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Analyse réelle et complexe ; Analyse fonctionnelle ; EDO et EDP
Re: Étude du signe d'une expression - 6 months ago
Si je fais comme vous dites j'obtiens $$ |p-q|^4+(1-|p|^2)(1-|q|^2)(|p-q|^2+|p|^2+|q|^2-1-|p|^2|q|^2) , $$ et donc $$ |p-q|^4+(1-|p|^2)(1-|q|^2)\big(|p-q|^2-(1-|p|^2)(1-|q|^2)\big).$$by Niser - Analyse
Étude du signe d'une expression - 6 months ago
Bonjour, je voudrais étudier le signe de cette expression suivant les valeurs de $p,q\in \C,\ |p|<1,\ |q|<1$ : $$ |p-q|^2+(1-|p|^2)(1-|q|^2)-\sqrt{(1-|p|^2)^2(1-|q|^2)^2+(1-|p|^2)(1-|q|^2)|1-\overline{p}q|^2},\qquad p\neq q \ . $$ J'ai essayé d'utiliser $\sqrt{x+y}\leq \sqrt{x}+\sqrt{y}\ $, j'ai obtenu : Si $|p-q|>1$ alors l'expression ci-dessus est positive. Maby Niser - Analyse
Re: Logiciel pour simplifier des expressions - 6 months ago
Je demandais parce que j'ai plusieurs expressions de ce genre et ça m'aurait fait gagner du temps vu que c'est uniquement du calcul...by Niser - Mathématiques et Informatique
Logiciel pour simplifier des expressions - 6 months ago
Bonjour, Existe-t-il un logiciel qui permet de simplifier ce genre d'expression $$ \frac{p_1(1+|p_1|^2)}{(1-|p_1|^2)^2}-\frac{(1-|p_1|^2)p_2(1+p_2\overline{p_1})}{(1-\overline{p_1}p_2)|1-p_1\overline{p_2}|^2}\quad ?$$ Merci d'avance !by Niser - Mathématiques et Informatique
Re: Décomposition en éléments simples - 7 months ago
Désolé, je n'ai toujours pas compris dans votre première méthode comment on calcule $s_2$.by Niser - Analyse
Décomposition en éléments simples - 7 months ago
Bonjour Soient $n\in \N,\ p\in\C$ tel que $|p|<1$. Je voudrais calculer $$ \int_{\mathscr C(0,1)}\frac{z^{2n}}{(1-pz^n)(z^n-\bar{p})^2}\frac{dz}{2\pi i}\ . $$ Je pensais utiliser le théorème des résidus et donc j'aurais besoin de décomposer le terme $\displaystyle \frac{1}{(z^n-\bar{p})^2}$ en éléments simples : $$ \frac{1}{(z^n-\bar{p})^2}=\frac{1}{n^2\bar{p}^2}\sum_{k=0}^{n-1}\frby Niser - Analyse
Re: Racine nième et somme - 7 months ago
Oui merci ! J'ai décomposé $\displaystyle f(z)=\frac{z}{1-pz^n}$ et $\displaystyle f(z)=\frac{z^{n-1}}{1-pz^n}$ et j'ai la réponse.by Niser - Analyse
Re: Racine nième et somme - 7 months ago
Vous voulez dire $\displaystyle f(z)=\frac{z^j}{1-pz^n}$ ?by Niser - Analyse
Racine nième et somme - 7 months ago
Bonjour, Soient $n\in \N,\ p\in\C$ tel que $|p|<1$. On désigne par $p_0, \ldots, p_{n-1}$ les n racines de $p$. On a $$ \frac{1}{1-pz^n}=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{1-p_kz}\ , \qquad |z|<1. $$ Est-il possible de calculer $\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\frac{p_k}{1-p_kz}$ et $\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{p_k(1-p_kz)}$ et obtenir à la fin une formule qui s'écrit uby Niser - Analyse
Re: Produit et exponentielle - 7 months ago
Et donc la réponse ce n'est pas $n x_k^{n-1}$ comme j'ai écrit plus haut ? (Edit : Ah, je pensais que j'avais écrit quelque chose de faux en haut, alors que vous êtes juste en train de me montrer qu'on peut s'en sortir sans utiliser des fonctions holomorphes. Merci ^^)by Niser - Analyse
Re: Produit et exponentielle - 7 months ago
Quand vous dîtes, "il faut faire $X=\mathscr{exp}(i\frac{2k\pi}{n})$, mais d'une façon rigoureuse" c'est-à-dire que je suis censé prendre la limite quand $X$ tend vers $\mathscr{exp}(i\frac{2k\pi}{n})$ et comme $X\mapsto X^n$ est holomorphe dans $\C$ alors le produit ci-dessus est égale à $nX^{n-1}_{|X=\mathscr{exp}(i\frac{2k\pi}{n})} =n\ \mathscr{exp}(i\frac{2k\pi(n-1)}{n})$by Niser - Analyse
Produit et exponentielle - 7 months ago
Bonjour, Soit $k,n\in\N$, j'aimerais calculeren fonction de $k$ et de $n$ $$ \prod_{j=0,\ j\neq k}^{n-1}\Big(\mathscr{exp}\big(i\frac{2k\pi}{n}\big)-\mathscr{exp}\big(i\frac{2j\pi}{n}\big)\Big). $$ Merci d'avance !by Niser - Analyse
Re: Inégalité - 7 months ago
Désolé, je ne vois pas comment on peut passer de $\|\cdot\|_{L^{\infty}(\mathbb T)}$ à une intégrale pour pouvoir appliquer Cauchy-Schwarz... Pouvez-vous un peu plus détailler.by Niser - Analyse
Inégalité - 7 months ago
