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Analyse réelle et complexe ; Analyse fonctionnelle ; EDO et EDP
Il n'y a que deux solutions - 6 months ago
Salut Prouvez que les seules solutions avec $m,n,k\in \mathbf{Z}$ des équations $$3m^{2}\ =\ n^{2}+2n\ =\ k^{3}-1$$ sont $(0,0,1)$ et $(0,-2,1)$. Peut-on utiliser la congruence modulaire, peut-être ? Merci.by evariste21 - Arithmétique
Re: Cette fonction continue n'existe pas - 6 months ago
Très bonnes solutions. Personnellement je n'ai pas vu l'utilisation de Laplace, approche intéressante de @sol. Le problème semble être un problème de compétition, le problème 6 d'une liste de 6 problèmes classés du moins au plus difficile. Je travaille sur les autres problèmes. Pour le problème 6, il semble que l'idée de @sol fasse disparaître le problème en quelques couby evariste21 - Analyse
Re: Cette fonction continue n'existe pas - 6 months ago
Je ne suis pas familier avec Teorema de Müntz.by evariste21 - Analyse
Re: Cette fonction continue n'existe pas - 6 months ago
John_john: Merci beaucoup pour la suggestion détaillée pour résoudre le problème. Je suis assez bloqué sur la construction de $(t_{n})_{n\geqslant 1}$ que vous mentionnezby evariste21 - Analyse
Re: Borne sup - 6 months ago
Bonjour, Une discussion précédente intéressante Caractérisation de la borne sup.by evariste21 - Analyse
Cette fonction continue n'existe pas - 6 months ago
Bonjour Soit $0\leqslant a < b$ des nombres réeles. Prouvez qu'il n'existe pas de fonction continue $f:\to \mathbf{R}$ telle que $$ \int_a^b f(x)x^{2n} \mathrm dx>0 \qquad \text{et} \qquad \int_a^b f(x)x^{2n+1} \mathrm dx <0, $$ pour tout nombres entier $n\geqslant 0$. Source: Cette page a déjà été publiée dans ce forum Merciby evariste21 - Analyse
Re: Ladyzhenskaya-Babushka-Brezzi - 6 months ago
Bonjour, J'ai essayé de continuer à utiliser l'inégalité de Weber et ensuite d'utiliser l'existence de cette constante $C$ qui assure l'inégalité mais je n'ai pas réussi. Pouvons-nous montrer quelques suggestions pour résoudre le problème ?by evariste21 - Analyse
Re: Ladyzhenskaya-Babushka-Brezzi - 6 months ago
Bonjour, La question sur le signe était due à mon manque d'observation. Merci. Quelle partie de l'énoncé n'est pas comprise ? Le problème est de vérifier si l'opérateur B satisfait la condition inf-sup (c'est celle mentionnée dans le problème).by evariste21 - Analyse
Ladyzhenskaya-Babushka-Brezzi - 6 months ago
Bonjour \begin{eqnarray*} \mathcal{B}: H^{1}(\Omega)\times L^{2}(\Omega)&\longrightarrow& \mathbf{R},\\ (v,q) &\longmapsto & \mathcal{B}(v,q)=\color{red}{\pm}\int_{\Omega}q\cdot {\rm div}(v) \end{eqnarray*} $\mathcal{B}(\cdot,\cdot)$ vérifie la condition ${\rm \inf-\sup}$ (ou condition de Bobuska-Brezi) c'est-à-dire : $$\exists \beta >0, \quad \inf_{q\in L^{2}(\Omegby evariste21 - Analyse
Re: Trouver un polynôme - 6 months ago
Merci, avec le plus petit degré possible ?by evariste21 - Analyse
Trouver un polynôme - 6 months ago
Bonjour Trouvez un polynôme $f$ avec le plus petit degré possible tel que la fonction $$\Phi(x)=\begin{cases} f(x), \quad |x|<1, \\ \frac{1}{x}, \quad |x|\geqslant 1 \end{cases} $$ est différentiable en chaque point. Merci.by evariste21 - Analyse
Intégrale (Newton Raphson) - 6 months ago
Bonjour Déterminer, si possible, la valeur de $\alpha>0$ et justifier son existence pour que $$\int_{\alpha}^{2\alpha}xe^{x}{\rm d}x=10.15, $$ en utilisant la méthode d'itération Newton-Raphson. Comme critère d'arrêt, utilisez $$|\alpha_{n+1}-\alpha_{n}|\leqslant 10^{-8},$$ où $a_n$ représente l'itération obtenue à l'itération $n$. L'existence de $\alpha>0$ peutby evariste21 - Analyse
Re: Point fixe (analyse numérique) - 6 months ago
Merci pour votre commentaire Math Coss . Vous avez raison, $x_0$ doit être suffisamment proche de $x^{*}$ pour que les hypothèses du théorème du point fixe soient remplies et que ma solution soit transparente. Je l'avais en tête, mais je ne l'ai pas écrit.by evariste21 - Analyse
Re: Point fixe (analyse numérique) - 6 months ago
Bonjour Je connais le résultat suivant. Si $g\in \mathcal{C}^{2}$ avec un point fixe $x^{*}\in $ et la méthode numérique associée est donnée par $$x_{n+1}=g(x_{n}), \quad \forall n\in \mathbb{N}, \quad (**). $$ Ensuite, Si $|g'(x^{*})| <1 $, alors la méthode numérique $(**)$ est au moins linéairement convergente. $g'(x^{*})=0$, alors la méthode numérique $(**)$ est au moins qby evariste21 - Analyse
