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Analyse réelle et complexe ; Analyse fonctionnelle ; EDO et EDP
Re: Une intégrale intéressante - 6 months ago
@Bisam Je suis d'accord pour ne pas mettre dans le cours qu'on puisse dériver un DL sous certaines conditions. Cependant les élèves trouvent tout à fait naturel de le faire, ce qui peut se comprendre puisqu'en pratique les fonctions que l'on rencontre sont en général de classe $C^{\infty}$. @etanche Il y a beaucoup de façons de calculer l'intégrale de Dirichlet. Comby jandri - Analyse
Re: Une intégrale intéressante - 6 months ago
En reprenant le calcul de $K_n$ (à la suite du sujet Intégrale avec sinus) j'ai remarqué qu'on pouvait se passer de considérer l'intégrale de $a$ à l'infini. En effet, $h_n(x)=x^n-(\sin x)^n=x^n(1-(\sin(x)/x)^n)=x^n(1-(1+O(x^2))^n)=O(x^{n+2})$ donc pour $k\leq n+2$ on a $h_n^{(k)}(x)=O(x^{n+2-k})$ au voisinage de 0. D'autre part pour $k\leq n$ on a $h_n^{(k)}(x)=O(xby jandri - Analyse
Re: Intégrale avec sinus - 6 months ago
On peut généraliser à $n$ et $m$ entiers naturels non nuls : $$\int_{0}^{+\infty} \left( 1 - x^n\sin^n \left(\frac{1}{x}\right)\right )^m dx = \sum_{k=1}^m (-1)^{k-1}{m\choose k}K_{nk}\in\pi\Q$$by jandri - Analyse
Re: Intégrale avec sinus - 6 months ago
C'est une pure coïncidence ! En posant $x=\dfrac1t$ et en développant le carré on obtient que l'intégrale est égale à $2K_2-K_4$ où $K_n$ est l'intégrale définie ici (à la fin du message).by jandri - Analyse
Re: Une intégrale intéressante - 6 months ago
Je trouve que c'est très bien écrit et cela fait un bon devoir. Pour le calcul de $K_n$ on a effectivement besoin de la valeur de $\int_0^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x}dx$. Je propose quelques remarques sur le corrigé. Au 1.a) un DL de $f_n$ à l'ordre 0 suffit (et il se calcule de tête). Au 1.d) une coquille en ligne 2 : intégrale de 1 à l'infini (et pas de 0). Au 3) je prby jandri - Analyse
Re: Variation de l'aire d'un rectangle - 6 months ago
Pour le périmètre minimum j'ai trouvé comme Chaurien. Une fois qu'on a le résultat on peut le démontrer sans calculs en introduisant les symétriques $Q_1$ et $Q_2$ de $Q$ par rapport à $A$ et $D$ puis en cherchant à minimiser $Q_1M+MN+NP+PQ_2$.by jandri - Analyse
Re: Exercice sur les séries - 6 months ago
@jean lismonde On a démontré de deux façons dans les messages précédents que la suite $u_n = \sin(\dfrac{\pi}{e}n!)$ est positive décroissante de limite nulle. La non décroissance de la suite et les valeurs négatives que tu trouves par exemple pour $u_{42}$ sont dues à des erreurs de calcul, ce qui s'explique par le fait que $42!$ est trop grand (supérieur à $10^{50}$). Avec un logiby jandri - Analyse
Re: Moyenne = instantanée au milieu - 6 months ago
@incognito Merci pour la correction.by jandri - Analyse
Re: Questions théorèmes déterminant - 6 months ago
Bonjour, je réponds seulement à la première question. Le théorème de Lagrange affirme que si $(x_1,\dots,x_n)$ sont des complexes distincts deux à deux, pour tout $(y_1,\dots,y_n)$ il existe un unique polynôme $P\in \C_{n-1}$ tel que pour tout $k$, $P(x_k)=y_k$. En écrivant le système asocié cela entraine que le déterminant de $V (x_1 , \ldots , x_n)$ est alors non nul (sans avoir à le calby jandri - Algèbre
