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Analyse réelle et complexe ; Analyse fonctionnelle ; EDO et EDP
Re: Opérateur différentiel - 6 months ago
Si l'on parle de fonction définies sur $\mathbb R^n$, on peut définir les choses par transformée de Fourier. Si $f$ est, par exemple, dans la classe de Schwartz $\mathcal S(\mathbb R^d)$, et que la transformée de Fourier de $f$ est définie par $$ \hat f(\xi) = \int_{\mathbb R^n} f(x)\exp(-2 i\pi x\cdot \xi) d x. $$ La formule d'inversion de Fourier donne : $$ f(x) = \int_{\mby jean - Analyse
Re: identification de la limite d'une edp perturbée - 12 years ago
Bonjour kek, Désolé, je n'ai pas le temps de regarder de manière détaillée, mais je pense qu'il n'y a pas de problème : pour faire vite, dès qu'une équation est linéaire, et qu'on a une suite qui converge pour une certaine norme d'espace fonctionnel, une telle convergence implique toujours la convergence au sens des distributions (je ne connais aucun exemple de coby jean - Analyse
Re: info du X en MP option sciences de l'ingénieur - 14 years ago
Salim, Je suis également très surpris de ce que tu dis (pas du tout de TP d'info). Je suis moi-même prof en PCSI dans un lycée peu sélectif, où la plupart des élèves intègrent une école des CCP ou des E3A. Pourtant, il y a bien des TP d'info, sur Maple. Si c'est le cas (ie: que tu n'a pas du tout eu d'informatique, ni cours ni TP), cela mériterait à mon avis d'êtrby jean - Mathématiques et Informatique
Re: gradient de norme constante - 14 years ago
à remarque, à propos de ton message de 21:01: même si l'ensemble $\Omega$ est vraiment immonde, l'application $d(\,\cdot\,,\Omega)$ est toujours 1-lipshitzienne, me semble-t-il, non ?by jean - Analyse
Re: Lemme de Gronwall surlinéaire - 14 years ago
Un bon moyen d'essayer de démontrer ce genre de chose, c'est d'intégrer l'inégalité "Gronwall-linéaire", en considérant le terme non linéaire comme un second membre (indépendant de y). À partir de là, on peut parfois de nouveau Gronwaliser l'inégalité obtenue précédemment... mais désolé, je n'ai pas trop de temps de m'y pencher.by jean - Analyse
Re: gradient de norme constante - 14 years ago
Cela dépend comment on voit la question l'EDP $\|\nabla f\|$ est très fortement non linéaire! Il n'est donc pas pertinent de se restreindre à des solutions de classe $C^1$. Néanmoins (réponse niveau prépas), le sujet 1998 ENS Lyon/Cachan MP fournit pas mal d'information sur le sujet: - il démontre (partie IV) que la fonction $x\mapsto d(x,C)$ est de classe $C^1$ ssi $C$ est convexby jean - Analyse
Re: gradient de norme constante - 14 years ago
Voici un type de solution assez général à cette équation : Si C est un ouvert à bord assez régulier (ou tout simplement une courbe), l'application $x\mapsto d(x,C)$ est une application vérifiant $\|\nabla f\|=1$ sur le complémentaire de C. Cette équation est extrêmement classique en EDP, et s'appelle l'équation eikonale (ou iconale).by jean - Analyse
Re: Différence entre application et fonction - 14 years ago
Le problème que je vois sur la structure d'espace vectoriel de l'ensemble des fonctions, c'est que: - le seule élément neutre possible est la fonction nulle (définie sur tout l'ensemble de départ) - si f n'est pas définie sur tout l'ensemble de départ, on n'a donc pas d'élément g tel que f+g=0 (même avec g=-f) Enfin, la fonction vide n'est pas unby jean - Fondements et Logique
Re: élasticité et convexité - 14 years ago
Mes contre-exemples erronés étaient dus à l'erreur que j'avais interprété l'hypothèse par celle qui dit $f(x)<x$... qui s'obtient peut-être par implication (à moins qu'il n'y ait même une erreur là-dedans), mais certainement pas par équivalence...by jean - Analyse
Re: élasticité et convexité - 14 years ago
Autre possibilité: $f(x)=\frac14({e^{-\alpha x}-1+\beta x})$ avec $0<\alpha<\beta<1$.by jean - Analyse
Re: élasticité et convexité - 14 years ago
Comme il y a la condition $f(0)=0$, les conditions ne peuvent être simultanément possibles que pour $x>0$. Je propose la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}_+$ par $$f(x)=\frac{\sqrt{x^2+1}-1+x}{4}$$by jean - Analyse
Re: élasticité et convexité - 14 years ago
La condition s'écrit aussi $(\ln f)'(x)<1/x$, les deux autres conditions signifiant que $f$ est croissante et convexe...by jean - Analyse
Re: Ensemble de mesures ! - 14 years ago
Par définition de la mesure $\alpha\mu+\nu$, c'est vrai lorsque $f$ est la fonction indicatrice d'un ensemble. Par linéarité, c'est vrai lorsque $f$ est étagée. Par densité, c'est vrai lorsque $f$ est mesurable bornée...by jean - Les-mathématiques
Re: Suite - 14 years ago
Une suite (à bien choisir) qui tend vers 0 est majorée par 1 à partir d'un certain rang...by jean - Analyse
