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Re: Conseils colles - 7 years ago
Généralement, le professeur de la classe donne ses directives à ses colleurs. Par exemple, beaucoup demandent de poser une question de cours, et sélectionnent même dans le programme de la semaine les questions qu'il faut poser. D'autres ne sont pas aussi précis dans leurs demandes. Au colleur de s'y conformer ... ou bien de changer de patron. Pour les exercices, le choix n'by Chaurien - Concours et Examens
Re: Équation fonctionnelle f(x+y)=f(x)+f(y)+etc. - 7 years ago
Bravo pour cette remarquable solution. Bonne soirée. Ch.by Chaurien - Analyse
Re: Équation fonctionnelle f(x+y)=f(x)+f(y)+etc. - 7 years ago
Précisions. J'ai oublié de préciser que je commence, hors continuité, par noter que les solutions constantes sont : $f(x)=0$ et $f(x)=2$, et je suppose $f$ non constante dans la suite. Dans ce cas forcément $f(0)=0$ et $f(1)\neq 2$. Etant donné que $f(0)=0$, il est immédiat que la continuité en $0$ implique la continuité partout. On peut poser : $F(x)=\int_{0}^{x}f(t)$, qui est $by Chaurien - Analyse
Re: Équation fonctionnelle f(x+y)=f(x)+f(y)+etc. - 7 years ago
@ zephir Ma méthode n'a rien d'original. D'abord, il est clair que la continuité en $0$ implique la continuité partout. Alors j'applique la méthode de "renforcement des propriétés". En intégrant, je montre que la fonction $f$ est nécessairement de classe $C^{1}$. On pourrait montrer à volonté $ C^{2}$, ..., $C^{\infty }$, mais c'est inutile ici. Un os :by Chaurien - Analyse
Équation fonctionnelle f(x+y)=f(x)+f(y)+etc. - 7 years ago
Bonjour. Je m'intéresse aujourd'hui à l'équation fonctionnelle : $f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)-f(x)f(y)$, où $f$ est une application de $\R$ dans $\R$. En supposant $f$ continue en $0$, j'ai démontré qu'il y a exactement trois fonctions-solutions, pas vraiment inattendues. J'ai trois questions. 1. Ma solution est quelque peu laborieuse, alors j'aimerais savoir siby Chaurien - Analyse
Re: Récréation - 7 years ago
Contrairement à ce qu'affirme un intervenant sur le forum roumain cité par JLT, la formule donnant la valuation $p$-adique de $n!$ n'est pas due à Lagrange, mais à Legendre. On la trouve dans l'édition de 1830 de sa Théorie des nombres, rééditée en 1955 par la librairie Albert Blanchard, Tome I, page 10. Cet ouvrage est d'une grande importance dans l'histoire des mathémaby Chaurien - Arithmétique
Re: Nom d'une équation fonctionnelle - 7 years ago
Cherchant autre chose dans le très beau livre de J. Aczél et J. Dhombres, Functional equations in several variables, Cambridge University Press, 1989, 1991, je lis en page 32 : << Gauss's functional equation : $f((x^{2}+y^{2})^{1/2})=f(x)f(y)$ >>. J'avais donc eu une bonne intuition.by Chaurien - Analyse
Re: Isométrie EVN non affine - 7 years ago
Bonjour. Je lis que le théorème de l'invariance du domaine est un corollaire du théorème du point fixe de Brouwer. Mais je ne vois pas comment prouver cela. Quelqu'un aurait-il une référence ? Merci et bonne journée.by Chaurien - Analyse
Re: Équation fonctionnelle à un argument - 7 years ago
J'avais mal cherché. L'équation : $f(x)+f(\frac{x-1}{x})=1+x$ a été posée au concours Putnam en 1971. A relier à : $f(z)+zf(1-z)=1+z$, posé à cette même compétition en 1959. Bonne journée. Ch.by Chaurien - Analyse
Re: Isométrie EVN non affine - 7 years ago
Merci à JLT pour cette démonstration. La démonstration du théorème étant de niveau plus élémentaire, je n’avais pas pensé à aller chercher de tels outils. Bonne soirée. Ch.by Chaurien - Analyse
Isométrie EVN non affine - 7 years ago
