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Re: Résultats agreg interne 2021 - 1 year ago
Si je me souviens bien, quand le candidat tire son couplage, le tirage est noté par le surveillant et communiqué ensuite au jury. Donc le jury sait quel est le couplage tiré. Il ne sait juste pas quelle leçon a été choisie.by Guego - Concours et Examens
Re: Thème de réflexion pour agrégatifs - 1 year ago
Effectivement. Mais du coup, si je ne m'abuse, ça montre un résultat plus général : si $u$ est un endomorphisme d'un espace $E$, à moins que $u$ soit de la forme $\lambda Id_E$, $\lambda \in \C$, alors le commutant de $u$ n'est jamais isomorphe à $\mathcal{M}_n(\C)$. Les hypothèses sur les dimensions dans l'exercice de départ ($5$ pour la dimension de l'espace de départ,by Guego - Algèbre
Re: Thème de réflexion pour agrégatifs - 1 year ago
Une piste à creuser : si $v$ et $w$ sont dans le commutant de $u$, alors le commutant de $v$ et le commutant de $w$ ont au moins tous les éléments de $\C[ {u} ]$ en commun. Mais dans $\mathcal{M}_3(\C)$, l'intersection de deux commutants est assez petite en général...by Guego - Algèbre
Re: Thème de réflexion pour agrégatifs - 1 year ago
Quotejohn-john Guego : oui ! Et on a des exemples où u admet deux, ou trois, valeurs propres distinctes. Tout à fait, comme $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ ou $Diag(0,1,1,2,2)$.by Guego - Algèbre
Re: Thème de réflexion pour agrégatifs - 1 year ago
Je n'ai pas la réponse pour la question en entier, mais en tout cas, la dimension du commutant peut être égale à 9 : il suffit de prendre $u$ de matrice $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$.by Guego - Algèbre
Re: 20ème anniversaire - 1 year ago
Quotemanu L'année 2021 devrait marquer un gros tournant pour le site. Un travail long de plusieurs années va enfin aboutir ... Le suspens a déjà pas mal duré. Peut-on en savoir plus ?by Guego - Vie du Forum et de ses membres
Re: Résultats agreg interne 2021 - 1 year ago
Pour le 3, je ne sais pas comment ça se passe à l'interne, mais à l'externe, tu peux hésiter aussi longtemps que tu le souhaites. Il faut juste avoir fait son choix avant de passer devant le jury !by Guego - Concours et Examens
Re: Obtenir un article - 1 year ago
Premier résultat dans un moteur de recherche :by Guego - Livres, articles, revues, (...)
Re: Série entière f(x)> 0 - 1 year ago
Ce n'est rien d'autre qu'une des démos de MO postée plus haut.by Guego - Analyse
Re: Série entière f(x)> 0 - 1 year ago
Il n'y a pas d'erreur. La question c'est : comment prouves-tu que, pour tout $x<0$, il y a deux sommes partielles consécutives strictement positives.by Guego - Analyse
Re: TéMA 2022 : un test de maths en terminale - 1 year ago
QuoteC'est vraiment savoureux de voir que des agrégés connus expriment là ouvertement le fait qu'ils ne croient plus ni à la fiabilité des notations ni même aux contenus... C'est un fait connu de tout le monde à l'ÉN que le secondaire est devenu l'école des fans en termes de notation, et que ça rend complètement illisible les dossiers pour l'orientation post-bac. Jby Guego - Pédagogie, enseignement, orientation
Re: AI 107 Codimension dans un ev de dim infinie - 1 year ago
N'importe quel hyperplan fait l'affaire. Prends par exemple, les fonctions continues $f$ sur $\R$ telles que $f(0)=0$. C'est un sous-espace de codimension $1$ de l'espace des fonctions continues sur $\R$.by Guego - Concours et Examens
Re: Endomorphismes à trouver - 1 year ago
J'ai fait les calculs pour $n=2$ en regardant les matrices élémentaires $E_{i,j}$ ainsi que les matrices $E_{i,j}+E_{k,l}$. On trouve que les $f$ qui conviennent sont toutes de la forme $f(M) = \lambda M + \Lambda(M)I_n$, avec $\lambda\in \C$ et $\Lambda \in \mathcal{M}_n(\C)^*$. Et réciproquement, ces dernières conviennent (vérification immédiate).by Guego - Algèbre
