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Analyse réelle et complexe ; Analyse fonctionnelle ; EDO et EDP
Re: Balance entre un espace et son dual - 6 months ago
Hello, la condition donnée par Renart (à savoir : $E' \to F'$ injective) est vérifiée dès que $F \subset E$ est dense. C'est le cas pour les espaces de fonctions usuels.by nimajneb - Analyse
Applications d'un résultat de commutativité - 6 months ago
Bonjour, soit $\mathbf K$ un corps, et $E$ un $\mathbf K$ espace vectoriel (de dimension finie, mais des exemples en dimension infinie peuvent m'intéresser aussi). Je cherche des applications intéressantes à ce résultat bien connu : Si deux endomorphismes $u$ et $v$ de $E$ commutent et sont diagonalisables, alors ils ont une base de diagonalisation commune. J'ai déjà trouvé : - sby nimajneb - Algèbre
Re: Mini hypothèse de Riemann - 7 months ago
@RLC : C'est une idée générale quand on regarde les racines d'un polynôme, de trouver un groupe qui agit dessus : on peut penser à la théorie de Galois. Ici, la conjugaison est visiblement la bienvenue. Pour l'autre, c'est le titre du sujet qui m'a aiguillé : la transformation $s \mapsto 1-s$ est celle qu'on utilise pour prouver l'existence du prolongement deby nimajneb - Analyse
Re: Mini hypothèse de Riemann - 7 months ago
Je note $S$ l'ensemble des solutions de ta double équation. L'ensemble $S$ est invariant sous l'action de $z \mapsto 1-z$ (les deux équations sont échangées), et sous l'action de $z \mapsto \overline z$. De plus, $S$ est contenu dans les racines d'un polynôme de degré $3$. Donc $S$ est de cardinal au plus $3$. S'il existe un élément $z \in S$ qui n'est pas suby nimajneb - Analyse
Re: Intégrale elliptique de première espèce - 7 months ago
Bonjour, je vous remercie pour vos réponses. En cherchant un peu, j'ai trouvé qu'en notant $D=k \frac{d}{dk}$, on a : $$D^2 \cdot K= k^2 (D+1)^2 K. $$ Je faisais tout cela pour calculer $K\left ( \frac 1 {\sqrt 2} \right)$ avec la moyenne arithmético-géométrique de $1$ et $\frac{1}{\sqrt 2}$, et la longueur du lemniscate.by nimajneb - Analyse
Intégrale elliptique de première espèce - 7 months ago
Bonjour tout le monde, si je note, pour $k$ réel dans $]0,1[$ : $$ K(k)=\int_{0}^{\frac \pi 2} \frac{\mathrm dt}{\sqrt{1-k^2\sin^2(t)}}, $$ alors on devrait pouvoir montrer l'identité suivante, en notant $k'$ le conjugué de $k$ (i.e. : $k^2+k'^2=1$) : $$\frac{2}{1+k'} K \left ( \frac{1-k'}{1+k'} \right) = K(k) . $$ Connaissez-vous une preuve qui n'utiliby nimajneb - Analyse
Re: Projection - 8 months ago
Hello, $P_{\alpha}$ est la projection sur l'espace $Vect(\Phi_{\alpha})$. Si c'est une projection orthogonale par rapport au produit scalaire de $L^2(\mathbf R^n)$, alors on peut l'exprimer par : $$P_{\alpha}g = \langle g, \Phi_{\alpha} \rangle_{L^2(\mathbf R^n)} \Phi_{\alpha}$$by nimajneb - Analyse
Mettre la pointe de la flèche au milieu - 8 months ago
Salut à tous, sur TikZ, y a t-il un moyen de mettre la pointe des flèches au milieu au lieu du bout ? D'avance merciby nimajneb - LaTeX
Re: Intégrale dépendant d’un paramètre - 8 months ago
Comme souvent pour les questions autour des intégrales dépendant d'un paramètre, la condition «être dérivable» est une condition locale, donc il suffit de travailler localement autour de $a$ pour éviter $-1$ et $1$.by nimajneb - Analyse
Re: Un changement de variable - 9 months ago
C'est plus connu sous la forme : $$\sin(\theta)=\frac{2 t}{1+t^2} $$ où $t$ est la tangente de l'angle moitiéby nimajneb - Analyse
Re: Un changement de variable - 9 months ago
Non je parlais juste du calcul avec $f$ en généralby nimajneb - Analyse
Re: Un changement de variable - 9 months ago
Intéressant. Je signale une autre manière de faire : on peut écrire $\frac{\mathrm dx}{1+x^2}=\mathrm d(\arctan (x))$ et conclure en posant $u=\arctan(x)$by nimajneb - Analyse
Re: Bijections entre G et son dual - 9 months ago
Oui c'est très général comme principe, dans sa version la plus générale on peut dire que cela localise où le couple $(f,\widehat f)$ (avec $f$ une fonction d'un certain type : $L^2$, $L^1$, $L^\infty$ etc) ne peut pas être. D'ailleurs c'est intéressant car le principe de Dohono-Stark dont il est question dans l'article pourrait se généraliser ; en effet, l'auteby nimajneb - Algèbre
