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Les mathématiques à travers le temps et l'espace.
Re: Les accents sur le forum - 1 year ago
Les accents font partie intégrante d'une langue, il est important de les prendre en compte comme tel. Exemples. (i) L'arithméticien Bordellès, qui venait parfois ici, ne dirait certainement pas le contraire. (ii) Le mois dernier, alors que j'étais en train d'arbitrer un manuscrit pour l'IJNT (International Journal of Number Theory), j'ai fait changer tous lby noix de totos - Vie du Forum et de ses membres
Re: $\sin(\frac{a}{b}\pi)$ est-il algébrique ? - 1 year ago
Merci, Georges, ça me donne l'impression d'être moins seul...by noix de totos - Analyse
Re: $\sin(\frac{a}{b}\pi)$ est-il algébrique ? - 1 year ago
Mon indication n'intéresse personne ? Pourtant, si $T_n$ désigne le $n$- ème polynôme de Chebyshev, à quoi est égal $T_b \left ( \cos \frac{a \pi}{b} \right) $, où $a,b$ sont entiers, $b \neq 0$ ? Qu'en déduit on pour $\cos \frac {a\pi}{b}$ ?by noix de totos - Analyse
Re: $\sin\frac{a}{b}\pi$ - 1 year ago
Regarde du côté des polynômes de Chebyshev.by noix de totos - Analyse
Re: Trop cher pour moi - 1 year ago
Un peu hors-sujet, mais 35 € 40 pour ce livre, ça sent l'arnaque !by noix de totos - Livres, articles, revues, (...)
Re: Une somme - 1 year ago
D'accord. On ne se contredit donc pas c'est l'essentielby noix de totos - Analyse
Re: Une somme - 1 year ago
C'est bien pour ça que j'ai voulu être plus précis : on voyait bien que l'inégalité pouvait être vraie dans une région convenable pour $c$. On peut parfois (essayer de) prolonger la question d'un demandeur, si c'est possible.by noix de totos - Analyse
Re: Une somme - 1 year ago
Soyons un peu plus précis : il est facile de vérifier que la fonction $x \mapsto \sqrt x + \sqrt{n+1-x}$ admet sur $\left[ 0,n \right]$ un maximum en $x = \frac{1}{2}(n+1)$ valant $\sqrt{2n+2}$. Si $S_n$ est la somme, on en déduit $$S_n \leqslant (n+1) e^{c\sqrt{2n+2}}.$$ On peut alors chercher des conditions suffisantes sur $c \geqslant 0$ pour que le membre de droite soit $\leqslant e^{2 c \sby noix de totos - Analyse
Re: Une limite - 1 year ago
Indication de preuve : je note $\mu^{(\star \, n)}$ le $n$-ème itéré de convolution de Dirichlet de la fonction de Möbius. Cette fonction est multiplicative et, pour tout premier $p$ et tout entier $\alpha \geqslant 1$ $$\mu^{(\star \, n)} \left( p^\alpha \right) = (-1)^\alpha {n \choose \alpha}.$$ Ça devrait suffire pour conclure. Calli : Hé hé!by noix de totos - Arithmétique
Re: Mac Laurin, question - 1 year ago
Tu as $\left( x^2 - \frac{x^4}{2} + o(x^5) \right)^2 = \left(x^2 - \frac{x^4}{2} \right)^2 + o(x^2 \times x^5)$.by noix de totos - Analyse
Re: Une série - 1 year ago
Ou bien les résidus : le pôle $s=-x/L$ étant double, on a $$\sum_{n \in \mathbb{Z}} \frac{1}{(x+nL)^2} = - \underset{s=-x/L}{\textrm{Res}} \left( \frac{\pi \cot \pi s}{(x+sL)^2} \right) = - \frac{1}{L^2} \left[ \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}s} \left(\pi \cot \pi s \right) \right]_{} = \frac{\pi^2}{L^2 \sin (\pi x/L)^2}.$$by noix de totos - Analyse
Re: Corps de nombres, déterminant, bases - 1 year ago
Une base entière est effectivement une $\mathbb{Z}$-base de $\mathcal{O}_K$. $r_1+2r_2 = n$ ce qui implique $r_2 \leqslant \frac{1}{2}n$.by noix de totos - Algèbre
Re: Discriminant, base d'extension cyclotomique - 1 year ago
Oui, il y avait évidemment une coquille.by noix de totos - Algèbre
Re: Discriminant, base d'extension cyclotomique - 1 year ago
QuoteJulia Paule Ah c'est un discriminant, pas un déterminant, je m'emmêle sans arrêt entre les deux Par définition, le discriminant d'un corps de nombres est un déterminant (ou plus exactement un carré de déterminant). Plus précisément, avec les notations usuelles, et si $\{ \alpha_1,\dotsc,\alpha_n\}$ est une base entière de $K$, le déterminant $\left( \det \left( \sigma_iby noix de totos - Algèbre
Re: Corps de nombres, déterminant, bases - 1 year ago
