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Analyse réelle et complexe ; Analyse fonctionnelle ; EDO et EDP
Re: Le verre de Martini - 6 months ago
Chaurien : oui, c'est bien ça. Le verre de Martini, c'est le quart de plan des points à coordonnées positives que l'on fait pivoter de 45 degrés. Le liquide versé dedans est de "volume" constant. La ligne de flottaison, c'est la tangente. "C'était mieux avant" : au temps de l'école buissonnière ?by Magnéthorax - Analyse
Le verre de Martini - 6 months ago
Bonjour, Un exercice que j'aime bien : déterminer l'ensemble des fonctions $f:\mathbb{R}_+^*\to \mathbb{R}_+^*$ deux fois dérivables, strictement convexes, avec $f'$ qui ne s'annule pas, telles que, si on note $\mathcal{C}$ la courbe de $f$ dans un repère orthonormé, les triangles dont les sommets sont l'origine et les deux points d'intersection des tangentes à $\maby Magnéthorax - Analyse
Re: moyenne = instantanée au milieu - 6 months ago
Un prolongement : déterminer l'ensemble des fonctions $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ deux fois dérivables vérifiant : $$ \exists\lambda\in\left]0,1\right[, \forall a,b\in\mathbb{R}, \qquad a\neq b \implies \frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}=f'\left(\lambda a+\left(1-\lambda\right)b\right) $$by Magnéthorax - Analyse
Re: moyenne = instantanée au milieu - 6 months ago
bd2017 : tu supposes $f\left(0\right)=0$ ?by Magnéthorax - Analyse
Moyenne = instantanée au milieu - 6 months ago
Bonjour, un exercice déclinable à plusieurs niveaux : déterminer l'ensemble des fonctions $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ deux fois dérivables vérifiant : $$ \forall a,b\in\mathbb{R}, \qquad a\neq b \implies \frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}=f'\left(\frac{a+b}{2}\right) $$by Magnéthorax - Analyse
Intégrale à paramètre - 7 months ago
Bonjour, A votre connaissance, les intégrales du type $\int_a^b 1/(t^x+1) \,dt$ ont-elles un nom propre ? Interviennent-elles dans certains domaines ? Merci.by Magnéthorax - Analyse
Re: Gourmandise - 9 months ago
@jandri : merci pour ce rappel, j'avais oublié. Il y a une coquille dans le message de jandri : c'est $\binom{n}{5}$ pour le dernier terme de la ligneby Magnéthorax - Algèbre
Re: Dimension d’un espace vectoriel - 9 months ago
Oui, la dimension est $2$. Reste à le prouver "proprement". Pour cela, tu mets en forme l'idée que tes suites sont définies par leur deux premiers termes. Cela peut passer par l'introduction de l'application $\left(u_n\right)\mapsto \left(u_0,u_1\right)$.by Magnéthorax - Algèbre
Re: loi de composition interne dans R2 - 9 months ago
Bienvenue, Ce qui serait intéressant, ce serait que tu dégages dans un premier temps quelques propriétés (commutativité, associativité, neutre, etc.) de cette loi de composition interne, puis que tu observes son comportement par rapport à la structure d'espace vectoriel de $\R^2$. Par exemple, cette multiplication est-elle distributive par rapport à l'addition.by Magnéthorax - Algèbre
Re: Dimension d’un espace vectoriel - 9 months ago
Donc la réponse à ta question est évidemment...by Magnéthorax - Algèbre
Re: Dimension d’un espace vectoriel - 9 months ago
Pour calculer la dimension, pas besoin de déterminer une base. La question que je pose est : qu'est-ce qu'il faut et qu'il suffit de connaître pour définir une telle suite ?by Magnéthorax - Algèbre
Re: Dimension d’un espace vectoriel - 9 months ago
Bonjour, Combien de "degrés de liberté" as-tu pour complètement déterminer une telle suite ?by Magnéthorax - Algèbre
Gourmandise - 9 months ago
Bonjour, Pour $p\in\N$ et $n\in\N^*$, notons $s_{p,n}=1^p+2^p+\cdots+n^p$. Soit le tableau de nombres munis d'un indice $$ \begin{array}{c} 1_1 \\ 1_1 \quad 1_2 \\ 1_1 \quad 3_2 \quad 2_3 \\ 1_1 \quad 7_2 \quad 12_3 \quad 6_4 \\ 1_1 \quad 15_2 \quad 50_3 \quad 60_4 \quad 24_5 \end{array} $$ où tout nombre est obtenu comme dans le triangle de Pascal, à la différenby Magnéthorax - Algèbre
Re: Question : zéros d'un produit - 9 months ago
