Re: Récurrence chaîne de naissance et de mort - 7 months ago

Et pourquoi ne pas observer que la chaine n'est autre que $(|S_n|)_{n\geq 0}$ avec $S_n=X_1+\cdots+X_n$ quand les $X_n$ sont independants et de meme loi $\Pr(X_n=\pm 1)=1/2?$

Re: Fourmis - 7 months ago

Merci lourran. Je ne sais pas de quel indice tu parles, mais en effet un peu de reflexion est necessaire pour l'amusant resultat, plus facile a visualiser sur un dessin ou au tableau qu'a expliquer par ecrit.

Fourmis - 7 months ago

Tombé par hasard sur Arte.Tv sur le problème suivant. Sur une mince barre $AB$ de 100 cm on place $n\geq 2$ fourmis en des points distincts. Chacune se déplace à la vitesse de 1 cm par minute et change de direction (c'est -a-dire prend la direction opposée) si et seulement si elle rencontre une autre fourmi. Si une fourmi arrive en A ou B, elle tombe. On suppose de plus qu'il y a i

Re: Marche aléatoire à proba non constantes - 8 months ago

LOU16, tres joli. Si le resultat est nouveau, il merite une petite publication quelque part.

Re: Vladimir Arnol'd - 8 months ago

Les Notices of the AMS March 2012 en contiennent un bonne tartine.

Re: Estimation de 17^17^17 - 8 months ago

$$\left(17^{17}\right)^{17}\neq 17^{(17^{17})}.$$

Re: Marche aléatoire à proba non constantes - 8 months ago

Pas tout à fait clair, puisque tout le monde s'appelle $X$ dans tes explications. Écrivons $X_n=Y_1+Y_2+\cdots+Y_n$ avec les $Y_i=\pm1$ et $$\Pr(Y_{n+1}=1|Y_1,Y_2,\ldots,Y_n)=\frac{1}{n+1}\sharp\{i=1,\ldots,n; Y_i=1\}. $$ Il est clair que si $Y_1\neq 1$ alors $X_n=-n.$ Donc, en dehors de ce cas trivial ou $Y_1=-1$, la suite $(X_n)_{n=0}^{\infty}$ passe par 1 au moins une fois. Veux tu pl

Re: Oracle inequality pour la boule l2 - 8 months ago

Incomprehensible.

Re: Balle, bracelets, bague - 8 months ago

'' il faut bien dire que tes lecteurs comme ceux de P. restent un peu sur leur faim! '' C'est pourquoi, pappus, il faudrait que tu nous dises clairement ce que tu as en tête. Beaucoup de lecteurs sont complètement étrangers à la géométrie, du moins à celle qui est affectionnée sur ce sous-forum.

Re: Fonction de répartition - 8 months ago

Re: Balle, bracelets, bague - 8 months ago

Ok,ok, c'est vrai que je n'ai pas ete bien malin. Resume du chapitre: on a la sphere $S$ de diametre $PP'$ avec $P=(0,0,1)$ et $P'=(0,0,-1)$ . Un cercle de cette sphere de diametre 1 est appele bracelet. L'image d'un bracelet par la projection stereographique par rapport a $P$ dans le plan $Oxy$ est un cercle, l'ensemble de tous ces cercles est note $ \mathcal{

Re: Une règle un brin pénible - 8 months ago

Si $X_1,\cdots, X_n$ sont independantes et uniformes sur $\{1,2,\ldots, N\}$ soit $$M=\min\{X_i; i=1,\ldots,n\},\ K=\sharp\{ i=1,\ldots,n\ ; \ X_i=M\}.$$ Si $S_n(N)=1^n+2^n+\cdots+N^{n}$ est la somme de Newton alors nous montrons que $$\boxed{\mathbb{E}(MK)=\frac{n}{N^n}\left((N+1)S_{n-1}(N)-S_n(N)\right)}.$$ Commencons par la remarque suivante si $Y_1,\cdots, Y_n$ sont independantes et pren

Re: Balle, bracelets, bague - 8 months ago

Mal lu en effet en inversant $x$ et $y$. Mais l'equation donnant l'enveloppe ne semble toujours pas etre celle d'un cercle.

Re: Balle, bracelets, bague - 8 months ago

O pappus, pas bien compris ce que tu cherches a nous dire par ce dessin. Veux tu dire que tous les cercles (rouges) de la famille $\mathcal{F}$centres sur $Oy$ sont tangents a un meme cercle (en noir)? A partir de l'equation d'un cercle rouge $$x^2+y^2-2cy=7-4\sqrt{3}\sqrt{\frac{c^2}{4}+1}$$ ou le parametre $c$ est l'ordonnee du centre du cercle, cela ne semble pas etre le cas (b

Re: Balle, bracelets, bague - 8 months ago

C'est vrai, j'avais oublié les pièges de l'arc capable et oublié le cas où le bracelet enserre $P$ : pan sur le bec. Il faut donc ajouter une autre famille de cercles, correspondant à $\sqrt{3}(b-a)=-ab-1$ issue de $$\arctan b-\arctan a=\frac{5\pi}{6}.$$

Re: Exercice de logique - 8 months ago

Vieux probleme avec interpretation probabiliste: si $X$ et $Y$ sont independantes de lois respectives $$\Pr(X=1)=\alpha=1-\Pr(X=0), \ \Pr(Y=1)=\beta=1-\Pr(Y=0)$$ alors $\max_{i=0,1,2}\Pr(X+Y=i)\geq 4/9.$ Pour le voir on observe que le trinome $$\mathbb{E}(s^{X+Y})=(\alpha s+1-\alpha)(\beta s+1-\beta)=as^2+bs+c$$ a toujours des racines et donc $b^2-4ac\geq 0.$ Et si $b<4/9$ on aura $ac<4/