Re: Endomorphismes à trouver - 1 year ago
Et bien sûr aussi $f=Id_{\mathcal{M}_n(\C)}$.by Guego - Algèbre
Re: Endomorphismes à trouver - 1 year ago
Je continue avec les cas évidents : si $\Lambda$ est une forme linéaire sur $\mathcal{M}_n(\C)$, alors $f:M\mapsto \Lambda(M)I_n$ convient.by Guego - Algèbre
Re: Endomorphismes à trouver - 1 year ago
Alors, je commence : pour $n=1$, tous les $f\in \mathcal{L}(\mathcal{M}_n(\C))$ conviennent.by Guego - Algèbre
Produit de fonctions périodiques - 1 year ago
Bonjour, Une question que je me suis posée, à laquelle je n'ai pas (encore) de réponse : on considère deux fonctions $g$ et $h$, continues par morceaux, périodiques, de périodes respectives $T$ et $T'$, avec $\dfrac{T}{T'} \not\in \Q$. On suppose que $g$ et $h$ sont de valeurs moyennes nulles sur leurs périodes respectives. La fonction $F:x\mapsto \displaystyle \int_0^x g(t)h(t)by Guego - Analyse
Re: CV des proba vers CV p.s. - 1 year ago
Il y a l'exemple classique sur la convergence en proba qui n'implique pas la convergence presque sûre : On se place sur $[0;1[$ muni de la mesure de Lebesgue. On prend $U_0=[0;1[$, $U_1=[0;1/2[$, $U_2=[1/2;1[$, $U_3=[0;1/4[$, $U_4=[1/4;1/2[$, $U_5=[1/2;3/4[$, $U_6=[3/4;1[$, $U_7=[0;1/8[$, etc. Alors $P(U_n)$ tend vers $0$, mais $\mathbf{1}_{U_n}$ ne converge pas presque sûrement versby Guego - Probabilités, théorie de la mesure
Re: Série entière - 1 year ago
Moi aussi. Ici, quand je parle de disque, je parle de disque en dimension 1, donc d'intervalle.by Guego - Analyse
Re: Notation "linéaire" d'une matrice - 1 year ago
Pour LaTeX : \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{pmatrix}by Guego - Algèbre
Re: Série entière - 1 year ago
Je connais un développement en série entière sur le disque centré en $1$, de rayon $1$.by Guego - Analyse
Re: Produit scalaire à valeur réel ? - 1 year ago
Si $f_0$ est un vecteur propre, alors $\alpha f_0$ est encore un vecteur propre pour tout $\alpha \in \C^*$. Donc il n'y a aucune raison que le produit scalaire soit réel.by Guego - Analyse
Re: Existence d'une limite (série) - 1 year ago
En cherchant les premiers termes du développement en série entière avec maple, puis en rentrant ça dans l'OEIS, je trouve finalement, dans le cas de $\cos(\sqrt{n})$ : \[ S(0^+) = \dfrac{-3}{2} - 2\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n (2n-1)! \zeta(2n)}{(2 \pi)^{2n}(4n-2)!} \] La série converge très rapidement et donne : $ S(0^+)=-1.458344906313910787347243035624634427851460499682774536969by Guego - Analyse
Re: Existence d'une limite (série) - 1 year ago
Si $\sum a_n$ converge, alors $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+} \sum_{n=0}^{+\infty} a_n e^{-nx} = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n$ (Abel). Or, la limite de gauche existe plus souvent que la limite de droite, ce qui permet de donner un sens à la somme de certaines séries divergentes. Je me suis demandé ce que ça donnait avec $a_n = e^{i\sqrt{n}}$.by Guego - Analyse
Re: Existence d'une limite (série) - 1 year ago
En essayant d'adapter la solution sur ME, je trouve que pour la série avec $\cos(\sqrt{n})$, on a $S(0^+) = \displaystyle \dfrac{-3}{2} - 2\sum_{k=1}^{+\infty} \Re(L(2ik\pi))$, où $L(x) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{i\sqrt{\pi} e^{-1/(4x)} \mathrm{erf}(\frac{i}{2\sqrt{x}})}{2 x^{3/2}}$. C'est l'équivalent de la première somme (celle avec les $\dfrac{1}{n^{3/2}}$) pour les sinus. En décoby Guego - Analyse
Re: Existence d'une limite (série) - 1 year ago
Très joli ! Du coup, je me demande s'il existe une formule analogue pour $\cos(\sqrt{n})$, maintenant. C'est malin ! J'étais passé à autre chose, et tu m'obliges à me replonger dans ce problèmeby Guego - Analyse