Bonsoir, Pour te convaincre que ça marche ou pas, tu peux commencer par le cas où les $u_n$ sont constantes sur $X$, c'est-à-dire dans le cas d'une série numérique.by Magnéthorax - Analyse
Re: L'espace $L^2(\Omega)$ - 9 months ago
Re, Revoir la définition d'un cône d'un ev sur $\mathbb{R}$ et d'un fermé d'un espace topologique (ou métrique, ou d'un evn). Une fois cela fait, un evn est-il un cône fermé de lui-même ?by Magnéthorax - Analyse
Re: L'espace $L^2(\Omega)$ - 9 months ago
Bonjour, $L^2\left(\Omega\right)$ est-il un cône convexe fermé de $L^2\left(\Omega\right)$ ?by Magnéthorax - Analyse
Re: Problème de Bâle - 9 months ago
@Homo : pour les décimales de $\pi$, Euler avait déjà mieux.by Magnéthorax - Histoire des Mathématiques
Re: $\pi$ : rationnellement, quadratiquement - 9 months ago
Area : rien qu'en utilisant $\mathrm{Arctan} (1)=\pi/4$, on a $$ \forall n \in \mathbb{N} \qquad 0 \leq \frac{\pi}{4} - F_n\left(1\right) \leq \frac{1}{2^{2^n}}. $$by Magnéthorax - Analyse
Re: $\pi$ : rationnellement, quadratiquement - 9 months ago
Area 51 : j'ai déjà expliqué que le passage de $F_{n}\left(x\right)$ à $F_{n+1}\left(x\right)$ nous fait passer de la somme partielle $S_{2^n-1}\left(x\right)$ à $S_{2^{n+1}-1}\left(x\right)$. Donc de l'étape $n$ à l'étape $n+1$ on a ajouté $2^{n+1}-1-2^n+1=2^n$ termes.by Magnéthorax - Analyse
Re: Exponentielle pour mémo - 9 months ago
@Namiswan : la méthode d'Euler permet de "naturaliser" l'intervention des suites $\left(\left(1+x/n\right)^n\right)$.by Magnéthorax - Analyse
Re: $\pi$ : rationnellement, quadratiquement - 9 months ago
D'un point de vue théorique, c'est moins bon que ce que je propose. D'un point de vue pratique, cela ne signifie pas que le temps de calcul est moins bon.by Magnéthorax - Analyse
Re: $\pi$ : rationnellement, quadratiquement - 9 months ago
@Area : on a $$ \forall x\in \R_+^* \qquad 0\leq \mathrm{Arctan}\left(x\right)-S_n \left(x\right) \leq x\left(\frac{x^2}{1+x^2}\right)^n $$by Magnéthorax - Analyse
Re: Exponentielle pour mémo - 9 months ago
@Cyrano : le parti-pris est de prendre pour "axiome" que toute suite réelle croissante majorée converge.by Magnéthorax - Analyse
Re: $\pi$ : rationnellement, quadratiquement - 9 months ago
Area : il utilisait une combinaison linéaire de deux arctangentes dont le plus mauvais terme est $\mathrm{Arctan}\left(1/7\right)$, qui se prête bien aux calculs à la main car $(1/7)^2/(1+(1/7)^2)=0,02$.by Magnéthorax - Analyse
Re: $\pi$ : rationnellement, quadratiquement - 9 months ago
@Area 51 : tu parles sans doute de la vitesse de convergence de la suite des sommes partielles $\left(S_n\left(x\right)\right)$ de la série. Comme il est écrit, l'algorithme proposé fournit la suite extraite $\left(F_n\left(x\right)=S_{2^n-1}\left(x\right)\right)$.by Magnéthorax - Analyse
Re: $\pi$ : rationnellement, quadratiquement - 10 months ago
@Palabra : merci pour ton retour, notamment sur l'aspect formel. Je réponds à deux questions de ton dernier paragraphe : oui, principalement, une suite de rationnels qui converge vite vers $\pi$ (cf. résumé), donc la partie Euler est secondaire; non, selon toute vraisemblance, Euler ne l'avait pas déjà : il est tombé sur cette série et a calculé les sommes partielles l'une après l&by Magnéthorax - Analyse
Re: $\pi$ : rationnellement, quadratiquement - 10 months ago
@Fdp : bilan des notations introduites : $a$ pour ne pas traîner $\mathrm{Arctan}'$ dans les calculs, $N$ pour l'itératrice. Je ne trouve pas cela fou.by Magnéthorax - Analyse
Re: $\pi$ : rationnellement, quadratiquement - 10 months ago
$x$ est "fixé" au départ une bonne fois pour toute. On approche uniformément sur le compact $\left[0,x\right]$. D'où le petit laïus initial sur les fonctions définies sur $\left[0,x\right]$. $f_0$ est la fonction constante égale à $1/(1+x^2)$. Toute la suite $(f_n)$ dépend de $x$ (on ne peut pas approcher uniformément $a$ sur $\mathbb{R}$ par des polynômes).by Magnéthorax - Analyse
Re: $\pi$ : rationnellement, quadratiquement - 10 months ago
@Fdp : j'introduis les choses dont j'ai besoin pour que je me comprenne. Ni plus, ni moins. Je peux me tromper, mais je ne trouve pas ça excessif. Sinon, sur le fond ?by Magnéthorax - Analyse