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Analyse réelle et complexe ; Analyse fonctionnelle ; EDO et EDP
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Re: Parité dimension et $-Tr(A) \in \mathbb N$ - 6 months ago
Merci pour vos réponses. Donc si je comprends bien, si on a un polynôme annulateur, il suffit de prendre ses racines : la trace est alors la somme des racines multipliés par leur multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique. Si elles ne sont pas racines, on prendra une multiplicité nulle.by PetiteTaupe - Algèbre
Re: Parité dimension et $-Tr(A) \in \mathbb N$ - 6 months ago
$\omega(j) = 0$. Donc la trace est nulle. C'est possible si les seules valeurs propres sont $i$ et $-i$. Et même si $A$ n'admet que $0$ comme valeur propre.by PetiteTaupe - Algèbre
Re: Parité dimension et $-Tr(A) \in \mathbb N$ - 6 months ago
D'accord, donc d'après ton message, les racines complexes conjuguées du polynôme caractéristique sont bien de même multiplicité. Oui mais je n'ai pas montré que $j$ et $i$ sont des racines du polynôme caractéristique car on n'a pas montré qu'elles sont valeurs propres de $A$.by PetiteTaupe - Algèbre
Re: Parité dimension et $-Tr(A) \in \mathbb N$ - 6 months ago
Je veux que :$Tr(A) = \omega(j)j + \omega(j^2)j^2 + \omega(i)i - \omega(i)i$. Comme $A$ est réelle, son polynôme caractéristique est à coefficients réels, donc les multiplicités des racines complexes conjuguées sont égales. Donc $Tr(A) = \omega(j)(j+j^2) = - \omega(j)$. D'où le résultat. Malheureusement je n'ai pas prouvé que $P$ est le polynôme caractéristique de $A$, et donc que lesby PetiteTaupe - Algèbre
Re: Parité dimension et $-Tr(A) \in \mathbb N$ - 6 months ago
Si $n$ est impair, $A$ admet une valeur propre réelle. Merci.by PetiteTaupe - Algèbre
Parité dimension et $-Tr(A) \in \mathbb N$ - 6 months ago
Bonsoir, si on prend $A \in M_n(\R)$ telle que $A^4+A^3+2A^2+A+I_n = 0$, quelle est la partié de $n$ ? J'aimerais aussi montrer que $-\text{Tr}(A) \in \mathbb N$. Alors $A$ est annulée par $P = X^4+X^3+2X^2+X+1=0$ qui a déjà $i$ comme racine évidente. Comme il est a coefficients réels, $-i$ est aussi racine : $P = (X-i)(X+i)(X^2+X+1)$ : les racines de $P$ sont $i, -i, j^2, j$. Ses racines soby PetiteTaupe - Algèbre
Re: Polynôme en une matrice diagonalisable - 6 months ago
Merci pour votre réponse. Pourquoi a-t-on les valeurs propres ?by PetiteTaupe - Algèbre
Polynôme en une matrice diagonalisable - 6 months ago
Bonsoir, je sais qu'une somme de matrices diagonalisables n'est pas forcément diagonalisable, mais si j'ai une matrice diagonalisable $A$ et une matrice $B = Q(A)$ où $Q \in \mathbb K$, est-ce que $B$ est diagonalisable ? Est-ce que c'est parce que $A = P^{-1}DP$ donc $B = P^{-1} Q(D)P$ avec $P$ une matrice de passage et $D$ diagonale ? Cette question vient de l'exby PetiteTaupe - Algèbre
Re: Somme directe des sous-espaces propres - 6 months ago
Merci pour vos réponses !by PetiteTaupe - Algèbre
Somme directe des sous-espaces propres - 6 months ago
Bonjour, il y a quelques jours, on m'a fait remarqué que bien que les sous-espaces propres d'un endomorphisme soient toujours en somme directe, la somme n'est pas forcément égale à l'espace. Mais alors à quoi ce théorème sert-il si on ne peut pas l'utiliser pour engendrer des éléments de l'espace ? En particulier, dans le cas où l'endomorphisme n'est pasby PetiteTaupe - Algèbre
Re: Exercice éléments propres - 6 months ago
