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Analyse réelle et complexe ; Analyse fonctionnelle ; EDO et EDP
Re: Une intégrale nulle - 7 years ago
@gerbane0, il faut toujours vérifier les calculs. $G(0) = 0$ par définition. @Fin de partie, bravo pour $I_3$ mais il manque un facteur $2$, non ?by YvesM - Analyse
Re: Une intégrale nulle - 7 years ago
Bonjour, pour $I_3$ je fais une intégration par partie pour faire apparaître $(2 \arctan(x) - \pi/2) 2x / (1-x^2)$ mais on n'arrivera à rien... on peut aussi écrire que $1/(1+x^2)$ est la partie réelle de $1/(1+ix)$ pour abaisser d'un degré le dénominateur, on peut aussi développer en série entière tous les dénominateurs... mais on n'arrive à rien... si tu peux trouver une expressiby YvesM - Analyse
Re: Précision sur une intégrale double. - 7 years ago
Bonjour, pas avec les distributions de Dirac. Dans le cas continu, $1_{x=y}$ n'est pas la fonction qui vaut $1$ si $x=y$, mais pourrait être la distribution de Dirac qui détermine la contribution des cas $x=y$. Si c'est vraiment $1$, alors l'intégrale est nulle. Pour moi ça dépends des circonstances du problème (on a un qu'un extrait). @pierrreg nous le dira...by YvesM - Analyse
Re: Précision sur une intégrale double. - 7 years ago
Bonjour Je ne suis pas d'accord, je pense que le terme pour $x=y$ ne doit pas être ignoré. Pour ma part, j'aurais écris, en me rappelant les distributions de Dirac : $\iint dx dy f_1(x) f_2(y) (1/2-x) 1_{x=y} = \int dy f_2(y) (\int dx f_1(x) (1/2-x) \delta(x-y)) =$ $\quad =\int dy f_2(y) (f_1(y) (1/2-y)) = \int dy f_1(y) f_2(y) (1/2-y)$ A moins que cette dernière expression soiby YvesM - Analyse
Re: Une intégrale nulle - 7 years ago
Bonjour, Est-ce que vous validez aussi mon intégrale sur le contour en demi-cercle ? On aurait deux démonstrations. @Fin de partie, Je confirme tes calculs avec les cinq intégrales et on a: $I = {\ln}^2{(2)} I_1 + \ln{(2)} I_2 - 2 \ln{(2)} I_3 + I_4 - I_5$ (*) Mais, alors que l'on trouve facilement : $I_1 = \pi/2$ $I_2 = -4 C$ avec $C$ constante de Catalan Les intégrales $I_3by YvesM - Analyse
Re: Une intégrale nulle - 7 years ago
@Fin de partie, Il manque le carré de intégrale (qui est prise au carré) mais c'est le même résultat car elle est nulle. Pour Fubini, je ne suis pas un expert... mais je comprends que comme les fonctions $u\mapsto \frac{\ln{(u)}}{1+u^2}$ et $v\mapsto \frac{\ln{(v)}}{2+u^2 + v^2}$ (pour tout $u$) sont définies et continues sur $$ avec $a>0$ et $A > a$, alors on peut intégrer toutesby YvesM - Analyse
Re: Une intégrale nulle - 7 years ago
Bonjour @marco, WolframAlpha indique aussi que les résidus sont nuls (voir fichier joins), pourtant je suis d'accord avec ton calcul pour $k=1$, moi j'avais fait pour $k=2$ et donc j'avais $I-I = 0$. Tu obtient $2 I + i \pi B = 0$. Donc il y a quelque chose qui est faux. Soit les pôles, soit les résidus, soit les intégrales le long du contour. Si tu trouves dis le moi !by YvesM - Analyse
Re: Une intégrale nulle - 7 years ago