Re: Bijections entre G et son dual - 9 months ago
Pour montrer que $g \circ f$ donne l'identité sur les sous-groupes de $G$, il te suffit de montrer : $$\forall H < G, \qquad \bigcap_{\chi \in H^{\perp}} \ker(\chi)=H . $$ Or c'est justement l'énoncé de la proposition 2 que tu envoies.by nimajneb - Algèbre
Re: Convergence faible - 9 months ago
Peux-tu vérifier les hypothèses du théorème de Banach-Steinhaus avec les opérateurs $(T_n)$ ? Qu'en déduis-tu ?by nimajneb - Analyse
Re: Base de Hilbert - 9 months ago
Que vaut $Uf_n$ ? Et que donne l'information : $\forall n, \, \langle Ux, Uf_n \rangle = 0$ ?by nimajneb - Analyse
Re: Une somme - 9 months ago
Il faut utiliser le principe de l'arc moitié, c'est le même principe que la formule $1+e^{2i \theta} = e^{i \theta} (2\cos(\theta))$by nimajneb - Analyse
Re: Fonction dans $L^p$ - 9 months ago
Le centre de $t$ et $1-t$ est $\frac 1 2$. Le centre de $1+x$ et $1-x$ est $1$. Il te suffit de trouver un changement de variable convenable pour «recentrer»by nimajneb - Analyse
Re: Une somme - 9 months ago
Il faut transformer le $(-1)^n-e^{-2inb}$ pour coller à ta première expressionby nimajneb - Analyse
Re: Formule de Poincaré - 10 months ago
Essaie avec $n=1$, $n=2$ ? Essaie d'utiliser les questions précédentes ?by nimajneb - Analyse
Re: boule unidimensionelle - 10 months ago
Bonjour, à partir du moment où une distance $d$ est définie sur un ensemble $E$, on peut parler de la boule : $B(a,r)=\{x \in E\mid d(x,a)<r\}$. ($a$ est un centre de la boule, $r$ un rayon). En particulier, sur $\mathbb R$, tout intervalle ouvert $]\alpha, \beta[$ est bien une boule (en ce sens).by nimajneb - Analyse
Re: Déterminant - 10 months ago
Pas besoin de «dériver un déterminant» (j'imagine que tu pensais à la formule de la différentielle du déterminant avec la comatrice), il faut juste savoir que le déterminant est linéaire en la première colonne. On trouve $D'(x)=C(x_1,x_2)(x-x_{2}^{2})(x-x_1)$, et pour conclure il suffirait de prouver que $C(x_1,x_2)\neq 0$ si $x_1 \neq x_2$. En fait après réflexion, la méthode de @Vby nimajneb - Algèbre
Re: Déterminant - 10 months ago
Hello, $D'(x_1)=D(x_2)=D'(x_2)=D''(x_2)=0$, on en déduit $D'$ puis $D$ et enfin $D(x_1)$ (mais c'est identique à la preuve donnée plus haut)by nimajneb - Algèbre
Re: Algèbre de Lie d'un groupe de Lie - 10 months ago
Bonjour, pourquoi se restreindre aux sous-groupes de $GL_n(\mathbb K)$ ? Si $G$ est un groupe de Lie, alors l'ensemble des champs de vecteurs invariants à gauche (c'est-à-dire les $X$ champs de vecteurs sur $G$ vérifiant $dL_g . X(h)=X(gh)$, ou encore $(L_g)_{*}X = X$) a une structure naturelle d'algèbre de Lie, où le crochet est donné par : $$\forall f \in C^{\infty}(G), \,by nimajneb - Géométrie
Re: Une fonction et sa transformée de Fourier - 10 months ago
Écrire $b=\frac{1}{4a} + \varepsilon$ D'ailleurs, es-tu sûr que la transformée de Fourier de $x \mapsto e^{-ax^2}$ est bien $y \mapsto e^{-\frac{1}{4a}y^2}$ ?by nimajneb - Analyse
Re: Une fonction et sa transformée de Fourier - 10 months ago
On peut montrer plus simplement ce que tu as montré en utilisant Beurling, à savoir : $$\int_{\mathbb R^2} e^{-ax^2- \frac{1}{4a}y^2+|x||y|} \mathrm dx \mathrm dy=\infty. $$ Il suffit juste d'écrire : $$-ax^2 - \frac{1}{4a}y^2-|x||y| = -a \left (|x|+ \frac{1}{2a}|y| \right ) ^2 , $$ et de faire les bons changements de variables. Mais par contre, si $ab > \frac 1 4$ (strictement, dby nimajneb - Analyse
Re: Intégrale "à retard" : approximation - 10 months ago
Oui, mais cela reste mieux que de faire l'intégrale entre $0$ et $x-1$ à chaque fois, car on va perdre en précision à mesure que $x$ augmente, à nombre de points fixés. Donc c'est "moins pire" en quelque sorteby nimajneb - Analyse
Re: Intégrale "à retard" : approximation - 10 months ago
Hello, en découpant l'intégrale en $[0,x-2]$ et $$, je trouve : $$M(x)=1 + \frac{x-2}{x-1}(M(x-1)-1)+\frac{2}{x-1} \int_{x-2}^{x-1} M(t) \mathrm dt $$ Cela te montre que l'on peut s'en sortir en calculant une intégrale sur un segment de longueur constante ($=1$), ce qui améliorera peut-être la chose : notamment, pas besoin d'augmenter le nombre de points pour avoir une boby nimajneb - Analyse