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Analyse réelle et complexe ; Analyse fonctionnelle ; EDO et EDP
Re: Expo matricielle d'une variable complexe - 6 months ago
Cette définition possible ne me gêne pas. Mais quel est le rapport ?by johnsmoke - Analyse
Re: Expo matricielle d'une variable complexe - 6 months ago
$\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}$@Frederic : $$z^A = e^{\log(z)A} = \sum_{i=0}^{\infty}\Bigg(\frac{\Big(-\sum_{j=1}^{\infty}\frac{(1-z)^j}{j}\Big)^iA^i}{i!}\Bigg) $$ À quoi appartient ce truc. Pas à $\Mat_n(\mathbb{C}((z)))$ à cause du $(1-z)$ il me semble ? @Poirot : tu réponds donc à la deuxième question, je suis ok. Qu'en est-il de la première ? Pour donner un contexte, soitby johnsmoke - Analyse
Re: Expo matricielle d'une variable complexe - 6 months ago
Oui enfin tu chipottes sur les mots la. "Peut-on dire que" signifie bien sûr "est-il vrai que". $log(z) = - \sum_{n=1}^\infty \frac{(1-z)^n}{n}$.by johnsmoke - Analyse
Exponentielle matricielle de complexes - 6 months ago
Bonjour J'ai une question bête. Soit $A \in M_n(\mathbb{C})$. Peut-on dire que $z^A = e^{\log(z)A}$ appartient à $M_n\big(\mathbb{C}((z))\big)$ ? Et à $M_n(\mathbb{C}\{z\})$ ? P.S. $\mathbb{C}\{z\}$ désigne l'ensemble des éléments de $\mathbb{C}((z))$ qui représentent une fonction méromorphe au voisinage de zéro, i.e qui convergent sur un disque ouvert épointé en zéro. En vouby johnsmoke - Analyse
Re: Notation tensorielle sur anneau à différence - 7 months ago
Ok c'est bon j'ai compris, merci beaucoup pour cette clarification. Ce que tu dis c'est : Si $C$ est la catégorie des $R$-modules, $F$ le foncteur de $C$ dans $C$ qui à $M$ associe $\psi^*M$ et $G$ le foncteur de $C$ dans $C$ qui à $M$ associe $R\otimes_{R,\psi} M$, alors $F$ et $G$ sont adjoints donc : $$ Hom_{R}(M, \psi^*M) \cong Hom_{R}((M\otimes_{R,\psi} R), M) $$by johnsmoke - Algèbre
Re: Notation tensorielle sur anneau à différence - 7 months ago
Merci pour la réponse. Quand l'auteur dit que la donnée de $\psi$ et $\Psi$ définie une application $R$-linéaire de $M\bigotimes_{R,\psi}R$ vers $M$ (définie par $f(m\otimes 1) = \Psi(m)$), quelle structure de $R$-module faut il considérer pour le codomaine ? J'ai l'impréssion qu'il faut considérer la structure de $R$-module définie par $r.m = \psi(r)m$, car alors :by johnsmoke - Algèbre
Notation tensorielle sur anneau à différence - 7 months ago
Bonjour, Il y a une notation que je ne comprends pas qui apparaît dans le papier de Kedlaya suivant : , définition 14.1.1 page 244 (262 réel). Il s'agit d'une tensorisation sur un anneau à différence. Soit $R$ un anneau, $\phi$ un endomorphisme de $R$ et $M$ un $R$-module équipé d'une application $\Phi$ qui est $\phi$ semi-linéaire, c'est-à-dire telle que $\Phi(am) = \phi(by johnsmoke - Algèbre
Re: Furtwängler: corps de classe de Hilbert - 1 year ago
Je te remercie beaucoup noix de totos. Le premier lien que tu donnes va m'être très utile (la bibliographie à la fin est impressionnante). J'en viens à penser qu'il n'existe pas de traduction de l'article original de Furtwängler, ou en tout cas je vais arrêter d'en chercher uneby johnsmoke - Histoire des Mathématiques
Furtwängler : corps de classe de Hilbert - 1 year ago
Bonjour En 1907 Furtwängler a publié la preuve par des méthodes analytiques de l'existence du corps de classe de Hilbert pour un corps de nombe donné $K$ conjecturée par Hilbert quelques années auparavant. La référence exacte est: Allgemeiner Existenzbeweis für den Klassenkörper eines bebliegen Zahlkölpers, Math. Ann. 63 (1907), 1-37. | JFM 37.0243.02 Je cherche déséspérement une traby johnsmoke - Histoire des Mathématiques
Inégalité sommets-faces d'un 3-polytope - 2 years ago
Bonjour J'ai deux questions que j'aimerais résoudre mais je m'y connais peu en polytope, alors les voici. P est un 3-polytope. - Montrer que P ou sa polaire possède une face qui est un triangle - Montrer que si $v_3$ est le nombre de sommet de degré 3 (i.e 3 arrêtes partent de ce sommet), et $f_3$ le nombre de face qui est un triangle, alors $v_3 + f_3 \ge 8$. J'ai reby johnsmoke - Combinatoire et Graphes