Re: HYPERPLAN STABLE PAR ENDOMORPHISME - 14 years ago
Il faut utiliser que deux formes linéaires ayant même noyau (ou une inclusion d'un noyau dans l'autre) sont proportionnelles.by jean - Algèbre
Re: Fonction localement lipschitzienne - 14 years ago
Oups ! C'est peut-être un peu plus subtil, car les ouverts à considérer recouvrent la diagonale de $K\times K$, c'est-à-dire les $(x,x)$ pour $x\in K$, mais pas forcément tout $K\times K$. Mais sur le complémentaire de ces ouvert (qui est compact), on a une fonction continue, donc globalement bornée sur le compact.by jean - Analyse
Re: Fonction localement lipschitzienne - 14 years ago
Coucou tout le monde, Je propose de montrer que la fonction localement bornée $(x,y)\in K\times K\mapsto \frac{d(f(x),f(y))}{d(x,y)}$ est globalement bornée... - soit en raisonnant par l'absurde et en utilisant la compacité séquentielle. - soit en raisonnant avec les recouvrements ouverts. Remarque: on ne fait que montrer que sur un compact (ici $K\times K$), une fonction localementby jean - Analyse
Re: Equation différentielle, solutions périodiques - 14 years ago
Victor-Emmanuel écrivait: ------------------------------------------------------- > Les courbes étant fermées, il existe un point de > la courbe au moins en lequel la solution passe au > moins deux fois (tiens, tiens, rigoureusement, > comment montrer ça?) ------------------------------------------------------ Un moyen de le faire, qui n'est pas très élégant est le suivby jean - Analyse
Re: Equation différentielle, solutions périodiques - 14 years ago
Effectivement. En résumé, si $X$ a des points stationnaires sur la courbe de niveau, c'est perdu (il n'y aura pas de trajectoires périodiques dans le cas d'une courbe de niveau connexe). Si $X$ n'a pas de point stationnaires sur la courbe de niveau, c'est gagné.by jean - Analyse
Re: Equation différentielle, solutions périodiques - 14 years ago
Bonjour, L'exemple de Guego me paraît quand même singulier. Pour la dernière question de Victor-Emmanuel, si jamais une trajectoire était strictement incluse dans une courbe de niveau (qui est une vraie courbe si F est à gradient non nul sur le niveau, ce que l'on supposera, n'est-ce pas ?), dans ce cas, la solution de l'équation $(x(t),y(t))$ (qui se trouve sur le niveaby jean - Analyse
Re: sujet edhec - 14 years ago
Une simple à recherche sur google conduit à cette page.by jean - Algèbre
Re: Cauchy-Schwartz - 14 years ago
C'est sûr qu'il n'y en a pas tout court : tu peux chercher des contre-exemples avec des fonctions $f$ et $g$ chacune de la forme $\displaystyle\frac{1}{t^\alpha}$...by jean - Analyse
Re: C-S - 14 years ago
Il me semble que, si $p\not=\infty$, ce n'est pas possible.... car $|f|^2\,|g|^2$ ne sera peut-être même pas $L^1_{\mathrm{loc}}$....by jean - Analyse
Re: C-S - 14 years ago
Cela ne semble pas juste, vu que les deux membres n'ont pas le même degré d'homogénéité en $f$. Par ailleurs, pour mieux comprendre, ce serait mieux de noter avec des simples barres (c-a-d: $|f|$) la norme sur $\R^3$....by jean - Analyse
Re: Convolution - 14 years ago
Pas toujours... on ne peut pas définir en toute généralité un produit de distributions, et donc a fortiori un inverse.by jean - Analyse
Re: Analyse spectrale - 15 years ago
Bonjour Damien, Effectivement l'existence d'une base de vecteurs propres est un résultat du cours seulement pour un opérateur compact. Mais si $A=\Delta$ (avec un condition de Dirichlet ou de Neumann au bord), et que l'ouvert $\Omega$ sur lequel sont définies les fonctions, est un ouvert borné, alors dans ce cas, l'opérateur $(\Delta-Id)^{-1}$ est compact. Il a donc une basby jean - Analyse
Re: Convolution - 15 years ago
Connais-tu la transormée de Fourier (elle montre que oui dès que $\displaystyle\frac1{\hat f}\in \mathcal{S'}$) ?by jean - Analyse
Re: Distribution - 15 years ago
Je crois que le problème revient exactement à montrer que la fonction à valeurs dans $\mathcal{D}'$, $\Phi:h\in\R^*\mapsto \frac{\phi(h+y+\cdot)-\phi(y+\cdot)}{h}$ converge vers $\phi'(y+\cdot)$ lorsque $h\to0$, la convergence ayant lieu dans $\mathcal{D}$ (c'est à dire que, lorsque $h$ tend vers $0$ - en tant que paramètre, pas en tant que variable - tous les supports des fonctioby jean - Analyse
Re: Estimation L°° de Sobolev raffinée : Applications ??? - 15 years ago
J'ai encore dit une bêtise (je ne suis plus à cela près :D ) car le membre de gauche est $1$-homogène en $\lambda$ En fait, pour l'optimisation en $t$ (le choix $t=2\ln\Big(\frac{\|u'\|_{L^2}}{\|u\|_{L^2}}\Big)$), je trouve la majoration suivante (qui est bien correctement homogène en $u$ de part et d'autre): $$\|u\|_{L^\infty}\lesssim \|u\|_{L^2}\sqrt{2\ln\Big(\frac{\|uby jean - Analyse