Re: équation - 6 months ago

Oui j'ai noté $r(\alpha)$ l'unique solution de l'équation dans $]0,1[$. Regarde le lien que j'ai donné pour la fonction de Lambert tout devrait s'éclairer pour toi. Mais comme on te l'a déjà dit cette fonction ne s'exprime pas avec des choses connues. J'ajoute que comme $\frac{\alpha}{e^{\alpha}}<\frac{1}{e}$ pour $\alpha>1$ on a une formule série po

Re: équation - 6 months ago

Oui c'est à peu près ça. Après tout il existe une formule asymptotique. Si $\alpha$ tend vers l'infini on a: $$ r\left(\alpha\right)=\frac{1}{e^{\alpha}}+\frac{\alpha}{e^{2\alpha}}+\frac{3\alpha^{2}}{2e^{3\alpha}}+\frac{8\alpha^{3}}{3e^{4\alpha}}+O\left(\frac{\alpha^{4}}{e^{5\alpha}}\right)$$ et en général sauf erreur: $$ r(\alpha)=\frac{1}{\alpha}\sum_{k=1}^{n}\frac{k^{k-2}}{(k-1)!}

Re: équation - 6 months ago

Oui mais il faut beaucoup de précision dans ce sens là lorsque alpha tend vers l'infini. J'obtiens pour alpha=8000 quelque chose comme $4.4070174889890132523921204906995015854685140525679949693775...10^{-3475}$ Tu peux essayer de montrer en gardant mes notations que $r\left(\alpha\right)\sim e^{-\alpha}$ lorsque $\alpha$ tend vers l'infini.

Re: équation - 6 months ago

Je plussoie RLC, difficile d'imaginer une formule simple. Si on note $r(\alpha)$ la solution non triviale de l'équation se situant dans l'intervalle $]0,1[$ un bon exercice est de déterminer que $\lim_{\alpha\rightarrow1^{+}}r\left(\alpha\right)=1$ voire que lorsque $\alpha$ tend vers $1$ on a $r\left(\alpha\right)\sim 1-2\left(\alpha-1\right)$.

Re: équation - 6 months ago

La question n'est sans doute pas de trouver explicitement toutes les solutions mais de les localiser.

Re: équation - 6 months ago

Que dire si $u=1$, $0<u<1$ et $u>1$?

Re: Problème technique messages privés - 6 months ago

C'est toujours important de tendre vers l'excellence orthographique. Merci Chaurien. PS: ce pseudo vient-il du fait que tu habites à Castelnaudary?

Re: "Génies des mathématiques" (le monde-rba) - 6 months ago

Pack 3 ici ensuite tu auras des doublons à revendre, c'est le prix à payer

Re: Monotonie d’une suite - 6 months ago

Pour revenir à l'approche de bd2017 que je trouve très naturelle, en introduisant un résultat intermédiaire un peu artificiel je vous l'accorde, on arrive à une inégalité finale des plus simples qui prouve que la suite $u_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^{2}+k}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+k/n^{2}}$ est croissante pour $n\geq6$. Il est en effet facile de montrer que pour tout $n\ge

Re: Propriété de la fonction nombre de diviseurs - 6 months ago

Merci Pea, c'est limpide. Je trouve cet exercice intéressant finalement car il fait intervenir à la fois des notions élémentaires d'arithmétique et d'analyse.

Re: Série de puissances - 6 months ago

Pour le cas 1/2 c'est l'unique solution de log(x)/x+log(2)=0 sur ]0,1[ soit x=0.641185744504985984486200482114823. Il faut considérer la suite u(1)=1/2 et u(n+1)=(1/2)^u(n), montrer que 1/2<=u(n)<=1/sqrt(2), que u(2n-1) est croissante, u(2n) décroissante puis que u(2n) et u(2n+1) convergent vers la même limite. Ps: que fais cette question dans shtam? Ce n'est pas tout à fait

Re: Série infinie pour $\zeta(2) \cdot \zeta(-1)$ - 6 months ago

Comme exemple de fausse belle formule (à $10^{-17}$ près) on a $$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}e^{-n^{2}}=\sqrt{\pi}\left(1+2e^{-\pi^{2}}\right). $$ Ou plus impressionnant avec plus de $250$ décimales correctes : $$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}e^{-n^{2}/16}=4\sqrt{\pi}\left(1+2e^{-16\pi^{2}}\right), $$ et une dernière pour rester dans le thème du fil $$\sum_{n\geq1}\left\lfloor n\zeta(3)\right\rfl

Re: Comment on devient un génie en maths - 6 months ago

Promis je ne citerai plus Albert Einstein

Re: Comment on devient un génie en maths - 6 months ago

@Fdp: C'est une citation qui est attribuée le plus souvent à Albert Einstein. Elle n'a pas du apparaitre dans un de ses articles scientifiques et il est possible qu'il ait cité Aristote à qui on attribue aussi une phrase de ce genre ou Socrate.