Ah oui pardon. Donc c'est bon. Oui pour la continuité, il faut que $0 < \lambda \leq 1$. Donc $Sp(u) = ]0,1]$ et les vecteurs propres sont les fonctions dans $V_{\lambda}$ pour $\lambda \in ]0,1]$ ?by PetiteTaupe - Analyse
Re: Exercice éléments propres - 6 months ago
Oups, j'ai modifié, merci. Donc pour que $f$ soit vecteur propre de $u$ associé à $\lambda$, il faut que $A = 1$, autrement dit que $f = x \mapsto x^{\frac{1}{\lambda}-1}$. Mais je n'arrive toujours pas à définir les éléments propres... On s'est donné un $\lambda$ quelconque (pour continuité, $\lambda \in ]0,1]$, donc le spectre est $]0,1]$ puisque $f = x \mapsto x^{\frac{1}{\lamby PetiteTaupe - Analyse
Exercice éléments propres - 6 months ago
Bonjour, je suis sur un petit exercice sur lequel on prend $E$ l'espace vectoriel des fonctions continues de $[0,1]$ dans $\R$. On prend $u$ l'application qui à $f \in E$ associe la fonction $F$ définie sur $]0,1]$ par $F(x) = \frac{1}{x} \int_0^x f(t)dt$ et $F(0) = f(0)$. On demande de déterminer les éléments propres de $u$. D'abord, j'ai montré que $u$ est bien un endomorby PetiteTaupe - Analyse
Re: Trace et valeurs propres - 6 months ago
Ah oui merci pour la dimension. La trace de $A$ vaut 2 et $Sp_{R}(A) = \emptyset$. Mais si on prend les valeurs propres complexes, ça fonctionne.by PetiteTaupe - Algèbre
Re: Trace et valeurs propres - 6 months ago
Merci pour votre réponse. On ne peut pas dire que $\R$ est inclus dans $\C$, donc tout polynôme de $\R$ est un polynôme de $\C$ ? Parce que pour montrer que la trace d'une matrices à coefficients dans $\R$ soit la somme des valeurs propres multipliées par les multiplicités dans le cas où son polynôme caractéristique n'est PAS scindé sur $\R$, je peux passer le polynôme caractéristby PetiteTaupe - Algèbre
Trace et valeurs propres - 6 months ago
Bonsoir, j'ai quelques questions sur la démonstration de : trace d'une matrice = somme des valeurs propres multipliées par leur multiplicité. Soit $a$ un endomorphisme et $A$ la matrice de $a$ (dans une certaine base : la trace est la même pour deux matrices semblables). Si on est dans un corps algébriquement clos, alors le polynôme caractéristique $\chi_a$ est scindé donc ${\rm Trby PetiteTaupe - Algèbre
Re: Commutation et conjugaison - 6 months ago
Ah oui merci, j'ai corrigé. Bon donc on retombe sur une matrice diagonalisable... Le contre-exemple n'est pas bon si on a des valeurs propres distinctes. Je devais prendre $AG = \begin{pmatrix} 1&1\\0&1 \end{pmatrix}$ avec alors $G = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$.by PetiteTaupe - Algèbre
Re: Commutation et conjugaison - 6 months ago
On prend $G = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0&1 \end{pmatrix}$. $g$ est bijectif car son noyau est réduit à 0 en dimension finie. Alors $AG = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$. Cette fois-ci une condition nécessaire et suffisante pour que $AG$ soit diagonalisable est que des vecteurs propres de $AG$ forment une base de l’espace. Le polynôme caractéristique de $Aby PetiteTaupe - Algèbre
Re: Commutation et conjugaison - 6 months ago
Si c’est une condition nécessaire, mon contre-exemple fonctionne, non ? Par contre si elle n’est que suffisante mais pas nécessaire, ça ne marche plus. Suffisante : si le polynôme caractéristique est scindé racines simples, la matrice est diagonalisable. Nécessaire : si la matrice est diagonalisable, alors le polynôme caractéristique est scindé racines simples. Je regarde pour la matrby PetiteTaupe - Algèbre
Re: Commutation et conjugaison - 6 months ago
