Re: Problème technique messages privés - 6 months ago

J'ai saisi l'occasion pour m'assurer que le mot « sur » au sens d'« aigre», comme dans le poème de Rimbaud, ne prend pas d'accent circonflexe, ce dont je n’étais pas certain. Il est parfois mal orthographié sur Internet. J'ai adopté ce pseudonyme parce que je suis né à Castelnaudary, mais je n'y retourne guère. Mes ancêtres avaient une ferme au Mas-Saintes-

Un nouveau livre sur les Olympiades - 6 months ago

Vient de paraître : Pierre Bornsztein, Thomas Budzinski, Vincent Jugé, Olympiades internationales de mathématiques, 2006-2021, Cassini, 2021, 362 pages, préface de Vincent Lafforgue. Je n'ai pas encore eu le temps de l'étudier en détail, mais un examen superficiel me fait dire que ce livre se distingue de ceux qui existent déjà sur le même sujet. Les auteurs ont participé à l'enca

Re: Problème technique messages privés - 6 months ago

Je ne suis pas sûr que mes réponses parviennent. Plus douce qu’aux enfants la chair des pommes sures, L’eau verte pénétra ma coque de sapin Et des taches de vins bleus et des vomissures Me lava, dispersant gouvernail et grappin.

Re: Déménagement du site - IMPORTANT! - 6 months ago

Les messages qu'on a postés seront-ils toujours disponibles ?

Re: Preuve d'un théorème - 6 months ago

Oups, j'ai oublié. Merci bd2017. Je redonne l'énoncé correctement. $\bullet $ Soient deux fonctions $f$ et $g$ de classe $\mathcal C^1$ sur un segment $, a<b$, telles que la fonction $f$ soit convexe, $f(a)=g(a)$, $f(b)=g(b)$ et $\forall x \in , g(x) \le f(x)$. Démontrer : $ \displaystyle \int_a^b \sqrt {1+g'(t)^2}dt \ge \int_a^b \sqrt {1+f'(t)^2}dt$, et préciser la co

Re: Preuve d'un théorème - 6 months ago

En tapant mon message, je n'avais pas vu le texte donné par raoul.S, qui répond à la question. - Question supplémentaire : donner un exemple d'une fonction $f$, dérivable sur un segment $$, dont la courbe représentative ne soit pas rectifiable. - Autre question : la formule de la longueur d'un arc $\mathcal C^1$ s'exprime en fonction de la norme définie sur l'espac

Re: Preuve d'un théorème - 6 months ago

La définition de la longueur de l'arc, c'est la borne supérieure des longueurs des lignes brisées inscrites, à définir avec une subdivision. Cette borne supérieure existe si et seulement si la fonction est à variation bornée sur $$. C'est le cas notamment si la fonction est de classe $\mathcal C^1$, comme il est dit dans l’hypothèse du théorème cité par LR 2021. Noter que « dérivab

Re: Un problème à l'ancienne de Mathieu Stewart - 6 months ago

Moi aussi j'aimerais savoir de quel livre ancien provient la figure donnée par Bouzar.

Re: Demande exos : coniques - 6 months ago

ev, tu rigoles. Les stencils perforés par une machine à écrire, c'était dans les années 1960-1970, et ça donnait des textes imprimés sur papier, sans ordinateur. J'ai un cours de Mathématiques générales de Daniel Ponasse, à la Faculté des sciences de Lyon, année 1963-64, qui a visiblement été fabriqué ainsi. Et de même pour beaucoup de textes de séminaires mathématiques de cette époque.

Re: Suite d'entiers jusqu'à un certain rang - 6 months ago

Re: Variation de l'aire d'un rectangle - 6 months ago

La forme canonique donne le minimum (resp. le maximum) de $f(x)=ax^2+bx+c$ sans qu'il soit nécessaire d'étudier la variation. J'ai indiqué à plusieurs reprises que dans l'étude du trinôme du second degré, il faut marquer l'importance du calcul de la forme canonique, aussi indispensable que la mémorisation du célèbre $\Delta=b^2-4ac$. La forme canonique est très utile dan

Re: Structure de corps sur R^3 - 6 months ago

Merci, elle est dans ma collection de sujets de colle, mais je ne me souviens plus d'où elle vient.

Re: Variation de l'aire d'un rectangle - 6 months ago

Cette fonction s'obtient au moyen du théorème de Pythagore, ainsi que l'a dit bd2017 :

Re: Variation de l'aire d'un rectangle - 6 months ago

Pour le périmètre minimum, je trouve $x=\frac {ab}{a+b}$, avec quand même quelques calculs.