Bonjour, @marco, je dois faire une erreur dans les résidus mais où ? $f(z) = z \frac{e^z}{1+e^{2z}} \frac{\ln{(2+e^{2z})}}{\sqrt{2+e^{2z}}}$ pour $1+e^{2z} = 0$ on a $z_1 = i \pi/2$ et $z_3 = i 3\pi/2$ et pour $2+e^{2z}=0$ on a $z_2 = \ln{(2)}/2 + i \pi/2$ et $z_4 = \ln{(2)}/2 + i 3\pi/2$ Donc pour $k=1$ $z_1$ et $z_2$ sont dans le rectangle qui sert de contour. Mais, ma définition duby YvesM - Analyse
Re: Une intégrale nulle - 7 years ago
Bonjour à tous, Je pense avoir trouvé une démonstration et peut-être deux. @marco, je pense avoir trouvé le contour sur $C$ qui mène au résultat, en forme de demi-cercle : -La fonction $f(z)=\frac{\ln{z}}{1+z^2} \frac{\ln{(2+z^2)}}{ \sqrt{1+z^2} }=\ln{(z)} g(z)$ -Le contour est fermé et orienté $\Gamma$ et il est coupé en trois morceaux : -$\gamma_1$ est le segment de droite qui commeby YvesM - Analyse
Re: Égalité fonctionnelle ardue - 7 years ago
Bonjour @remarque, c'est vrai, j'ai oublié et donc mon calcul est faux en $x$ voisin de $1$, je ne peux plus conclure et la règle de l'Hôpital ne résout pas le problème de cette limite.by YvesM - Analyse
Re: Égalité fonctionnelle ardue - 7 years ago
Bonjour, Mon raisonnement était tordu, alors voilà une démonstration plus claire, n'est-ce pas ? $g(x) = x \sin(\pi/x)$ $h^{(n)}(0) = 1$ pour tout $n \geq 1$, par récurrence et évident avec le graphe de $h(x)$ sous les yeux. et comme : $f(x) = \frac{1}{2} g(x) + \sum_{n \geq 1} \frac{1}{2^{n+1}} g(h^{(n)}(x))$ alors : $f(x)/x = \frac{1}{2} g(x)/x + \sum_{n \geq 1} \frac{1}{2^{n+1by YvesM - Analyse
Re: Changement de variables champs de vecteurs - 7 years ago
Bonjour, Je ne sais pas si tu dois imposer une relation quelconque pour démontrer la relation. C'est plutôt une définition générale. Il faut bien comprendre les variables et les fonctions qui en dépendent. Soit $F(x) = F(x_1, x_2, \cdots, x_i, \cdots)$ une fonction quelconque de plusieurs variables $x_i$. On veut changer de variable et passer à $y$ au lieu de $x$, c'est-à-dire qby YvesM - Analyse
Re: Une intégrale nulle - 7 years ago
Bonjour, @marco, sur l'intégrale de contour, je me suis trompé (merci de ta remarque), mais ça ne change rien à la conclusion : Les calculs sont un peu fastidieux, mais on a toujours : -Les intégrales $I$ et $-I$ sont la partie réelle et une autre intégrale forme la partie imaginaire. -Lorsqu'on écrit que se nombre complexe est nul (car la somme des résidus est nulle), la partie rby YvesM - Analyse
Re: Une intégrale nulle - 7 years ago
Bonjour, Cette intégrale est nulle, c'est sûr. Elle a une symétrie et les aires positive et négative se compensent exactement. Il s'agit de trouver les méthodes qui montrent cette symétrie. Pour les intégrales de contour, il faut trouver la bonne fonction à intégrer et le bon contour. Mais ça doit être possible. Pour les méthodes usuelles, il faut séparer l'intégrale en pby YvesM - Analyse
Re: Une intégrale nulle - 7 years ago
Bonjour @gebrane, Merci de cette précision, je ne sais rien de cette formule. Je vais essayer de la comprendre et d'analyser comment elle pourrait s'appliquer dans des cas simples avant de m'attaquer à mon intégrale nulle.by YvesM - Analyse