Oui, mon message est à lire uniquement dans le cadre des extensions absolues. À noter aussi qu'aujourd'hui, on fait mieux que la borne de Minkowski, et ce grâce aux méthodes analytiques (Zimmert 1978, puis Friedman 1989 et de La Maza 2001).by noix de totos - Algèbre
Re: Corps de nombres, déterminant, bases - 1 year ago
Ou alors taper corps de nombres monogènes dans un moteur de recherche. Quant à la seconde question, il s'agit d'une conjecture de Dedekind (1881) démontrée pour la première fois par Minkowski (1890) avec l'aide de sa géométrie des nombres, introduites à la fin du 19ème. Ce résultat entre dans le cadre plus général de la finitude du groupe des classe d'un corps de nombres, eby noix de totos - Algèbre
Re: Congruence et pgcd - 1 year ago
Si $p$ divise $c$ et $p$ ne divise pas $d$ (c'est le cas (i) traité ici), alors il divise $k$ (par définition de ce $k$), et donc $p$ ne peut pas diviser $d+kN$.by noix de totos - Arithmétique
Re: Congruence et pgcd - 1 year ago
Correction du (i) : soit $p$ un facteur premier de $c$. Comme $p \mid k$, on a $p \mid \left( d+kN\right) \Longrightarrow p \mid d$. Donc si $p \nmid d$, alors $p \nmid (d+kN)$. Remarque. Ce résultat est (le début de) la démonstration de la surjectivité du morphisme de groupes $\textrm{SL}_2(\mathbb{Z}) \to \textrm{SL}_2(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})$, qui, à toute matrice de $\textrm{SL}_2(by noix de totos - Arithmétique
Re: Minoration d'un ppcm - 1 year ago
Non, ce théorème est énoncé tel quel.by noix de totos - Arithmétique
Re: Minoration d'un ppcm - 1 year ago
On a souvent parlé de cette question ici. De plus, il y a maintenant des inégalités qui généralisent celle-ci. Par exemple, si $r,u_0 \geqslant 1$ sont des entiers premiers entre eux, alors, pour tout $n \geqslant r(r+1)$, on a $$\textrm{ppcm} \left( u_0,u_0+r,u_0+2r,\dotsc,u_0 + nr \right) \geqslant u_0 r^{r+1} (r+1)^n.$$by noix de totos - Arithmétique
Re: Zéta(z) n'appartient pas à R- - 1 year ago
C'est pourtant la bonne idée : commence par supposer $z > 1$ réel. Alors, en utilisant le produit eulérien $$\log \zeta(z) = - \sum_p \log \left( 1 - \frac{1}{p^z} \right).$$ La relation voulue s'ensuit alors par prolongement analytique.by noix de totos - Analyse
Re: Congruence et pgcd - 1 year ago
On peut supposer $c > 1$. Posons $k:= \displaystyle \prod_{\substack{p \mid c \\ p \nmid d}} p$ et $d^{\, \prime} := d + kN$, et soit $p$ un facteur premier de $c$. (i) Si $p \nmid d$, alors $\textrm{pgcd}(c,d)=1$ et on peut prendre $(c^{\, \prime} , d^{\, \prime}) = (c,d)$. (ii) Si $p \mid d$, alors $p \nmid k$, et comme $\textrm{pgcd}(c,d,N) =1$, on a aussi $p \nmid N$. Cela impliqby noix de totos - Arithmétique
Re: Produit d'Hadamard - 1 year ago
Moi non plus, je n'arrive pas à rouvrir mes propres liens (!). Je te mets quelques papiers, je ne suis pas sûr que ce soit les mêmes, mais peu importe.by noix de totos - LaTeX
Re: Transformée de Laplace - 1 year ago
Le corrigé, lui, tu l'as facilement sur le net :by noix de totos - Analyse
Re: Transformée de Laplace - 1 year ago
Par exemple, le sujet de la 2ème épreuve de l'agrégation interne 1993. Il semble toutefois difficile à trouver sur le net.by noix de totos - Analyse
Re: On sombre. - 1 year ago
Fin de partie : ce n'est pas du tout mon propos.by noix de totos - Pédagogie, enseignement, orientation
Re: On sombre. - 1 year ago
QuoteFin de partie A-t-on besoin de faire-valoir? Heu, c'est pour moi que tu dis ça ? J'espère que non...by noix de totos - Pédagogie, enseignement, orientation
Re: On sombre. - 1 year ago
Si un professeur de maths, professionnel de l'enseignement de sa discipline, sait démontrer cette règle, alors il trouvera toujours un moyen d'adapter ce qu'il sait à son public, quitte à faire des impasses sur la rigueur en fonction de l'âge de son auditoire. Le problème soulevé par Arnaud_G n'est pas tant, selon moi, de savoir comment expliquer ça dans des petites clby noix de totos - Pédagogie, enseignement, orientation
Re: Hypothèse de Riemann généralisée - 1 year ago
Très bonne explication de Poirot !by noix de totos - Arithmétique