Aide sur un exo $p$-adique - 2 years ago
Bonjour J'ai du mal à résoudre l'exo suivant. Soit $x \in \Q_p^*$ tel que pour tout $n \ge 0$ premier à $p$, l'équation $y^n=x$ admet une solution. Montrer que $x \in 1 +p\Z_p$. J'essaye de faire tendre $n$ vers l'infini mais sans succès. Merci de votre aide. JSby johnsmoke - Arithmétique
Exercice corps locaux - 2 years ago
Bonjour J'aimerais un peu d'aide sur cet exercice. Pour la 1) j'ai des idées mais je ne suis pas du tout sûr de mon raisonnement, pour la 2) je pense que c'est OK et pour la 3) j'ai quelques idées. 1) On sait (mon cours) que $O$ est un anneau de Dedekind local, donc un anneau de valuation discrète. Je note $l$ la valuation sur $F = Frac(O)$ associée, qui est non triviby johnsmoke - Arithmétique
Re: Filtration des unités - 2 years ago
Grrrrrrrr !! Je définis une application $\phi : \mathbb{Z}_p \mapsto U_1$. Soit $a = \sum a_ip^i \in \mathbb{Z}_p$, et $ S_i$ la $i$-ème somme partielle de $a$. On a donc $S_i \in \mathbb{Z}$ pour tout $i$. Soit $\epsilon > 0 $, et $k \in \mathbb{N}$ tel que $0<p^{-k}<\epsilon$. On a pour tout $m\ge n\ge k$, $\mid x^{S_m} - x^{S_n} \mid_p = \mid \sum_{n+1}^{m}a_ip^i \mid_p \le \mby johnsmoke - Arithmétique
Re: Filtration des unités - 2 years ago
Pour la 2)c): Je construis une application $ \phi : \mathbb{Z}_p \mapsto U_1$ de la manière suivante. Soit $n = \sum a_ip^i \in \mathbb{Z}_p$. Si on munit $\mathbb{Z}$ de la topologie $p$-adique, la suite des sommes partielles $ S_i $ ( on somme de zéro à $i$ ) est une suite de Cauchy dans $\mathbb{Z}$. D'après 2)b), l'application $\psi : \mathbb{Z} \mapsto U_1, k \mapsto x^k$ est cby johnsmoke - Arithmétique
Re: Filtration des unités - 2 years ago
Au passage aurelpage j'ai une petite question annexe qui pourrait m'aider pour autre chose. Je pense que c'est très simple mais je trouve pas. Avec les notations de l'énoncé, comment montrer que si $x \in F$ est tel que sa valuation $v(x) := v_p( N_{F/Q_p}(x) ) $ soit positive, alors $x$ appartient à la clôture intégrale de $Z_p$ dans $F$ ? Dans l'autre sens c'esby johnsmoke - Arithmétique
Re: Filtration des unités - 2 years ago
Bon deuxième essai pour la 2)b). Soit $(n_i)_i$ une suite qui tend vers $n \in \mathbb{Z}$ pour la topologie $p$-adique. Pour montrer la continuité de l'application $ \phi $, on veut montrer que $\phi(n_i)$ tend vers $\phi(n)$, ce qui revient à montrer que $ \mid x^{n_i -n} -1 \mid_p$ tend vers $0$. Soit $\epsilon$ strictement positif. On peut trouver $k \in \mathbb{N}$ tel que $p^{-k} &by johnsmoke - Arithmétique
Re: Filtration des unités - 2 years ago
Je reviens vers vous pour m'aider sur l'exercice dont est issu la question précédente car je galère pas mal. Je vous mets l'exo en fichiers joints. J'en suis à la question 2)d), mais avant j'aimerais avoir votre avis sur ce que j'ai fais aux questions 2)b) et 2)c). Pour 2)b) : Le morphisme c'est évident. Soit $(n_i)_i$ une suite dans $\mathbb{Z}$ qui teby johnsmoke - Arithmétique
Re: Filtration des unités - 2 years ago
Mais en fait je suis débile c'est mille fois plus simple que je m'imaginais. Au passage je comprends ce que tu veux dire aurelpage et tu as raison. Quand j'écris $\phi_{i+1}(x^{p^{i+1}}) = \phi_{i+1}(1+a^{p^{i+1}}\pi^{p^{i+1}})$, on a l'impression que je considère l'application $\phi$ comme une "réduction mod $\frak m$" en me permettant de faire sauter allègreby johnsmoke - Arithmétique
Re: Filtration des unités - 2 years ago
Bon je pense l'avoir, j'essaye : Une remarque et une notation préalable. Pour tout $p$ premier et tout $i \ge 0$, on a $p^{i+1} - (i+1) \ge 1$. Pour $i \ge 1$, je note $\phi_i : U_i \mapsto k$, $ 1+a\pi^i \mapsto a[\frak m]$ le morphisme surjectif qui donne par passage au quotient l'isomorphisme $U_i/U_{i+1} \cong k$, où $\frak m$ désigne bien sûr l'idéal maximal et $\pi$by johnsmoke - Arithmétique