Re: Une intégrale nulle - 7 years ago
Bonjour @Fin de partie, Avec $I=\int_0^{+\infty} dx \! f(x)$ on a, en suivant ta proposition : $I = \int_0^{1} dx f(x) + \int_1^{+\infty} dx f(x)$ où on a coupé en $x=1$ $I=\int_0^{1} dx f(x) + \int_0^{1} dy \frac{1}{y^2} f(1/y)$ où on a posé $y=1/x$ dans la seconde intégrale $I=\int_0^{\pi/4} dz (1+Tan(z)^2) f(Tan(z)) + \int_0^{\pi/4} dz \frac{(1+Tan(z)^2)}{Tan(z)^2} f(1/Tan(z))$ où on a pby YvesM - Analyse
Re: Égalité fonctionnelle ardue - 7 years ago
Bonjour, j'ai calculé que, si $g'(0)$ existe, alors $f'(0)=g'(0)/2 +g'(1) \sum_{n \geq 1} (h^{(n)})'(0) / 2^{n+1}$ et comme la somme converge (pour $x=0$ alors les $h^{(n)}(0)$ sont des itérations des fractions du premier degré que l'on peut exprimer avec les nombres de Fibonacci... Comme $g'(1) = 0$ par calcul direct, alors $f'(0)$ n'existe pas cby YvesM - Analyse
Re: Une intégrale nulle - 7 years ago
Bonjour, @marco, j'ai essayé mais ça ne donne rien malheureusement. Le changement de variable $x=e^u$ donne $I = \int_R du u \frac{e^u}{1+e^{2u}} \frac{\ln(2+e^{2u})}{\sqrt{2+e^{2u}}}$. Puis on définit l'intégrale sur $C$ avec $\int_\Omega dz z \frac{e^z}{1+e^{2z}} \frac{\ln(2+e^{2z})}{\sqrt{2+e^{2z}}}$ avec un countour fermé orienté $\Omega$. Il y a quatre pôles en $i \pi /2$,by YvesM - Analyse
Re: Une intégrale nulle - 7 years ago
Bonjour, @gebrane0, la fonction $x \mapsto \frac{\ln{(2+x^2)}}{\sqrt{2+x^2}}$ n'est pas monotone, elle croît puis décroît sur $[0, +\infty[$. De plus, j'espère que tu ne suggères pas que $\int_0^{+\infty} dx \frac{\ln(x)}{1+x^2} g(x) = 0$ pour toute $g(x)$ continue et décroissante... @marco, J'ai essayé des intégrales de contour sans y arriver, mais pas avec le changement dby YvesM - Analyse
Re: Integrale double - 7 years ago
Bonjour, quand tu écris $-\sqrt{y^2-2} \leq x \leq +\sqrt{y^2-2}$ dans ton intégrale sur $dx$, tu n'as pas pris en compte que $x \leq y$. Il faut faire un dessin, tracer l'ensemble $A$, placer les points d'intersections et trouver leurs coordonnées, puis écrire l'intégrale double de sorte à couvrir toutes la surface.by YvesM - Analyse
Re: Une intégrale nulle - 7 years ago
Bonjour, J'ai essayé mais $\frac{1}{\sqrt{2+x^2}}$ devient $\frac{y}{\sqrt{2y^2+1}}$ et on ne peut plus comparer les intégrandes.by YvesM - Analyse
Re: Intégrale - 7 years ago
Bonjour, prenons un cas général mais simple : soit une fonction de deux variables $u(a, b)$ et $a$ et $b$ sont également des fonctions et je calcule la différentielle de $u$, alors $du = u_1 da + u_2 db$ où $u_1$ est la dérivée partielle de $u$ par rapport à la première variable. C'est assez clair ? Et donc, par rapport à une variable $z$, $du/dz = u_1 da/dz + u_2 db/dz$. Dans ton exemple, $by YvesM - Analyse
Une intégrale nulle - 7 years ago
