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Les mathématiques à travers le temps et l'espace.
Re: Les intellectuels kesako ? - 1 year ago
Yves M : Je suis d'accord avec ton 1er paragraphe, mais après plus vraiment. Dois-je comprendre que Bigard et Lalanne sont des intellectuels, au sens de ta définition ? Alors qu'un "mathématicien qui résout une équation différentielle" n'en serait pas un ?by noix de totos - Mathématiques et Société
Re: Les intellectuels kesako ? - 1 year ago
"Les intellectuels sont des personnes qui commentent et donnent leurs vues sur les sujets les plus divers de la société, de la politique et des valeurs" Je ne vois pas en quoi les scientifiques pourraient être exclus d'une telle définition !...by noix de totos - Mathématiques et Société
Re: Les Intellctuels kesako? - 1 year ago
J'ai le même sentiment. Ce doit être le reflet de l'actuelle orientation de la société en général, de ce qui se passe à l'éducation nationale en particulier : tout est fait par, et pour, les littéraires et haro sur les sciences...qu'on est toutefois bien content d'écouter en temps de crise !by noix de totos - Mathématiques et Société
Re: Sur une fonction arithmétique - 1 year ago
Le problème de calculer $f_r$ point par point est que la relation de convolution $\sum_{n \leqslant x} f_r(n) \lfloor x^r/n^r \rfloor = 1$ n'est valide que pour $x$ entier. Par exemple, si je reprends la fonction $f_2$ construite ci-dessus, on a $$\sum_{n \leqslant \sqrt 5} f_2(n) \left \lfloor \frac{5}{n^2} \right \rfloor = 5 f_2(1) + f_2(2) = 2 \neq 1.$$ L'hypothèse indiquée ici estby noix de totos - Arithmétique
Re: Grand oral maths (Terminale) - 1 year ago
Je n'avais pas lu ton message, Mathurin, désolé. Ceci dit, il vaut mieux le dire (au moins) deux fois que pas du tout.by noix de totos - Pédagogie, enseignement, orientation
Re: Grand oral maths (Terminale) - 1 year ago
En discutant avec pas mal de collègues professeurs en lycée, et plus particulièrement de terminale, on voit bien que ce "grand oral", tout comme toute cette réforme du lycée, est calqué sur le format des disciplines non scientifiques : aucun support, même pas un tableau, pour exposer son travail (comme en colles de lettres ou langues en CPGE A/L ou B/L), définition d'une "probby noix de totos - Pédagogie, enseignement, orientation
Re: Majoration gaussienne des coefs binomiaux - 1 year ago
Calli : OK. Effectivement, les inégalités de Chernoff et Hoeffding représentent le cran au-dessus de celles de Markov et Chebyshev. J'ai trouvé la majoration ci-dessus dans cet article de Quadrature, dans lequel plus généralement on trouve une application de Chernoff pour une majoration de la somme $$\sum_{j=0}^k {n \choose j} a^{n-j} b^j$$ avec $0 \leqslant k \leqslant \dfrac{nb}{a+by noix de totos - Analyse
Re: Majoration gaussienne des coefs binomiaux - 1 year ago
De rien. Et que voulais-tu faire exactement ?by noix de totos - Analyse
Re: Majoration gaussienne des coefs binomiaux - 1 year ago
L'inégalité de Chernoff implique que, pour tout $n \geqslant 0$ et tout $0 \leqslant k \leqslant \frac{n}{2}$ $$\sum_{j=0}^k {n \choose j} \leqslant 2^n \exp \left\lbrace - \frac{1}{n} \left ( k - \frac{n}{2} \right)^2 \right\rbrace.$$ Ce n'est pas aussi précis que ce que tu demandes, mais on est dans la même veine.by noix de totos - Analyse
Re: Sur une fonction arithmétique - 1 year ago
