Ce forum est en lecture seule.
Rendez-vous sur le nouveau forum!
Pensez à lire la Charte avant de poster !
Show all posts by user
Les mathématiques à travers le temps et l'espace.
Re: Mathématiques d'excellence - 1 year ago
QuotePiteux_gore Je persiste et signe que l'on peut produire des livres pour lycée de bon niveau Je suis en partie d'accord avec cette affirmation, mais j'ajoute que l'on peut raisonnablement tabler sur des notions plus élevées que celles de base, à condition de revoir les exigences d'enseignement des mathématiques dans le premier degré. QuotePiteux_gore Et pourquoiby noix de totos - Livres, articles, revues, (...)
Re: Mathématiques d'excellence - 1 year ago
QuotePiteux_Gore Je ne vois guère d'intérêt à placer dans un cours de lycée des notions fondamentales Il faut arrêter de croire que tout ce qui est fondamental doit être traité en post-bac. Il ne reste déjà plus grand-chose en secondaire, avec un raisonnement pareil, il ne restera plus rien d'ici quelques années. Terminale ou L1, une seule année d'écart, c'est pratiquby noix de totos - Livres, articles, revues, (...)
Re: Mathématiques d'excellence - 1 year ago
On peut toujours ergoter sur tout, le choix des thèmes, l'ordre des chapitres, etc. On peut aussi se réjouir qu'en ces temps de disette, une grande maison d'édition française publie des ouvrages pour les lycéens d'un niveau plus élevé et moins "politiquement corrects" que ce que l'on trouve habituellement. Pour ma part, je trouve cette initiative très intéby noix de totos - Livres, articles, revues, (...)
Re: Nombres premiers dans leur ensemble - 1 year ago
Ça me parait bon. C'est une sorte d'analogue rationnel de la décomposition des fractions rationnelles.by noix de totos - Arithmétique
Re: Joli exo du vendredi 14 mai 2021 - 1 year ago
On peut affiner la démarche ci-dessus, en utilisant des résultats plus précis. Par exemple, G. J. O. Jameson améliore le résultat de Batir en montrant que, pour tout entier $n \geqslant 1$ $$H_n = \tfrac{1}{2} \log \left( n^2 + n + \tfrac{1}{3} \right) + \gamma - r_n$$ avec $\frac{1}{180 (n+1)^4} \leqslant r_n \leqslant \frac{1}{180 n^4}$. En utilisant cette estimation et en reprenant la mby noix de totos - Analyse
Re: Joli exo du vendredi 14 mai 2021 - 1 year ago
J'ai donné une majoration de $b$ impliquant que, pour tout $a \geqslant 1$, on a $H_{a,b} \leqslant 1$. Je n'ai pas dit que cette estimation est la meilleure. Il faut un travail supplémentaire, mais, au vu de la réponse d'Étanche, on n'est pas loin du but.by noix de totos - Analyse
Re: Joli exo du vendredi 14 mai 2021 - 1 year ago
L'idée de Gebrane est bonne, il faut essayer de l'exploiter avec des outils plus précis. Par exemple, en 2011, Batir montre que, pour tout entier $n \geqslant 1$ $$\gamma + \tfrac{1}{2} \log \left( n^2+n+c \right) < H_n < \gamma + \tfrac{1}{2} \log \left( n^2+n+\tfrac{1}{3} \right) $$ avec $c := e^{2 (1-\gamma)} - 2 \approx 0,329302 \dotsc$ En appelant $H_{a,b}$ la somme d�by noix de totos - Analyse
Re: Détermination de $(\Z/105\Z)^\times$ - 1 year ago
Grâce à Gilles Benson, dont la solide réputation est confirmée par son calcul, on obtient respectivement via le lemme chinois, puis en facteurs invariants $$\left( \mathbb{Z}/ 105 \mathbb{Z} \right)^\times \simeq \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / 4 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / 6 \mathbb{Z} \simeq \left( \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} \right)^2 \times \mathbb{Z} / 12 \mathbb{Z}.$$by noix de totos - Algèbre