Bonjour, comment on montre $$ \|u\|_{L^\infty(\mathbb T)}^2\leq \|u\|_{L^2(\mathbb T)}\|u'\|_{L^2(\mathbb T)}\quad ? $$ où $\mathbb T :=\mathbb R/(2\pi \mathbb Z)$ est le tore et $\displaystyle \|u\|_{L^2(\mathbb T)}=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} |u(x)|^2 dx$. Merci d'avance !by Niser - Analyse
Re: Décomposition en éléments simples - 8 months ago
Donc, c'est $$\frac{(z-\overline{p_1})(z-\overline{p_2})}{(1-p_1z)(1-p_2z)}=\frac{1}{p_1p_2}+\frac{a}{1-p_1z}+\frac{b}{1-p_2z} $$ où \begin{gather*} a=\frac{(1-|p_1|^2)(1-p_1\overline{p_2})}{p_1(p_1-p_2)}\\ b=\frac{(1-\overline{p_1}p_2)(1-|p_2|^2)}{p_2(p_2-p_1)} \end{gather*} Merci à tous !by Niser - Analyse
Re: Décomposition en éléments simples - 8 months ago
Désolé, je ne trouve pas mon erreur... Voici ce que j'ai fait pour trouver $a$. $$\lim_{z\to1/p_1}(1-p_1z)\frac{(z-\overline{p_1})(z-\overline{p_2})}{(1-p_1z)(1-p_2z)}=a$$by Niser - Analyse
Décomposition en éléments simples - 8 months ago
Bonjour, Je voudrais écrire $\frac{(z-\overline{p_1})(z-\overline{p_2})}{(1-p_1z)(1-p_2z)}$ sous la forme de $\frac{a}{1-p_1z}+\frac{b}{1-p_2z}$, où $a$ et $b$ sont deux constantes à déterminer. J'ai trouvé \begin{gather*} a=\frac{(1-|p_1|^2)(1-p_1\overline{p_2})}{p_1(p_1-p_2)}\\ b=\frac{(1-\overline{p_1}p_2)(1-|p_2|^2)}{p_2(p_2-p_1)} \end{gather*} Est-ce que c'est correct? (Car eby Niser - Analyse
Espace de Hardy et fonction holomorphe - 8 months ago
Bonjour Soit $\Pi$ le projecteur qui à chaque fonction $f\in L^2(\mathbb T),\ \mathbb T=\R/(2\pi \Z)$ associe $\Pi f$ qui est un élément de l'espace de Hardy $H^2(\mathbb T)$ (c'est l'espace de fonctions analytiques sur le disque unité $\mathbb D$ du plan complexe). J'aimerais calculer $$\Pi\Big(\frac{z}{(z-q)(1-qz)}\Big),\qquad |q|<1. $$ Si j'avais $\Pi(\frac{1}{z-by Niser - Analyse
Re: Opérateur autoadjoint et base orthonormale - 8 months ago
Même si dans mon cas je sais que le spectre est uniquement constitué de valeurs propres et que chaque valeur propre est de multiplicité au plus deux, je ne peux pas espérer avoir une base hilbertienne ? (En fait ce qui m'importe c'est le fait que les vecteurs propres soient tous orthogonaux les un aux autres...)by Niser - Analyse
Opérateur autoadjoint et base orthonormale - 8 months ago
Bonjour, Soit $T$ un opérateur autoadjoint de domaine $\mathscr D$ dense dans $L^2$. Peut-on toujours construire une base orthonormée de $L^2$ formée des vecteurs propres de $T$ ? Il me semble que les espaces propres associés à des valeurs propres différentes seront orthogonaux à cause de la relation $$ \lambda_n\langle u,v\rangle= \langle T u,v\rangle= \langle u,Tv\rangle= \lambda_m\langle u,by Niser - Analyse
Re: Équation différentielle dans le plan complexe - 8 months ago
D'accord. Merci !by Niser - Analyse
Équation différentielle dans le plan complexe - 8 months ago
Bonjour Soit $f$ une fonction holomorphe dans le disque unité. On veut résoudre cette équation différentielle dans le plan complexe $$zf'(z)-af=0,\quad a>0. $$ J'ai trouvé $f(z)=z^{a}$ qui est holomorphe dans le disque unité que si $a\in \N$ ? (c'est la partie du texte qui est en rouge dont j'aimerais me rassurer que je ne dis pas de bêtises). Merci d'avance !by Niser - Analyse
Re: Choix de l'argument dans $\C$ - 8 months ago
D'accord, et si je veux choisir un domaine d'holomorphie comme ce que j'ai écrit dans mon dernier message, est-ce que ça marche ?by Niser - Analyse
Re: Choix de l'argument dans $\C$ - 8 months ago
Bonjour, Même question, mais cette fois-ci on a $w\in\C,\ 0<|w|<1$. Comment je dois choisir l'argument si j'ai $$ \Psi(z)=\frac{1}{(z-\overline{w}).z^{\frac{|w|^2}{1-|w|^2}}}\ ?$$ Est-ce que c'est correct de prendre Si $\frac{1}{2}<|w|^2<1,\ \arg(z)\in \left]\arg(\overline w),\arg(\overline w)+2\pi\right[ $ ? Et si $0<|w|^2<\frac{1}{2},\ \arg(z)\in \left]\arg(by Niser - Analyse
Re: Diagramme - 9 months ago
Bonjour, Vu que je n'ai pas eu de réponse ici, j'ai posé la question sur un autre site et je vous partage la réponse que j'ai obtenue ( au cas où ça pourrait intéresser quelqu'un ). \documentclass[11pt]{beamer} \usetheme{Warsaw} \usepackage{inputenc} \begin{document} \begin{frame}{A diagram} \begin{equation*} \begin{array}{c c c} \fbox{my text in a box} & \loby Niser - LaTeX