Merci Rémi. Ça se généralise en ce que l'on appelle les théorèmes taubériens arithmétiques. En voilà un exemple, dû à Landau et Ingham, toujours avec les notations du produit de convolution de Dirichlet. Soit $f$ une fonction arithmétique à valeurs $\geqslant 0$. Si $\displaystyle \sum_{n \leqslant x} \left( f \star \mathbf{1} \right)(n) = A x \log x + B x + o(x)$, avec $A,B \in \mathbby noix de totos - Arithmétique
Re: Majoration valeur d'une fonction holomorphe - 1 year ago
Je n'arrive pas à avoir $6$ en majorant, mais développons l'idée de MrJ en utilisant le lemme suivant (Démonstration : ce livre, exercice 8 page 72). Soit $P \in \mathbb{C}$ un polynôme unitaire et $U$ un ouvert connexe contenant le disque fermé $\left\{|z| \leqslant 1\right\}$. Soit $f$ holomorphe sur $U$ et on suppose que $g = f/P$ est holomorphe dans un ouvert contenant $\left\{|by noix de totos - Analyse
Sur une fonction arithmétique - 1 year ago
Récemment, un conflit m'a opposé à Stator, et j'ai dit (et je le redis) que je n'interviendrai plus sur les messages de cet intervenant, le trouvant trop impoli à mon goût. Néanmoins, la question posée était pertinente, et comme je m'étais trompé dans ma première réponse donnée, l'objet de ce fil est triple : (i) Reformuler sa question en terme plus explicite ; (by noix de totos - Arithmétique
Re: Anneau d'entiers principal - 1 year ago
Les diviseurs premiers $p$ du discriminants sont les nombres premiers qui se ramifient, et donc les idéaux premiers au-dessus d'eux sont de norme $p^2$.by noix de totos - Algèbre
Re: Correction - 1 year ago
Des inepties ? La théorie des nombres, c'est quelque chose de sérieux, il ne suffit pas d'aligner quelques lignes d'un script pari/gp pour affirmer ou infirmer telle ou telle chose. J'ai pris et perdu du temps à te répondre, en répétant plusieurs fois la même chose. Tu n'as rien voulu entendre, c'est ton problème ! À partir de maintenant, je ne répondrai pluby noix de totos - Vie du Forum et de ses membres
Re: Popoviciu - 1 year ago
Cet exercice est similaire au suivant, résolu aussi sur ce forum il y a quelques années : Montrer que, pour tous événements $A,B$, on a $\left| P(A \cap B) - P(A) \times P(B) \right| \leqslant \frac{1}{4}$.by noix de totos - Probabilités, théorie de la mesure
Re: Popoviciu - 1 year ago
Personnellement, je connais Popoviciu plutôt dans le cadre des équations diophantiennes linéaires à deux variables, dont certains ont déjà parlé dans ce forum (c'est d'ailleurs la raison pour laquelle j'ai ouvert ce fil...).by noix de totos - Probabilités, théorie de la mesure
Re: Fonction de Moebius d'ordre 2 - 1 year ago
NON ! Celle que j'ai donnée fonctionne, il y a aussi trivialement la fonction $f_2(k) = 1$ si $k=n$ et $f_2(k) = 0$ sinon, etc.by noix de totos - Arithmétique
Re: La somme $\sum_{n=1}^{\infty}e^{-\pi p_{n}}$ - 1 year ago
Dans ce cas particulier, oui.by noix de totos - Analyse
Re: La somme $\sum_{n=1}^{\infty}e^{-\pi p_{n}}$ - 1 year ago
$s^{-p_n} = e^{-p_n \log s}$. $s$ étant un complexe selon tes notations, le logarithme, ou plutôt l'une de ses déterminations, apparaît naturellement ici.by noix de totos - Analyse
Re: $\sum_{n=1}^{\infty}e^{-\pi p_{n}}$ - 1 year ago
Gebrane : j'espère que ta somme $\zeta(2)$ ne démarre pas à $n=0$... Quentino : ta somme ne doit pas être loin de $\textrm{li}(2) \times e^{-2 \pi} \approx 0,00195$. Quant à ta seconde somme, il faudrait préciser quelle détermination du logarithme complexe tu utilises.by noix de totos - Analyse