Re: Approximation d'une somme. - 1 year ago
De rien. L'estimation donnée ci-dessus est le "haut de gamme". Si tu veux une estimation moins précise, alors un calcul direct utilisant $\lfloor x \rfloor = x + O(1)$ donne $$\sum_{p \leqslant x} \left \lfloor \frac{x}{p} \right \rfloor = x \sum_{p \leqslant x} \frac{1}{p} + O \left( \pi(x) \right) = x \left\{ \log \log x + M + O \left( \frac{1}{\log x} \right) \right\} + O \by noix de totos - Arithmétique
Re: Notation : $\chi_4(n)$ - 1 year ago
En théorie analytique des nombres, un caractère multiplicatif est pratiquement tout le temps noté $\chi$. Son caractère primitif induit est parfois noté $\chi^\star$, surtout lorsqu'on doit le différencier de $\chi$. Sinon, on omet l'étoile. L'indice $4$ est parfois indiqué pour le caractère primitif réel de module $4$ donné par $\chi_4(n) = (-1)^{(n-1)/2}$ si $n$ est impair et,by noix de totos - Arithmétique
Re: Approximation d'une somme. - 1 year ago
Par inversion des sommations, cette somme est égale à $$\sum_{n \leqslant x} \omega(n)$$ où $\omega(n)$ désigne le nombre de facteurs premiers distincts de $n$, et pour lequelles on a pas mal de résultats précis depuis un moment. Par exemple, Saffari montre en 1970 que, pour tout $N \in \mathbb{Z}_{\geqslant 1}$, on a $$\sum_{n \leqslant x} \omega(n) = x \log \log x + Mx + x \sum_{j=1}^N \fracby noix de totos - Arithmétique
Re: G2E 2021 - 1 year ago
Merci de ton commentaire, Marsup. Je fais remonter encore un coup.by noix de totos - Concours et Examens
G2E 2021 - 1 year ago
Comme je l'avais fait pour Agro-Véto récemment, voici le sujet du concours G2E 2021. NdT.by noix de totos - Concours et Examens
Re: Les intellectuels kesako ? - 1 year ago
df : Très bonne idée de mettre Vinogradov en vedette. Un vrai intellectuel, au sens noble du terme. Pour compléter, je suggère la lecture de ce livre.by noix de totos - Mathématiques et Société
Re: Maximum de $p_{n+1}/p_n$ - 1 year ago
Gérard0 : merci pour l'information.by noix de totos - Arithmétique
Re: Maximum de $p_{n+1}/p_n$ - 1 year ago
Je dois être mal réveillé, car je ne comprends pas un mot de ce que tu dis... Ceci étant, il n'y a à l'heure actuelle aucune estimation de la somme $r_2(n)$. Mais, si tu en trouves une, alors publie-la très vite ; tu deviendras riche et célèbre !by noix de totos - Arithmétique
Re: Maximum de $p_{n+1}/p_n$ - 1 year ago
Leg : ??? Veux-tu une estimation de la somme $\displaystyle r_2(n) := \sum_{p+q=2n} 1$ ?by noix de totos - Arithmétique
Re: Majoration $\sigma(n) \leq n^{\alpha}$ - 1 year ago
Si, mais historiquement, je crois que Gronwall l'a présenté comme ça.by noix de totos - Arithmétique
Re: Maximum de $p_{n+1}/p_n$ - 1 year ago
Dusart lui-même, notamment, a progressé. J'aime bien les travaux de Tim Trudgian, également.by noix de totos - Arithmétique
Re: Majoration $\sigma(n) \leq n^{\alpha}$ - 1 year ago
Non. En gros, $n \log \log n$ est "l'ordre de grandeur" de $\sigma$ Plus précisément, on a aujourd'hui des inégalités, ou plutôt des majorations, explicites très précises de $\sigma$. En 1977, Ivic montre que $\sigma(n) \leqslant 2,59 n \log \log n$ pour tout $n \geqslant 7$. En fait, tout l'enjeu réside dans la constante que l'on met devant $n$. En 1913, Gronby noix de totos - Arithmétique