Bonjour, Voici une intégrale : $$I = \int_0^{+\infty} dx \frac{\ln(x)}{1+x^2} \frac{\ln(2+x^2)}{\sqrt{2+x^2}}$$ Comment montrer que cette intégrale est nulle ? Elle existe car : - l'intégrande est une fonction définie et continue sur $[0,+\infty[$, - est équivalente à $\ln(x) \ln2/\sqrt{2}$ en $0^{+}$, - est équivalente à $2 \frac{\ln(x)^2}{x^3}$ en $+\infty$. La courbe de l'by YvesM - Analyse
Re: Intégrale - 7 years ago
Bonjour, La formule écrite n'a pas de sens. A gauche, la variable d'intégration est $t$, mais alors la borne supérieure ne peut pas être $t$. Est-ce que $u$ est une fonction d'une variable $u(z)$ ou une une fonction de deux variables $u(t, x)$... Si ça devient clair, alors je pourrais t'aider.by YvesM - Analyse
Re: Estimation d'un vecteur - 7 years ago
Bonjour, Si le vecteur est de dimension $n$ alors l'équation matricielle s'écrit : $X = (x_1, x_2, ..., x_i, ...)$ $M = diag(m_1, m_2, ..., m_i, ...)$ $\sum_{i=1}^{n} m_i x_i^2 = r$ Cette dernière équation ne peut pas être inversée dans le cas général. Des cas particuliers sont possibles, par exemple si $r=0$ et $m_i \geq 0$ pour tout $i$ alors $x_i = 0$ pour tout $i$. Pouby YvesM - Algèbre
Re: Égalité fonctionnelle ardue - 7 years ago
Bonjour, Fonction escalier en $x=1$ avec un pallier de hauteur $c$ dans $\R$. On la définit sur $\R$ tout entier : $f(x)=0$ pour $x<1$ ; $f(x) = c/2$ en $x=1$ ; $f(x)=c$ pour $x>1$. L'équation $f(2) = 2f(1)$ et plus généralement $f(1-x) + f(1+x) = 2f(1)$ sont vérifiées. Le seul problème est en $x=0$. Car $\lim\limits_{+\infty} f(x) = c$ et $\lim\limits_{-\infty} f(x) = 0$by YvesM - Analyse
Re: Égalité fonctionnelle ardue - 7 years ago
@remarque, Ma démonstration est définitivement fausse, ça ne marche pas du tout avec $D(x)=1/x$ car la fonction trouvée ne vérifie pas une propriété nécessaire de $f$ soit : pour tout $x$ dans $R$, $f(1-x) + f(1+x) = 2f(1)$. Le graphe d'erreur montre que l'erreur est nulle sur $[1/2,2]$ que j'interprétais avec erreur comme la démonstration numérique que la fonction convient surby YvesM - Analyse
Re: Égalité fonctionnelle ardue - 7 years ago
@remarque, je n'ai pas voulu ces discontinuités ! et je m'en passerai bien, mais je dois constater qu'elles sont là. C'est la même preuve que @Doraki, la bijection entre $f$ et $G$ est établie sur $R$ tout entier. Dans ma démonstration "Calcul des solutions sur R" si on a $f(x)$ sur $[1/2,2]$ alors on l'a sur $R$ à travers une série de transformations quiby YvesM - Analyse
Re: Égalité fonctionnelle ardue - 7 years ago
Bonjour @remarque et @Doraki, D'abord merci pour votre temps et vos calculs/ démonstrations. Ce problème m'a vraiment donné du travail et le résultat en vallait le coût : les courbes sont superbes ! J'ai fait les calculs trois fois et ma démonstration me semble correcte et les courbes vérifient toutes les propriétés... sauf peut-être une : la continuité et $x=-1$ et en $x=1/2by YvesM - Analyse
Re: Égalité fonctionnelle ardue - 7 years ago
@remarque, merci. Il ne me reste plus qu'à apprendre à écrire un code ! J'ai démontré le résultat pour $f(1/2)=0$ donc là je veux voir la courbe... Si ça marche avec mon code, je donnerai la courbe : sinon, j'oublie se problème pour un temps.by YvesM - Analyse