Re: Comment on devient un génie en maths - 6 months ago

“The more I learn, the more I realize how much I don't know.” Albert Einstein

Propriété de la fonction nombre de diviseurs - 6 months ago

Soit $Z_{p}(n)=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{\tau(pk)}$ où $\tau$ est la fonction arithmétique “nombre de diviseurs”. Il s'agit ici de montrer que si $p$ et $p+2$ sont deux nombres premiers jumeaux alors pour tout $n\geq p(p+1)^{2}$ on a $Z_{p+2}(n)>Z_{p}(n)$. Je pensais venir facilement à bout de cette question mais que nenni! Peut-être est-ce faux du reste, le coquin qui m'a posé ce probl

Re: Évaluation somme avec partie fractionnaire - 6 months ago

Merci pour cette précision.

Re: Évaluation somme avec partie fractionnaire - 6 months ago

Merci Bisam, je n'avais pas pensé à une somme de Riemann qui marche ici aussi! Je trouve la même chose.

Re: Série infinie pour $\zeta(2) \cdot \zeta(-1)$ - 6 months ago

Il y a plein de jolies formules fausses.

Re: Série infinie pour $\zeta(2) \cdot \zeta(-1)$ - 6 months ago

Non cela ne converge pas lentement il y a bien une différence d'ordre 10^-5 entre la valeur conjecturée et la valeur réelle de la série. Pas besoin d'aller poster sur un autre forum.

Re: Monotonie d’une suite - 6 months ago

Quand je dis à la main j'utilise aussi le logiciel xcas mais ça ne permet pas d'avoir ce que tu as eu!

Re: Série infinie pour $\zeta(2) \cdot \zeta(-1)$ - 6 months ago

Les essais numériques ne le confirment pas : $\sum_{k\geq3}\frac{(-1)^{\varphi(k)/2}}{k^{2}}+\frac{\pi^{2}}{72}\simeq-6.23\times10^{-5}$.

Re: Monotonie d’une suite - 6 months ago

Re: Monotonie d’une suite - 6 months ago

C'est impressionnant. Comment fais-tu parce que moi je fais ça à la main et il faut que les fractions soient simples pour que je les devine?

Re: Monotonie d’une suite - 6 months ago

Re: Monotonie d’une suite - 6 months ago

Avec quelques termes en plus $a_n=1-\frac{1}{2}n^{-1}-\frac{1}{6}n^{-2}+\frac{1}{4}n^{-3}-\frac{2}{15}n^{-4}+\frac{1}{12}n^{-5}-\frac{1}{42}n^{-6}-\frac{1}{24}n^{-7}+\frac{7}{90}n^{-8}-\frac{1}{10}n^{-9}+\frac{1}{11}n^{-10}-\frac{1}{24}n^{-11}+O\left(n^{-12}\right)$

Évaluation somme avec partie fractionnaire - 6 months ago

Bonjour Si $\left\{ .\right\}$ symbolise la partie fractionnaire on note $S_{m}(n)=\sum_{k=1}^{n}\left\{ \frac{n^{1/m}}{k^{1/m}}\right\} ^{m}$, où $m$ est un entier $\geq1$. Je sais démontrer le résultat classique $S_{1}(n)\sim\left(1-\gamma\right)n$. Je me demande si pour $m=2$ on peut avoir une formule pour le nombre $C_{2}$ tel que $S_{2}(n)\sim C_{2}n$ ?

Re: Comment on devient un génie en maths - 6 months ago

@Zeitnot: Je ne suis pas non plus un génie de la lecture. Mon nom c'est Boécien pas béotien. Pour Gify je maintiens car mon intention n'est pas de leur faire de la pub

Re: Monotonie d’une suite - 6 months ago

Ah ok mais a_n tend vers zéro tu as du oublier de diviser par n à un moment. Non ça tend vers 1 c'est bon. Sinon je confirme que $P(x)=x^{4}+2x^{3}-6x^{2}-5x-1>0$ dès que $x>3$. Ce qui se fait à la main puisque $P(3)=205>0$ et $P'(x)=(x+5/2)(x^{2}-x-1/2)>0$ pour $x>3$.

Re: Monotonie d’une suite - 6 months ago

Pas mal comme idée. Mais comment tu fais avec ça pour montrer que a_n est croissante? Ne peut on pas avoir a_n qui oscille entre b_n et c_n ?