Égalité fonctionnelle ardue - 7 years ago
Bonjour, Voici une égalité fonctionnelle sur laquelle je travaille depuis des semaines : Soit f une fonction continue de R dans R telle que : pour tout x, f(x+1) = f(x) + f(1/x). Je pense pouvoir démontrer que f est nécessairement la fonction identiquement nulle sur R. Ma démonstration est basée sur le théorème classique : toute fonction périodique de R dans R et admettant une limite (fiby YvesM - Analyse
Re: Fonction à trouver - 7 years ago
Bonjour, merci de ta patience. C'est très clair maintenant grâce à la définition d'epsilon. La solution de l'inégalité est donc démontrée pour tout a et b, réels positifs incommensurables dont l'un est < 1 et l'autre > 1.by YvesM - Analyse
Re: Valeur d'une limite - 7 years ago
Bonjour, Wolfram Alpha trouve le bon résultat pour l'entrée : sum (sum Harmonic(n) / j^3 for n=1...(j-1)) for j=2...inf et se plante avec la forme initiale de cette somme.by YvesM - Analyse
Re: Fonction à trouver - 7 years ago
Bonjour, Peux-tu m'aider à comprendre pour quel intervalle sur x cette dernière relation f(x) <= x f(1) est-elle valable ? Comment as-t'on conclu que f(x) = x f(1) sur R+ ? De mon côté, je trouve que comme y = 1 - ux >= 0, alors 0 <= x <= 1/u, avec u = a^m b^n. Puis f(yx) <= x f(y) avec y = 1/x, donne f(1) <= f(y) / y avec 0 <= u <= y. Cette relation esby YvesM - Analyse
Re: Fonction à trouver - 7 years ago
Bonjour, Si on ne suppose pas la continuité de f, alors même le problème restreint à une égalité f(ax + by) = a f(x) + b f(y), qui se ramène à l'équation de Cauchy f(x+y) = f(x)+f(y) n'a pas de solution "simple" dans R+. En effet, Cauchy s'obtient en remarqant que x = y = 0 implique f(0) = 0, puis en prenant x = 0 et y = 0 pour trouver f(ax) = a f(x) et f(by) = b f(by YvesM - Analyse
Re: calcul intégral - 7 years ago
Bonjour, Comme signalé plus haut, la convergence en 0 se démontre facilement en prenant un équivalent. La convergence à l'infini, comme signalé plus haut, se démontre par une intégration par partie, en intégrant de epsilon à A. Elle fait apparaître 1/x^2 et un terme trigonométrique au numérateur. Attention à ce que le terme ait la bonne constante pour converger en epsilon (tendant versby YvesM - Analyse
Re: Ma règle est... courte - 7 years ago
Bonjour, Effectivement, Pappus apporte une solution, la voici. Soit A et B les points à relier par une droite à l'aide d'une règle trop courte. On commence par placer deux points A' et B' de façon à ce que le segment soit constructible avec la règle (trop courte), et que celui-ci soit à peu près parallèle à la droite (AB). On choisit également A' et B' de façoby YvesM - Géométrie
Re: Fonction à trouver - 7 years ago
Merci. Alors, nous pouvons utiliser le théorème des gendarmes pour les suites. Si une suite u(n) est encardrée par v(n) et w(n), par v(n) <= u(n) <= w(n), avec u(n) et v(n) deux suites convergentes, alors u(n) est convergence. Reprenons avec l'équation de l'énoncé, prise pour y = x, on a f(x) <= l f(x/l) où l = 2/(racine (3) + 5) < 1. Par récurrence, f(x) <= l f(x/lby YvesM - Analyse