Re: Balle, bracelets, bague - 8 months ago

Pour repondre a pappus, on peut parametrer les cercles de la famille par les coordonnees polaires de leurs centres, soit $(c,\theta)$. En utilisant $\sqrt{3}(b-a)=ab+1$ et en posant $b=c+r, \ a=c-r$ on arrive a l'equation du cercle de rayon $r=-\sqrt{3}+\sqrt{4+c^2}:$ $$x^2+y^2-2c(x\cos \theta+y\sin \theta)=7-4\sqrt{3}\sqrt{1+\frac{c^2}{4}}$$ et le cas des cercles degeneres en droites est d

Re: Busemann-Petty en dimension 2 - 8 months ago

Ben, le dessin en dimension 2 te montre que l'un est contenu dans l'autre.

Re: Quiz - 8 months ago

Pour la solution du probleme de la grenouille donnee par Chaurien ci dessus, il y a une generalisation , qui remplace la loi uniforme sur [0,1] par la densite ax^{a-1} sur [0,1]. Elle est donnee le 10 fevrier 2021 ' Joli probleme' Soit $a>0.$ Soit $Y_1,\ldots,Y_n,\ldots$ independantes et de meme loi $\mu_a(dy)= a1_{(0,1)}(y)y^{a-1}$ sur $(0,1).$ Soit $S_n=Y_1+\cdots+Y_n$

Re: Une curieuse inégalité - 8 months ago

Bravo Yves pour cette solution en outils elementaires. Bravo pour le changement de variable miraculeux $x=y^{2/(t+1)}.$

Re: Une curieuse inégalité - 8 months ago

Je ne comprends pas la demonstation d'YvesM, qui n'utilise pas l'hypothese de convexite de $f$. L'autre preuve a laquelle etanche se refere est peut etre juste, mais trop entortillee pour etre lue en entier. Il y a un principe a appliquer: quand on a affaire a une fonction convexe reelle generale, il faut toujours interpreter sa derivee seconde comme une mesure positive. Et ic

Re: Balle, bracelets, bague - 8 months ago

Ô Pappus, pas grand chose à répondre sur la question 'Comment décrire la famille de cercles du plan $Oxy$ qui sont image par projection stéréographique équatoriale à partir du pôle $P=(0,0,1)$ de cercles de la sphère unité de diamètre 1 ? En effet, si je prends un cercle du plan, il est dans la famille si et seulement si le diamètre AB passant par $O$ est tel que l'angle APB soit de

Re: Condition de Cramer-Lundberg (littérature) - 8 months ago

Incomprehensible.

Re: Balle, bracelets, bague - 8 months ago

Excellents dessins, merci beaucoup fm.

Re: Balle, bracelets, bague - 8 months ago

Pardon de ne pas savoir utiliser geogebra dans la reponse suivante. Si quelque membre du forum le faisait pour dessiner ce qui se passe dans les plans $Oxy$ et $ Oxz$ decrits ci dessous, je le remercierais beaucoup pour cette clarification. On change d’unités en supposant les bracelets de diamètre 1 et la balle de diamètre 2. Dans $\R^3$ rapporte aux trois axes orthogonaux $Oxyz$ on considèr

Re: Balle, bracelets, bague - 8 months ago

fm31: non. C'est Rescassol qui a raison.

Re: Balle, bracelets, bague - 8 months ago

Si il y a 20000 vues pour un sujet du forum qui s'appelle transformation de Moebius, il devrait y avoir des personnes interessees pour celui ci, qui utilise par exemple simplement l'inversion d'une sphere par rapport a un de ses points.

Balle, bracelets, bague - 8 months ago

Dernier jour pour envoyer a Orsay la solution du problème suivant : 3 bracelets circulaires de 9 cm de diamètre sont posés sur une balle de 18 cm de diamètre en étant deux à deux tangents. Dans le petit espace qui reste on pose une bague, qui est tangente aux trois bracelets. Diamètre de la bague ?

Re: Question sur la loi de Wishart (inverse) - 8 months ago

Heu, $e^ {A+B}$ est rarement $e^A\times e^B.$ Pour la majoration en posant $a_i=(1+2s\sigma_i^2)^{-n/2}$ et $\frac{1}{m^2}=\frac{1}{n}(\frac{1}{\sigma_1^2}+\cdots+\frac{1}{\sigma_n^2})$ tu obtiens $$\mathbb{E}()S'^{-1}\leq \frac{1}{(n-2)m^2}.$$

Re: Question sur la loi de Wishart (inverse) - 8 months ago

Si tu permets, je remplace ton $\sigma_i$ par $\sigma_i^2...$ En appliquant$$ \frac{1}{a}=\int_{0}^{\infty}e^{-sa}ds$$ a $a=S'=\sum_{i=1}^n\sigma_i^2X_i^2$ on trouve pour $n\geq 3$ $$\mathbb{E}(S'^{-1})=\int_0^{\infty}\frac{ds}{\prod_{i=1}^n\sqrt{1+2s\sigma_i^2}}.$$ En posant $\sigma^2=\frac{1}{n}(\sigma_1^2+\cdots+\sigma^2_n)$ et en utilisant $$a_1\ldots a_n\leq \left(\frac{1}{n}(a_