Ok donc G inversible telle que AG n’a pas un polynôme caractéristique scindé. Je regarde. Je pose $G = \begin{pmatrix} a & b \\ c&d \end{pmatrix}$. $ AG = \begin{pmatrix} a & b \\ 2c & 2 d \end{pmatrix}$. On prend $a=0$, $b=-1$, $d=0$ et $c=1/2$. Alors sur $R$, le polynôme caractéristique n’est même pas scindé donc il n’est pas scindé racines simples donc $AG$ n’est pas dby PetiteTaupe - Algèbre
Re: Commutation et conjugaison - 6 months ago
La démonstration, j'ai l'impression que ça ne marche : $d$ est diagonale donc il existe $B = (x_1 \dots, x_n)$ une base de vecteurs propres de $d$. Comme $g$ est bijectif, $g(B)$ est encore une base de l'espace. $\forall x \in B, \exists \lambda \in \R, d(x) = \lambda x$. On ne peut plus rien faire là... Contre-exemple : je prends un endomorphisme diagonalisable. Comme je ne conby PetiteTaupe - Algèbre
Re: Commutation et conjugaison - 6 months ago
Ah oui mais ça c'est dans le cas où on a le même endomorphisme bijectif $g$ de chaque côté ($g \circ u \circ g^{-1}$). Mais peut-on montrer simplement que si $g$ est inversible et $d$ diagonalisable, $d \circ g$ est diagonalisable ?by PetiteTaupe - Algèbre
Re: Commutation et conjugaison - 6 months ago
Ah oui c'est vrai ! Merci beaucoup.by PetiteTaupe - Algèbre
Re: Commutation et conjugaison - 6 months ago
Si on conjugue un endomorphisme diagonalisable, il reste diagonalisable. Je le fais dans le cas de la dimension finie mais je crois qu'on peut le faire sans cela. On prend $d$ et $g$ deux endomorphismes de l'espace. 1. Montrons que $g \circ d$ est diagonalisable si $d$ est diagonalisable et $g$ bijectif. Il existe une base $B$ de l'espace formée des vecteurs propres de $d$. Mby PetiteTaupe - Algèbre
Re: Commutation et conjugaison - 6 months ago
Oui la base est transportée mais est-ce qu'elle devient une base de vecteurs propres ? et si je compose par le conjugué d'un isomorphisme, ça reste une base de vecteurs propres ?by PetiteTaupe - Algèbre
Re: Réduction de Jordan et Dunford - 6 months ago
Oui, j'ai fait n'importe quoi. Tout va mieux, merci beaucoup pour votre aide.by PetiteTaupe - Algèbre
Commutation et conjugaison - 6 months ago
Bonsoir, on définit pour toute matrice $B$ et toute matrice inversible $P \in GL_n(\C)$ les endomorphismes pour $X \in M_n(\C)$ : $$comm_B(X) = BX-XB\qquad \text{ et }\qquad conj_P(X) = PXP^{-1}. $$ On montre que $$conj_{P^{-1}} \circ comm_A \circ conj_P(X) = comm_{P^{-1}AP}(X)$$ et que si $A$ est diagonale, la matrice élémentaire $E_{i,j}$ est vecteur propre de $comm_A$, donc $comm_A$ estby PetiteTaupe - Algèbre
Réduction de Jordan et Dunford - 6 months ago
Bonjour, j'essaie de faire la décomposition de Dunford de la matrice $A = \begin{pmatrix} 3&-1&1\\2&0&1\\1&-1&3 \end{pmatrix}$. J'aimerais mettre cela en relation avec la réduction de Jordan en dimension 3 : ainsi, au lieu de faire comme l'exercice le préconise (trouver les sous-espaces caractéristiques en somme directe, calculer les polynômes caractéristiby PetiteTaupe - Algèbre
Re: Sur le polynôme caractéristique - 6 months ago
Mais alors il y a une chose dont je ne suis pas sûr. Si $E$ est un $\K$-espace vectoriel, J'ai vu que si $u \in \mathcal{L}(E)$ est annulé par un polynôme scindé sur $\K$, alors $E$ est la somme directe de sous-espaces stables par $u$, sur chacun desquels $u$ induit la somme d'un homothétie et d'un endomorphisme nilpotent (décomposition de Dunford). On demande de prouver lby PetiteTaupe - Algèbre
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