Re: Structure de corps sur R^3 - 6 months ago

Si l'on ne veut pas appliquer le théorème de Frobenius, on peut raisonner comme suit. On définit une $\R$-algèbre comme un $\R$-espace vectoriel muni d'un produit interne bilinéaire. Par exemple, $\R^3$ avec le produit vectoriel. Cette $\R$-algèbre peut être associative, commutative, unitaire, intègre, ou ne pas l'être. Je ne crois pas avoir à rappeler les définitions. On a alors

Re: Variation de l'aire d'un rectangle - 6 months ago

...j'avais suivi... C'est le verbe suivre, non le verbe suivier.

Re: Écoles de mathématiques fondamentales - 6 months ago

Et en fac il n'y a pas d'épreuves écrites en temps limité ?

Re: Variation de l'aire d'un rectangle - 6 months ago

Bon, d'après le manuscrit de Lorentz, on peut utiliser les dérivées. Pour l'aire, ce n'est pas indispensable. Il y a une chose dont je ne cesse de souligner l'importance, c’est la forme canonique du trinôme.

Re: Variation de l'aire d'un rectangle - 6 months ago

Oups, je n'avais pas vu que les côtés du rectangle $ABCD$ étaient donnés. Mais il est intéressant de résoudre le problème en général. Pour le périmètre, il faudra quand même savoir si l'on peut utiliser la dérivée.

Re: Variation de l'aire d'un rectangle - 6 months ago

Il faudrait savoir dans quelle classe est posé ce problème, et donc quels outils mathématiques sont requis pour le résoudre. La première idée est de noter $a$ et $b$ les côtés du rectangle $ABCD$, avec $0<a \le b$, de prendre $x$ comme variable et d’étudier l'aire et le périmètre du parallélogramme $MNPQ$ comme fonctions de $x$. Il y a peut-être d'autres méthodes sans « calculus »

Re: Demande exos : coniques - 6 months ago

Et encore un, que j'aime bien aussi. Soit un polynôme $P$ de degré $\ge 2$, à coefficients complexes. Les zéros du polynôme dérivé $P'$ sont situés dans l'enveloppe convexe des zéros de $P$ : c'est le théorème de Gauss-Lucas, qui n'est pas très difficile à prouver. Si le polynôme $P$ est de degré $3$, il a trois zéros dont les images ponctuelles forment un triangle $A

Re: Demande exos : coniques - 6 months ago

Un autre exercice que j'aime bien. Déterminer les trajectoires d'un projectile dans le vide, dans le champ de la pesanteur, parti d'un point fixe avec une vitesse initiale de norme fixe, en faisant varier l'angle avec l'horizontale. Démontrer qu'on trouve une famille de paraboles qui ont toutes la même directrice, qui enveloppent une parabole (dite parabole de sûret

Re: Une IA pour trouver que des nombres premiers - 6 months ago

Et une IA pour l'orthographe ?

Re: Demande exos : coniques - 6 months ago

Mathurin, je connais Jacques Gabay depuis plus de quarante ans, c'est un homme très sympathique dans sa petite boutique sur la colline Sainte-Geneviève, mais son œuvre éditoriale est susceptible d'une appréciation nuancée.

Re: Demande exos : coniques - 6 months ago

Le Lebossé-Hémery, on peut même le télécharger.

Cadeau livre Marco Thill - 6 months ago

Bonjour. J'essaie de mettre un semblant d'ordre dans un « océan de livres », comme disait joliment FdP, et je retrouve une copie du livre de Marco Thill, Introduction to normed *-algebras and their representations, 194 pages. Il ne correspond en aucune façon à mes préoccupations et je me demande comment il est arrivé là. Ayant quelque scrupule à détruire ces pages, j'en ferai volo

Re: Demande exos : coniques - 6 months ago

Voici par exemple une feuille d'exercices que j'avais faite pour mes élèves de Math-sup il y a trente ans, avec ce bon vieux ChiWriter.

Re: Demande exos : coniques - 6 months ago

C'est un peu vague/vaste comme question. On peut regarder dans l'incontournable Lebossé-Hémery de géométrie de Math-élem. En 1968, Frédérique Papy a écrit La conique enfin laconique, mais je n'ai plus ce petit livre, qui semble difficile à trouver aujourd’hui. Il y a quelques jours j'ai signalé le problème de la normale minimum à l'ellipse : . On peut poser le même pr

Re: Il n'y a que deux solutions - 6 months ago

Posant $x=n+1$, le système devient : $x^2-3m^2=1,x^2=k^3$. L'inconnue $x$ doit donc être un cube dans $\Z$. Les solutions de l'équation de Fermat-« Pell » $x^2-3m^2=1$ sont bien connues. Les solutions pour $x$ forment une suite à récurrence linéaire d'ordre $2$ à coefficients constants. Il faut déterminer ces termes qui sont des cubes. Il me semble avoir lu quelque chose à ce su

Re: Comment on devient un génie en maths - 6 months ago

Plutôt « trouvé sur un autre forum ».