Re: Maximum de $p_{n+1}/p_n$ - 1 year ago
Ce genre d'inégalité explicite sur les fonctions de nombres premiers est très délicate. Le mieux est encore de lire la thèse de Dusart.by noix de totos - Arithmétique
Re: Majoration $\sigma(n) \leq n^{\alpha}$ - 1 year ago
Bien, Marco. En fait, ton inégalité $\varphi(n) + \sigma(n) \geqslant 2n$ est un cas particulier de la suivante : si $f,g,h$ sont trois fonctions multiplicatives telles que $h \geqslant 0$ et $f+g \geqslant 0$, alors $$\forall n \in \mathbb{Z}_{\geqslant 1}, \quad (f \star h)(n) + (g \star h)(n) \geqslant 2h(n).$$ Ton égalité s'ensuit alors en prenant $f = \mathbf{1}$, $g = \mu$ et $hby noix de totos - Arithmétique
Re: Majoration $\sigma(n) \leq n^{\alpha}$ - 1 year ago
Un exercice intermédiaire, situé entre la majoration triviale $\sigma(n) \leqslant n^2$ et la majoration plus difficile que j'ai proposée ci-dessus : montrer que, pour tout $n \geqslant 1$, $$\sigma(n) \leqslant \frac{n^2}{\varphi(n)}.$$by noix de totos - Arithmétique
Re: Maximum de $p_{n+1}/p_n$ - 1 year ago
Je ne retrouve plus cet article, mais je propose une inégalité à peine plus faible : $$\forall n \geqslant 5, \quad p_{n+1} \leqslant \tfrac{3}{2} p_n.$$ On commence par vérifier numériquement cette inégalité pour $n \in \{5, \dotsc,19\}$, puis on suppose $n \geqslant 20$. On utilise alors l'encadrement $$n(\log n + \log \log n - 1) \leqslant p_n \leqslant n (\log n + \log \log n)$$ laby noix de totos - Arithmétique
Re: $\sigma(n) \leq n^{\alpha}$ - 1 year ago
Encore mieux : pour tout $n \geqslant 16$, $$\sigma(n) < e \zeta(2) n \log \log n$$ qui se rapproche du vrai ordre maximal de $\sigma$, à la constante près. Pour une démonstration, voir ce livre, exercice 63.by noix de totos - Arithmétique
Re: Maximum de $p_{n+1}/p_n$ - 1 year ago
Oui. Il est atteint pour $n=2$, $p_2/p_1=3/2<5/3$, $p_4/p_3 = 7/5 < 5/3$, $p_5/p_4 = 11/7 < 5/3$ et, si $n \geqslant 5$, $p_{n+1}^2 \leqslant 2 p_n^2$. Cette dernière inégalité provient de [1]. [1] R.E. Dresser, L. Pigno & R. Young, Sums of squares of primes, Nordisk. Mat. Tidskrift 24 (1976), 27--40.by noix de totos - Arithmétique
Re: AgroVéto 2021 - 1 year ago
Exact. À noter que $S$ est aussi la loi du $\chi^2$ à deux degrés de liberté, ce qui, si on la connaît, permet de retrouver rapidement $C=\pi$. Je suis d'accord que cette partie n'a pas toujours été bien agencée.by noix de totos - Concours et Examens
AgroVéto 2021 - 1 year ago
Bonjour, Je ne l'ai pas vu passer, voici le sujet de maths de ce concours (il y en avait un autre, mais bien moins intéressant). Je suis un peu dubitatif sur le calcul de $C=\pi$ à la dernière question compte tenu des connaissances des élèves de BCPST, c'est-à-dire n'ayant au programme de cette classe ni $\arcsin$, ni la loi du $\chi^2$ (à moins que quelque chose ne m'aiby noix de totos - Concours et Examens
Re: Les intellectuels kesako ? - 1 year ago
Ah ben mince, alors !... Moi qui croyais qu'apprendre de difficiles notions scientifiques (quelles qu'elles soient) me permettait ensuite (indirectement, bien sûr) de "donner mon avis sur la société, la politique et les valeurs"... Edit : correction d'erreurs syntaxiques.by noix de totos - Mathématiques et Société