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Analyse réelle et complexe ; Analyse fonctionnelle ; EDO et EDP
Re: Reconversion - 7 months ago
Étrange question. C'est à chacun de savoir ce qu'il veut/peut faire. Faut-il aussi indiquer le chemin des toilettes ?by Chaurien - Pédagogie, enseignement, orientation
Re: Cette fonction continue n'existe pas - 7 months ago
Bonsoir j__j Pour les caractères qui ne sont pas au clavier, je me suis fait une réserve dans laquelle je vais piocher quand j'en ai besoin : pour á, pour les majuscules comme À ou Ç, pour des jolis «...» au lieu de tes vilains <<...>> , etc. J'ai eu du mal il y a peu avec Alina Sînt$\mathsf{\breve{a}}$m$\mathsf{\breve{a}}$rian, je n'ai peut-être pas trouvé la meilleuby Chaurien - Analyse
Re: Cette fonction continue n'existe pas - 7 months ago
John_john soulève une question ardue mais intéressante avec ses années quatre-vingt sans « s » :by Chaurien - Analyse
Re: Comment on devient un génie en maths - 7 months ago
Oui et pour tout dire ce n'est pas d'un grand intérêt.by Chaurien - Mathématiques et Société
Re: Somme des entiers - 7 months ago
La même méthode s'applique pour trouver la somme des nombres éléments d'un ensemble $E$, de cardinal $n$, pour lequel il existe une constante $c$ telle que : $\forall x \in E, c-x \in E$. Par exemple : somme des nombres de $9$ chiffres en base $\textrm{dix}=9+1$, s'écrivant chacun avec tous les chiffres de $ 1$ à $9$, chaque chiffre pris une fois dans chacun des nombres, par exemby Chaurien - Arithmétique
Re: Système de deux équations à deux inconnues - 8 months ago
Il semble que je me sois mal exprimé : j'ai mis la charrue avant les bœufs. Je reprends à l'endroit. Soit le système : $\left\{ \begin{array}{} ax + by = c \\ a'x+ b'y = c' \end{array}\right.$ On peut supposer que les coefficients $a,b,a',b'$ ne sont pas tous nuls, sans quoi il n'y a rien à faire. Mettons que ce soit $a \neq 0$. On peut résoudre le systby Chaurien - Algèbre
Re: Système de deux équations à deux inconnues - 8 months ago
Attention, je suis de ceux qui contestent et refusent radicalement le pédagogisme, dont je ne rappellerai pas ici la définition. Mais le souci de trouver les meilleures méthodes pour expliquer les notions mathématiques, autrement dit la pédagogie, ceci ne me semble pas devoir être critiqué. Homo Topi, tu ne devrais pas te censurer, et tu pourrais exposer librement tes arguments. Bonne soirée. Fby Chaurien - Algèbre
Re: Système de deux équations à deux inconnues - 8 months ago
Je précise que je suis un adepte de la méthode du pivot, et que je fondais dessus tout mon cours d'algèbre linéaire, depuis que je l'avais découverte dans le traité d'Hoffman et Kunze, Linear Algebra, 1971, que m'avait signalé Thierry Guitard dans les années 1980. J'en ai parlé plusieurs fois sur ce forum. Mais pour un système $2\times 2$, on peut voir dans mon précédentby Chaurien - Algèbre
Re: Système de deux équations à deux inconnues - 8 months ago
J'explique . Définition d'un déterminant $2\times 2$ : $\left\vert \begin{array}{cc} a & c \\ b & d% \end{array}% \right\vert =ad-bc$. Soit le système : $\left\{ \begin{array}{} ax + by = c \\ a'x+ b'y = c' \end{array}\right.$ Le déterminant du système est par définition : $\left\vert \begin{array}{cc} a & b \\ a^{\prime } & b^{\prime }%by Chaurien - Algèbre
Re: Système de deux équations à deux inconnues - 8 months ago
Bonsoir, Mohammed R. Le mieux pour un système linéaire de deux équations à deux inconnues, c'est la résolution par déterminants, qui donne la solution immédiatement... Autrefois on voyait ça en Troisième et ça ne présente aucune difficulté. Attention je ne dis pas qu'il faut faire intervenir la théorie générale des déterminants, mais pour le cas $2 \times 2$, c'est le mieux. Bonby Chaurien - Algèbre
Re: moyenne = instantanée au milieu - 8 months ago
Bisam, oui, cet exercice est lui aussi très ancien, je le posais il y a trente ans. Mieux vaut poser : $f(x)-f(y)=(x-y)g(ax+by)$, ça ne coûte pas plus cher, en supposant bien sûr $(a,b) \neq (0,0)$. Il y a trois cas : $|b| \neq |a|$, $b=-a$, $b=a$. Ensuite, on peut traiter $f(x)-f(y)=(x-y)f'(ax+by)$ comme une application. Variante : $\int_x^y f(t)dt=(y-x)f(ax+by)$.by Chaurien - Analyse
Re: Le verre de Martini - 8 months ago
Je pense que mon interprétation est la bonne. Ce qui fait tout marcher, c'est cette hypothèse inattendue de double dérivabilité, qui simplifie miraculeusement le problème et donne une équation différentielle linéaire du premier ordre toute simple. On trouve comme de bien entendu des hyperboles. D'accord avec Magnéthorax pour trouver que c'est un joli problème. Mais je ne vois pas dby Chaurien - Analyse