Re: Moyenne = instantanée au milieu - 6 months ago
On peut supposer $f$ seulement de classe $C^1$. On pose $a=c-d$ et $b=c+d$ puis on dérive par rapport à $d$. On obtient : $\forall a,b\in\mathbb{R}, \quad f'(a)+f'(b)=2f'\left(\dfrac{a+b}{2}\right)$ avec $f'$ continue. On montre ensuite par dichotomie que si $a<b$, si $f'(a)=\alpha a+\beta$ et si $f'(b)=\alpha b+\beta$ alors pour tout $c\in ]a,b[$ on a $fby jandri - Analyse
Re: moyenne = instantanée au milieu - 6 months ago
En dérivant par rapport à $a$ d'une part et par rapport à $b$ d'autre part, la différence donne $f'(a)+f'(b)=2f'((a+b)/2)$ d'où par dérivation $f''=C^{ste}$.by jandri - Analyse
Re: Somme d'arctangentes - 6 months ago
Si on pose $a=1+x$ et $b=1+x+x^2$ dans la formule donnée par Fibonacci, $\arctan a+\arctan b=\dfrac{\pi }{2}+\arctan \dfrac{ab-1}{a+b}$ (formule valable pour $a+b>0$), on obtient la formule que j'ai proposée juste au-dessus : $\arctan (x+1)+\arctan ({{x}^{2}}+x+1)=\dfrac{\pi}2+\arctan (x)$.by jandri - Analyse
Re: Somme d'arctangentes - 6 months ago
Cette dernière formule s'obtient directement en posant $x=1+t^2-t^4$ dans la formule que j'ai donnée ici La formule donnée par Fibonacci, $\arctan a+\arctan b=\arctan \frac{ab-1}{a+b}+\frac{\pi }{2}$, n'est pas valable sans conditions sur $a$ et $b$ : le second membre étant positif, il faut $a+b>0$ pour que le premier membre soit aussi positif. On peut montrer qu'ellby jandri - Analyse
Re: Somme d'arctangentes - 6 months ago
Ces égalités proviennent d'une même égalité valable pour tout $x$ réel : $\arctan (x+1)+\arctan ({{x}^{2}}+x+1)=\dfrac{\pi}2+\arctan (x)$ (*). On démontre cette égalité par dérivation ou bien directement en montrant que $\arctan (x+1)-\arctan (x)=\dfrac{\pi}2-\arctan ({{x}^{2}}+x+1)$ : les deux membres ont la même tangente, le premier est compris entre $0$ et $1$ (par l'égalité desby jandri - Analyse
Re: Une intégrale intéressante - 6 months ago
On peut même généraliser encore en considérant $\displaystyle \int_0^\infty \dfrac{\sin^{p} x-x^{p-n}\sin^{n} x}{x^{p+1}}dx=\displaystyle \int_0^\infty \left(\left(\dfrac{\sin x}x\right)^p-\left(\dfrac{\sin x}x\right)^n\right)\dfrac{dx}x$ avec $1\leq n\leq p$. Pour la calculer on introduit $J_n=\displaystyle \int_0^\infty \left(\left(\dfrac{\sin x}x\right)^n-\cos x\right)\dfrac{dx}x$ (pour $nby jandri - Analyse
Re: Fractions inverses - 6 months ago
Ce n'est pas "classique" en terminale mais pour résoudre dans $\Z$ une équation de la forme $axy+bx+cy+d=0$ (d'inconnues $x$ et $y$) une méthode efficace est de la mettre sous la forme $(ax+c)(ay+b)=bc-ad$ puis de faire intervenir les diviseurs de $bc-ad$.by jandri - Arithmétique
Re: Fractions inverses - 6 months ago
Il est classique de mettre l'équation sous la forme $(2m-p)(2n-p)=p^2$by jandri - Arithmétique
Re: Un petit exercice amusant - 6 months ago
Dans la définition de $f_k(n)$ il faut écrire $1\leq ord_p(n)\leq k$ car il y a une infinité de nombres premiers $p$ tels que $ord_p(n)=0$. Dans la suite je préfère noter $v_p$ plutôt que $ord_p$. La propriété $f_{k-1}((kn)!)=\pi(kn)-\pi(n)$ est immédiate quand $k=2$ (Fin de partie a explicité la démonstration). Dans le cas général, on peut la démontrer assez rapidement en utilisant laby jandri - Arithmétique