Re: Algorithme du point fixe - 6 months ago
@Poirot: Oui, vous avez raison. Je dois travailler davantage à vérifier si mon raisonnement est juste ou faux. En utilisant Python, je pense avoir pu résoudre le problème et vérifier que mes itérations étaient correctes. Merciby evariste21 - Analyse
Re: Une curieuse inégalité - 6 months ago
Merci pour votre réponse @YvesM. @etanche : C'est intéressant la solution qu'ils proposent sur cette page que vous mentionnez, le problème a été initialement posté sur mais il semble que l'utilisateur ait supprimé le post, c'est dommage.by evariste21 - Analyse
Re: Algorithme du point fixe - 6 months ago
Salut, @lourran. Oui, j'ai vérifié votre idée et ce serait une autre façon de définir $g$. Salut, @Dreamer, la restriction est associée au théorème du point fixe que l'on m'a enseigné dans mon cours.by evariste21 - Analyse
Re: Algorithme du point fixe - 6 months ago
Bonjour, je suis un peu lent au travail. En lisant l'idée de @gerard0 j'ai travaillé sur cette première partie comme il l'a suggéré. $$ e^{1.02x}-0.9x^{2}+2.98x-1.95=0 \\ \underbrace{\Big(-\frac{1}{2.98}\Big)e^{1.02x}+\Big(\frac{0.9}{2.98}\Big)x^{2}+\Big(\frac{1.95}{2.98}\Big)}_{=g(x)}=x. $$ D'après la fonction $g$, nous savons que $g\in \mathcal{C}[0;1]$ $g'(xby evariste21 - Analyse
Une curieuse inégalité - 6 months ago
Bonjour Soit $f:[0;1]\to \mathbf{R}_{+}$ une fonction convexe et continue telle que $f(0)=0$. Prouver que $$\forall t\geqslant 1, \qquad (t+1)\int_{0}^{1}f^{t}(x){\rm d}x\geqslant 2^t\bigg(\int_{0}^{1}f(x){\rm d}x\bigg )^t. $$ Merci.by evariste21 - Analyse
Algorithme du point fixe - 6 months ago
Bonjour Je suis un cours d'analyse numérique, je vais donc poster ici mes doutes sur ce cours. Merci beaucoup d'avance. Une première question, un texte sur les méthodes numériques que vous pouvez suggérer ? Question. Trouver par la méthode du point fixe une solution à l'équation $$2.98x-1.95+e^{1.02x}-0.9x^{2}=0,$$ avec une tolérance de $10^{-4}$. Soit $ \begin{array}{cby evariste21 - Analyse
Intégrale exacte - 6 months ago
Bonjour Dans l'intégrale définie suivante, $$\int_{-a}^{a}\exp \Big( \frac{-1}{1-(x/a)^{2}}\Big){\rm d}x $$ nous pouvons effectuer la substitution $u=\frac{x}{a}$ et par conséquent, nous pouvons obtenir $$\int_{-a}^{a}\exp\Big( \frac{-1}{1-(x/a)^{2}}\Big){\rm d}x=a\int_{-1}^{1}\exp\Big(\frac{-1}{1-u^{2}}\Big){\rm d}u. $$ Peut-on trouver une forme fermée pour cette dernière intégrale ?by evariste21 - Analyse
Point fixe (analyse numérique) - 7 months ago
Soit la fonction $g: \mathbf{R}\to \mathbf{R}$ définie par $$g(x):= 2-(1+\alpha)x+\alpha x^{3}, \quad \alpha \in \mathbf{R}. $$ avec un point fixe $x^{*}=1$. Trouvez les valeurs de $\alpha$ qui garantissent que l'itération $$x_{n+1}=g(x_{n}), \quad n\in \mathbf{Z}_{+} $$ converge vers $x^{*}=1$. converge linéairement vers $x^{*}=1$. converge de façon quadratique vers $x^{*}=1$. Merciby evariste21 - Analyse
Variété lisse et compacte - 7 months ago
Bonjour, Prouver qu'une variété lisse et compacte de dimension $n$ ne peut pas être encastrée plongée dans $\mathbf{R}^{n}$. Merci.by evariste21 - Géométrie
Re: Existe un graphe connecté - 7 months ago
Je ne comprends pas la question, $n$ représente le nombre de sommets dans le graphe.by evariste21 - Combinatoire et Graphes
Re: Une intégrale intéressante - 7 months ago
Merci pour cette observation @FDP. Je l'ai cherché sur le forum @etanche, mais je ne l'ai pas trouvé non plus. J'ai également essayé de séparer les intégrales et d'utiliser le théorème de Frullani-Cauchy, mais j'ai échoué comme d'habitude.by evariste21 - Analyse
Une intégrale intéressante - 7 months ago
Bonjour Prouver que $$ \int_{0}^{+\infty}\frac{\sin^{2}(x)-x\sin(x)}{x^{3}}{\rm d}x=\frac{1}{2}-\log(2). $$ Référence: AMM S. M. Stewart (Australia).by evariste21 - Analyse
Existence d'un graphe connecté - 7 months ago
Bonjour Montrer qu'il existe un graphe connecté tel que $\deg(u)+\deg(v)=n-2$ pour chaque paire de sommets non adjacents $u,v$ dans le graphe et $n$ le nombre de sommets. Merci.by evariste21 - Combinatoire et Graphes
L'extension $\mathbf{Q}(\alpha)$ - 7 months ago
Bonjour Soit $\alpha$ un nombre transcendantal et $p$ un nombre premier. Prouver que $\sqrt{p}\notin \mathbf{Q}(\alpha)$. Merci.by evariste21 - Algèbre