Re: Fonction de Moebius d'ordre 2 - 1 year ago
Il n'y a pas une unique fonction qui vérifie cette relation de convolution. Je me suis borné à donner un exemple de fonction multiplicative, plus manipulable, qui vérifie cette relation et qui contredit ta conjecture.by noix de totos - Arithmétique
Re: Fonction de Moebius d'ordre 2 - 1 year ago
Tu t'es trompé d'exposant : il faut le diviser par $2$, et non le multiplier par $2$. Je change de notation, car la notation $\mu_2$ est déjà utilisée : il s'agit de la fonction indicatrice de l'ensemble des entiers sans facteur carré. Soit donc $f_2$ une fonction multiplicative vérifiant la relation de convolution $\displaystyle \sum_{n \leqslant x} f_2(n) \left \lfloorby noix de totos - Arithmétique
Re: Forme intégrale de $1/\Gamma(n)^2$ - 1 year ago
C'est une bonne chose que des jeunes s'intéressent à des mathématiques difficiles. Mais il ne faut pas brûler les étapes, et bien respecter le B-A-BA que sont les quantifications de variables comme je le disais plus haut. Pour revenir à ce sujet, il n'y a pas à ma connaissance de formule telle que tu le demandes, mais que ce soit $\Gamma^2$ ou $1/\Gamma^2$, ça n'a pas beauby noix de totos - Analyse
Re: Forme intégrale de $1/\Gamma(n)^2$ - 1 year ago
Quand, comme ici, les variables ne sont pas quantifiées, il est d'usage de leur donner intrinsèquement leurs domaines usuels de définition. Par exemple, lorsque rien n'est indiqué, on attribue d'office les variables aux ensembles suivants : $p$ : nombre premier ; $k,m,n$ entiers ; $x,y$ : réels ; $z,s,w$ : complexes ; $\varepsilon$ : réel petit (i.e. qui tend versby noix de totos - Analyse
Re: Place ramifiée - 1 year ago
En fait, on distingue, et c'est assez subtil je l'avoue, les notions d'extension non ramifiée en toute place et d'extension non ramifiée en-dehors de la place $\infty$. Là où je te rejoins, c'est que si $r_1 = 0$, alors ces deux notions coïncident. Mais si $r_1 \geqslant 1$, la seconde notion est plus faible : il suffit que le discriminant relatif de $L/K$ soit égal àby noix de totos - Arithmétique
Re: Place ramifiée - 1 year ago
Dans $\mathbb{Q}(\zeta_{12}) / \mathbb{Q}(\sqrt 3)$, les deux places infinies de $\mathbb{Q}(\sqrt 3)$ se ramifient. En effet, ces deux places dont $\textrm{Id}$ et $\sigma$ définie par $\sigma(a+b\sqrt 3) = a - b \sqrt 3$, et l'on a $\sigma_i (\mathbb{Q}(\sqrt 3)) \subseteq \mathbb{R}$ et, si $P = X^2 - X \sqrt 3 + 1$ est le polynôme de l'extension, alors les polynômes $P^{\sigma_iby noix de totos - Arithmétique
Re: Groupe de Galois sur Q_2 - 1 year ago
Oui. Pour l'irréductibilité de $P$ sur $\mathbb{Q}_2$, on peut aussi voir que, celui-ci étant un $2$-Eisenstein, son polygone de Newton ne comporte qu'un seul segment (de pente =$-1/4$), ce qui implique en particulier son irréductibilité non seulement sur $\mathbb{Q}$, mais aussi sur $\mathbb{Q}_2$. Edit. J'en profite pour remercier Alain D pour sa mise en mathfrak des groupeby noix de totos - Algèbre
Re: Groupe de Galois sur Q_2 - 1 year ago
$\newcommand{\A}{\mathfrak{A}}$Je vends la mèche... Le résolvent $\mathcal{R}$ sur $\S_4$ associé à $P$ et à $X_1X_2+X_3X_4$ est donné par $\mathcal{R} = X^3-8X+4$, qui n'a pas de racine entière, de sorte que $\Gal(P/\mathbb{Q}) \simeq \S_4$ ou $\A_4$. Comme $\textrm{disc}(P) = 2^4 \times 101$ n'est pas un carré dans $\mathbb{Q}$, on a $\Gal(P/\mathbb{Q}) \simeq \S_4$.by noix de totos - Algèbre