Re: Un carré et six points - 6 months ago
J'ai obtenu l'équation $r^2+r=1$ qui donne l'inverse de $\varphi$.by jandri - Arithmétique
Re: Quiz - 6 months ago
Je trouve comme JLT mais pour la loi uniforme sur $\{0,\ldots,n-1\}$by jandri - Mathématiques et Société
Re: Développement décimal - 6 months ago
Une démonstration niveau seconde : utiliser les expressions conjuguées pour obtenir les signes de $\sqrt{n^2+n}-(n+4/10)$ et $\sqrt{n^2+n}-(n+5/10)$.by jandri - Analyse
Re: Un petit exercice amusant - 6 months ago
Pour revenir à l'exercice initial on a plus généralement pour $n\in\N^*$ : $f((2n)!)=\pi(2n)-\pi(n)$ et c'est immédiat à démontrer.by jandri - Arithmétique
Re: Un carré et six points - 6 months ago
Je trouve comme Zgrb mais je ne vois pas le rapport avec l'arithmétique.by jandri - Arithmétique
Re: X 1908 - 7 months ago
Je me suis peut-être mal exprimé. Je voulais dire qu'on déduit du résultat énoncé par Piteux_gore que la somme des $n$ premiers cubes est égale au carré de la somme des $n$ premiers entiers (en utilisant le fait bien connu que la somme des $n$ premiers nombres impairs est égale à $n^2$).by jandri - Arithmétique
Re: X 1908 - 7 months ago
C'est relativement connu. En utilisant le fait que la somme des $n$ premiers nombres impairs est égale à $n^2$ on en déduit que la somme des $n$ premiers cubes est égale au carré de la somme des $n$ premiers entiers.by jandri - Arithmétique
Re: Une formule du produit - 7 months ago
La formule donnée par Pedja se généralise en une jolie formule valable pour tout réel $a>1$ : $$ \bigg(\displaystyle\prod_{p \equiv 1 \pmod{4} \atop p \in \mathbb{P} } \frac{p^a}{p^a+1}\bigg) \times \bigg(\prod_{p \equiv 3 \pmod{4} \atop p \in \mathbb{P} } \frac{p^a}{p^a-1}\bigg)=\dfrac{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac1{(2n+1)^{2a}}}{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^n}{(2nby jandri - Analyse
Re: Une formule du produit - 7 months ago
Si on veut rester à un niveau (relativement) élémentaire il reste à justifier : $\bigg(\displaystyle\prod_{p \equiv 1 \pmod{4} \atop p \in \mathbb{P} } \frac{p^3}{p^3-1}\bigg) \times \bigg(\prod_{p \equiv 3 \pmod{4} \atop p \in \mathbb{P} } \frac{p^3}{p^3+1}\bigg)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)^3}$ qui vaut $\dfrac{\pi^3}{32}$ (résultat bien connu).by jandri - Analyse
Re: Rapport de jury de l'agrégation interne 2021 - 7 months ago
On le trouve sur cette page.by jandri - Concours et Examens
Re: L'ensemble des valeurs 4xy-5x-y=n - 7 months ago
Comme l'a fait remarquer GaBuZoMeu, on doit avoir $4n+5=(4x-1)(4y-5)$ avec $x$ et $y$ dans $\N^*$ ou bien $4n+5=(4x'+1)(4y'+5)$ avec $x'$ et $y'$ dans $\N^*$. $4n+5$ doit donc s'écrire comme le produit de deux entiers congrus à $3$ modulo $4$, ou bien comme produit de deux entiers congrus à $1$ modulo $4$ et supérieurs ou égaux à $5$ (avec au maximum un seul égalby jandri - Arithmétique
Re: Nombre de solutions - 7 months ago
Je ne suis pas d'accord avec Python ! L'équation $\ln x=\ln n\sin(\pi x)$ avec $n\in\N^*$ possède $n$ solutions si $n$ est un entier impair, $n-1$ si $n$ est un entier pair, donc $127$ si $n=2^7$.by jandri - Analyse