Re: Filtration des unités - 2 years ago
Aurelpage, Dois-je utiliser l'isomorphisme $O^\times \cong U_1\times\mu$, où $O$ désigne l'anneau de $F$, et $\mu$ l'ensemble des racines $|k|$-ième de l'unité dans $O^\times$ ?by johnsmoke - Arithmétique
Re: Filtration des unités - 2 years ago
Merci, Oui je sais que $(U_i/U_{i+1}, \times )$ est isomorphe à $( k, +)$ pour $i \ge 1$, où $k$ désigne le corps résiduel. Je ne vois pas comment cela peut m'aider en fait.by johnsmoke - Arithmétique
Filtration des unités - 2 years ago
Bonjour Ici $F$ est une extension finie de $Q_p$, et je note $U_i = 1 + \frak{p}^i$ pour tout $i$, où $\frak{p}$ est l'idéal maximal de l'anneau de $F$. Je dois montrer que $x \in U_1 $ implique que $x^{p^i} \in U_{i+1}$. Dois-je me taper le dev du binôme ? J'essaye de passer par le corps résiduel mais je ne m'en sors pas. Merci pour votre aide.by johnsmoke - Arithmétique
Re: Sous-groupe non fermé du groupe de Galois abs - 2 years ago
Super je regarde tout ça. merciby johnsmoke - Algèbre
Re: Sous-groupe non fermé du groupe de Galois abs - 2 years ago
Bonjour, Après re-méditation du premier exemple, j'ai finalement saisi. En revanche le deuxième exemple que tu proposes est trop compliqué pour l'instant. Cependant je me pose une autre question. On sait qu'un sous-groupe ouvert d'un groupe topologique est toujours fermé et que l'inverse n'est pas forcément vrai. Donc, est-il possible d'avoir un exemple de sby johnsmoke - Algèbre
Re: Sous-groupe non fermé du groupe de Galois abs - 2 years ago
Ok merci pour la précision. Oui oui je connais les $p$-adiques et l'isomorphisme des unités $p$-adiques avec $ Gal(\Q(\zeta_{p^\infty})/\Q) $ est Ok aussi. Désolé mais alors que veut dire $ (1+p)^{\Z_p} = \{ (1+p)^m \mid m \in \Z_p \} $ ??. Cet expression ne fait pour moi aucun sens. En fait d'après ce que tu as écris j'en déduis que $ (1+p)^{\Z_p} $ désigne simplement l'by johnsmoke - Algèbre
Re: Sous-groupe non fermé du groupe de Galois abs - 2 years ago
Merci pour ces réponses. Que veut dire $ A = (1+p)^\Z $ . C'est pas conventionnel pour moi. Est-ce que c'est le singleton $ (1 ,1 + p,1 + p,1 + p, \ldots) \in \mathbb{Z}^\times_p $ ? Merciby johnsmoke - Algèbre
Sous-groupe non fermé du groupe de Galois abs - 2 years ago
Bonjour, Est-ce possible d'avoir un ( ou plusieurs ) exemples de sous-groupe non fermé de $Gal( \mathbb{\bar Q} \backslash \mathbb{Q} )$ ? $Gal( \mathbb{\bar Q} \backslash \mathbb{Q} )$ est muni de sa topologie de groupe profini. En vous remerçiantby johnsmoke - Algèbre
Re: Solutions entières de $y^2 + y + 3 = x^5$ - 3 years ago
C'est vraiment une réponse qui m'aide Claude, je te remercie vraiment. J'avais oublié le cas $b=-4$ tu as raison. J'ai refais tout tes calculs sur Sage ( pour m'entrainer :) ) et je suis en accord avec ceux-ci. Je me rends compte qu'au final ce n'était pas compliqué, il faut juste de la persévérance, mais c'est difficile d'y voir clair quand on débuby johnsmoke - Arithmétique
Solutions entières de $y^2 + y + 3 = x^5$ - 3 years ago
Bonjour, Je cherche tout les couples $(x,y) \in \Bbb Z^2$ solution de l'équation $y^2 + y + 3 = x^5$. Avec Sage j'ai trouvé $(3,15)$ et $(3,-16)$ et ce sont les seules solutions pour $ |x| \le 10000,|y| \le 10000$. Je soupçonne que ce sont les seules. Soit $(x,y) \in \Bbb Z^2$ une solution. On peut factoriser l'équation dans $\Bbb Z[ \frac{1 + \sqrt{-11}}{2}]$, l'annby johnsmoke - Arithmétique
Re: Représentation d'un réel algébrique - 3 years ago
Pour la première question. Soit $G(Y) = \prod_{j=1}^n F(a_j,Y) = Res_X( P_a(X), F(X,Y) ) \in \Bbb Q$. Puisque $F(a,Y)$ divise $ G(Y)$, ses zéro sont parmi ceux de $G(Y)$. Si je calcule $N = \deg\big( \frac{G}{pgcd(G,G')} \big)$, j'ai le nombre de racines complexes distinctes de $G(Y)$, parmi lesquelles sont les racines distinctes de $F(a,Y)$ que je cherche. Je me demande comment leby johnsmoke - Analyse