Re: Le verre de Martini - 8 months ago
Pour être certain d'avoir bien compris, je reformule. On a une fonction $f:\mathbb{R}_+^*\to \mathbb{R}_+^*$ strictement convexe, deux fois dérivable, à dérivee non nulle. Soit $\mathcal C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère $(Ox, Oy)$. Soit $M$ le point courant sur la courbe $\mathcal C$. La tangente en $M$ à $\mathcal C$ coupe l'axe $Ox$ et $P$ et l'axeby Chaurien - Analyse
Re: moyenne = instantanée au milieu - 8 months ago
En effet, ceci se résout par la méthode que j'appelle « retour à zéro » en hommage à Hubert Monteilhet. On pose : $f_1(x)=f(x)-f(0)$ et $g_1(x)=g(x)-g(0)$ pour avoir des fonctions qui s'annulent en $0$. Il y a d'autres exemples de mise en œuvre de cette méthode. Par exemple pour le théorème de Cesàro on part d'une suite $u_n$ de limite $\ell$, on pose $v_n=u_n- \ell$, dby Chaurien - Analyse
Re: moyenne = instantanée au milieu - 8 months ago
Et en fait, la condition $\lambda \in ]0,1[$ peut être oubliée au profit de la seule condition $\lambda \neq \frac 12$.by Chaurien - Analyse
Re: moyenne = instantanée au milieu - 8 months ago
En effet, pas la peine de chercher midi à quatorze heures. C'est immédiat. On a : $g(\lambda x+ (1-\lambda )y)=g((1-\lambda) x+ \lambda y)$. Si $\lambda \neq \frac 12$, quels que soient les réels $a$ et $b$, il existe $x$ et $y$ tels que : $\lambda x+ (1-\lambda )y=a, (1-\lambda) x+ \lambda y=b$. D'où $g(a)=g(b)$, terminé. Tout ce que j'ai raconté est inutile . Reste le seulby Chaurien - Analyse
Re: moyenne = instantanée au milieu - 8 months ago
Et je pense qu'en adaptant la démonstration valable pour $f(x)-f(y)=(x-y)g(x+y)$, on peut avoir une démonstration de la généralisation qui ne suppose pas $g$ continue en $0$.by Chaurien - Analyse
Re: moyenne = instantanée au milieu - 8 months ago
En fait on peut supposer $0<\lambda <\frac12$ SPDG.by Chaurien - Analyse
Re: moyenne = instantanée au milieu - 8 months ago
Partons de : $f(x)-f(y)=(x-y)g(\lambda x+ (1-\lambda )y)~~~~~~~~~$(0). Dans (0) faisons $y:=0$, il vient : $f(x)-f(0)=xg(\lambda x)~~~~~~~~~$(1). Dans (0) faisons $x:=0$, il vient : $f(y)-f(0)=yg((1-\lambda) y)~~~~~~~~~$(2). En conséquence de (1) et (2) : $g(\lambda x)=g((1-\lambda) x)~~~~~~~~~$(3). D'où pour tout $z \in \mathbb R$ : $g(z)=g(\frac {\lambda}{1-\lambda} z)~~~~~~~~~$(4).by Chaurien - Analyse
Re: moyenne = instantanée au milieu - 8 months ago
Généralisation de la généralisation de Magnéthorax. Soit un réel $\lambda \in\, ]0,1[$. On cherche les couples de fonctions $(f,g)$ telles que : $\forall x \in \mathbb R,\ \forall y \in \mathbb R,\ f(x)-f(y)=(x-y)g(\lambda x+ (1-\lambda )y)$. Je pense que si $\lambda \neq \frac 12$ et si la fonction $g$ est continue en $0$, alors cette fonction $g$ est constante.by Chaurien - Analyse
Re: moyenne = instantanée au milieu - 8 months ago
Ça marche dans tout corps commutatif de caractéristique différente de $2$. J'ai trouvé cet exercice dans : The College Mathematics Journal, September 1987,Problem 296, p. 341. Si l'on veut effrayer l'étudiant, on peut le poser avec trois fonctions inconnues : $\forall x \in \mathbb R,\ \forall y \in \mathbb R,\ f_1(x)-f_2(y)=(x-y)g(x+y)$. C'est alors une équation « à laby Chaurien - Analyse
Re: moyenne = instantanée au milieu - 8 months ago
L'hypothèse de continuité n'est pas indispensable. Tout couple de fonctions $(f,g)$ telles que : $\forall x \in \mathbb R,\ \forall y \in \mathbb R,\ f(x)-f(y)=(x-y)g(x+y)$ donne $f$ polynôme de degré $\le 2$. C'est un bon exercice pour débuter en équations fonctionnelles.by Chaurien - Analyse
Re: Exercice sur les séries - 8 months ago
@ etanche Ah oui bêtement je n'avais cherché que dans 1989-90. C'est le problème 6513, énoncé RMS 1, 1989-90, septembre 1989, p. 21. Solution RMS 2, 1990-91, octobre 1990, p. 136. Bonne nouvelle. Fr. Ch.by Chaurien - Analyse
Re: Comprendre les extensions de corps - 8 months ago
Quelqu'un connaîtrait-il un livre d'exercices corrigés sur ce sujet ?by Chaurien - Algèbre
Re: Exercice sur les séries - 8 months ago
Merci etanche pour toutes ces références. Le sujet de 1989 est publié aussi dans la RMS n° 1, septembre 1989. Le sujet de 2012 est aussi sur le site UPS. Ce sujet note bêtement $\mathcal P$ l'ensemble des nombres de Pisot, que Pisot (et tout le monde à sa suite) note $S$, en l'honneur de Raphaël Salem. Pas de corrigé ni dans la RMS ni sur le site UPS, malheureusement. J'ai étéby Chaurien - Analyse
Re: Comprendre les extensions de corps - 8 months ago
En faisant une recherche sur « extension de corps exercices corrigés », on peut trouver des choses intéressantes, par exemple : , et d'autres aussi. Bon courage. Fr. Ch.by Chaurien - Algèbre