Bonjour. Le théorème de Mazur-Ulam (1932) affirme qu'une isométrie d'un espace vectoriel normé réel $E$ sur un espace vectoriel normé réel $F$ est nécessairement affine. Je m'intéresse aux contre-exemples lorsque la surjectivité fait défaut. J'en connais avec $E$ et $F$ de dimensions finies mais distinctes. J'en connais un pour un espace de fonctions $E$ et $F=E$.by Chaurien - Analyse
Re: Recurrence - 7 years ago
Cette inégalité se prouve par une récurrence des plus simples, mais ce qui m'a étonné c'est son appellation "inégalité de Weierstrass". Les résultats "de Weierstrass" sont généralement d'une nature plus profonde ... Je la connaissais sous le nom d' " inégalité de Bernoulli généralisée". J'ai eu bien du mal pour en trouver une référence sousby Chaurien - Analyse
Re: Continuité intégrale à paramètre - 7 years ago
@ Jandri. En effet, j'ai lu un peu vite. Bravo pour cette solution. On peut donc prendre comme fonction dominante $\varphi (t)=\frac{2}{t^{2}+1}$. Une petite remarque, c'est que la fonction $g(x,t)=\frac{x^{2}-t^{2}}{(t^{2}+x^{2})^{2}}(\cos t-1)$ est bien sûr de classe $C^{\infty }$ sur $\R^{2}\backslash \{(0,0)\}$ mais ne peut être rendue continue en $(0,0)$ par l'attributiby Chaurien - Analyse
Re: Continuité intégrale à paramètre - 7 years ago
Dans mon avant-dernier message j'ai donné une solution plus simple, qui ne se soucie pas du changement bien connu de la constante d'intégration dans l'IPP, utile lorsque la valeur $0$ est en cause mais inutile ici où cette valeur est exclue,. Ma solution ne recourt pas à ce laborieux et hasardeux "coupe-en-deux" et je la rappelle. J'ai donc : $F(x)=\int_{0}^{+\inby Chaurien - Analyse
Re: Continuité intégrale à paramètre - 7 years ago
On pourrait aussi chercher à démontrer la continuité de $F(x)$ sur $\R$ tout entier.by Chaurien - Analyse
Re: Équation fonctionnelle à un argument - 7 years ago
Merci à YvesM de s'intéresser à mes petites questions. 1. Dans une équation fonctionnelle comme par exemple $f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)$, l'inconnue c'est $f$, les lettres $x$ et $y$ ne désignent pas des inconnues, mais des variables (ou "arguments" ?). Je voulais savoir si quelqu'un a rencontré ce terme d' "argument" pour désigner si je ne mby Chaurien - Analyse
Re: Produit scalaire, espace préhilbertien - 7 years ago
Soit $f$ une fonction continue à valeurs réelles positives ou nulles sur $$, $a<b$, telle que : $\int_{a}^{b}f(t)dt=0$. Pour tout $x\in $, soit $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$. Cette fonction $F$ est croissante sur $$. Il en résulte, pour tout $x\in $ : $F(a)\leq F(x)\leq F(b)$, d'où : $F(x)=0$. Par suite: $f(x)=F^{\prime }(x)=0$.by Chaurien - Analyse
Re: Équation fonctionnelle à un argument - 7 years ago
1. En effet, il est difficile de trouver une référence pour une équation fonctionnelle, mais ce n'est pas impossible. J'en ai trouvé une récemment pour $f(f(f(n)))+f(f(n))+f(n)=3n$ et Zoeka pour $f(x)=f(x^2+c)$. C'est pourquoi je fais la demande ici où je pourrais avoir la chance de trouver quelqu'un qui ait cette référence. Mais sinon, je pourrai m'en passer. 2. Pourqby Chaurien - Analyse
Re: Continuité intégrale à paramètre - 7 years ago
Si l'on veut juste la continuité de $F(x)=\int_{0}^{+\infty }\frac{t\sin t}{t^{2}+x^{2}}dt$ sur $]0,+\infty [$, on peut préconiser la méthode consistant à rendre intégrable l'intégrande, au moyen d'une IPP. Sauf erreur : $F(x)=\int_{0}^{+\infty }\frac{x^{2}-t^{2}}{(t^{2}+x^{2})^{2}}\cos tdt$, et si ce calcul est bon, on obtient sans mal une hypothèse de domination pour $x$ élémenby Chaurien - Analyse
Équation fonctionnelle à un argument - 7 years ago
Bonjour. J'ai retrouvé dans mes papiers l'équation fonctionnelle dans $\R$: $f(x)+f(\frac{x-1}{x})=1+x$. Cela se fait en observant que la fonction $\phi (x)=\frac{x-1}{x}$ est d'ordre 3 au sens où : $\phi \circ \phi \circ \phi =Id_\R$ Mais j'ai deux questions : 1. Quelqu'un aurait-il une référence pour cette équation ? Je verrais bien le concours Putnam, dans laby Chaurien - Analyse
Re: Nom d'une équation fonctionnelle - 7 years ago
Pas de nouvelles, bonnes nouvelles. Je désignerai donc cette équation fonctionnelle sous le nom "équation fonctionnelle gaussienne". D'ailleurs, c'est avec cette égalité que Gauss calcule son intégrale au moyen d'une intégrale double. J'espère que Zoeka et les autres seront d'accord. Bonne journée. Ch.by Chaurien - Analyse
Re: Sous-groupe à deux classes - 7 years ago
Encore mille mercis. Bonne journée.by Chaurien - Algèbre
Re: Nom d'une équation fonctionnelle - 7 years ago
Bonjour. Sur le forum math.stackexchange, il est dit que c'est un cas particulier du théorème de Maxwell concernant la distribution gaussienne. Ce qui donne à cette équation une orientation probabiliste. On pourrait la dénommer "équation fonctionnelle de la densité gaussienne" ; qu'en pensent les probabilistes à l'écoute ? Bonne journée. Ch.by Chaurien - Analyse
Re: Suite de Cauchy et complétude - 7 years ago
L'intérêt des suites de Cauchy a bien baissé ces temps-ci puisqu'elles ont été chassées des programmes des classes préparatoires scientifiques...by Chaurien - Topologie
Re: Ensemble arithmétique de $\Z$ - 7 years ago
Il s'agit de la démonstration de Fürstenberg de l'infinitude des nombres premiers (1955) : Dans son ouvrage The new book of prime numbers records (Springer, 1996) Paolo Ribenboim décrit une douzaine de ces démonstrations, et celle-ci est la dernière et certainement la plus insolite. Peut-on savoir de quel livre cet exercice est tiré ? Bonne journée, fête nationale de l'Assomptby Chaurien - Topologie
Re: Équations du second degré et applications - 7 years ago
Il y a un numéro spécial de Science et Vie Junior, Les indispensables, Equations du second degré, de la Seconde à Math sup, mars-avril 2003. On y trouve le meuble de Max avec ses tringles articulées, donné par Soland ci-dessus. Et aussi les exos suivants, entre autres : - Deux mobiles sont animés chacun d'un mouvement rectiligne uniforme, dans le plan ou dans l'espace. A 12 hby Chaurien - Pédagogie, enseignement, orientation
Re: Sous-groupe à deux classes - 7 years ago
Bravo et grand merci. Ainsi pour $\Z$ ça marche avec : $H=2\Z$, impair+impair=pair, c'est toujours bon à rappeler. Mais pour $\Q$, $\R$, $\C$, il n'y a pas de tel sous-groupe $H$, de même dans le groupe additif de tout corps de caractéristique distincte de 2. Quelqu'un aurait-il une démonstration de cela, qui n'emploierait pas ces redoutables structures-quotients ? Bonneby Chaurien - Algèbre
Re: Sous-groupe à deux classes - 7 years ago
Merci pour cette réponse rapide. Mais je voudrais aller plus loin. Que peut-on dire d'un groupe avec un tel sous-groupe ? Et plus particulièrement, peut-on trouver un tel sous-groupe dans les ensembles de nombres usuels : Z, Q,R,C ?by Chaurien - Algèbre
Sous-groupe à deux classes - 7 years ago
Bonjour. Je me pose une question. Soit un groupe abélien $G$, sa loi notée additivement, et soit un sous-groupe $H\neq G$. On suppose que : $x\in G\setminus H$ et $y\in G\setminus H\Rightarrow x+y\in H$. Il y a un exemple d'une telle situation avec un groupe booléen. Mais y a-t-il une réciproque ? Merci d'avance et bonne journée. Ch.by Chaurien - Algèbre
Re: Équation fonctionnelle dans N - 7 years ago
Bonjour. Pour en revenir au problème posé initialement, il y a une solution dans un texte de Marc Sage de 2005, de sa qualité habituelle : . Et aussi dans le livre : Arthur Engel, Problem-Solving Strategies, Springer, 1998, n°39, p. 280. Il a été posé comme test au stage olympique de Saint-Malo en 2003. Il me semble qu'il provient d'une cmpétition mathématique, mais laquelle ? Bonby Chaurien - Analyse