Re: Nombres premiers et progression arithmétique - 1 year ago

Dreamer : effectivement, $\ln$, $\log_2$ ou autre, dans un grand "O", ça n'a aucune importance. Toutefois, un champs assez nouveau apparaît depuis quelques années en arithmétique : obtenir des résultats explicites des grands théorèmes connus (TNP, TNPPA, Bombieri-Vinogradov, fonctions de nombres premiers, etc). Ces résultats explicites, tout à fait intéressants, sont essentie

Re: Nombres premiers et progression arithmétique - 1 year ago

Oui, $k$ est fixé. Les méthodes de crible (crible combinatoire, crible de Selberg, voire grand crible) sont un outil efficace pour ce genre de question, mais ne produisent pas (ou rarement) des égalités asymptotiques. Ce n'est d'ailleurs pas ce qu'on leur demande.

Re: Nombres premiers et progression arithmétique - 1 year ago

QuoteKhattab tu n'aurais pas un raisonnement heuristique. Tu cherches à estimer $$\frac{1}{\pi(x)} \sum_{\substack{p \, \textrm{et} \, kp + 1 \, \textrm{premiers} \\ e^k < p \leqslant x}} 1.$$ Comme je ne passe plus beaucoup de temps ici, j'ai uniquement cherché des majorations de cette somme, notamment en virant la condition $p > e^k$, plutôt difficile à traiter. En génér

Re: Nombres premiers et progression arithmétique - 1 year ago

Khattab, je n'ai fait que majorer : si $k < \log p$ et $p \leqslant x$, alors $k < \log x$.

Re: Nombres premiers et progression arithmétique - 1 year ago

Le nombre de nombres premiers en question n'excède pas $$\ll \sum_{\substack{p \leqslant x \\ kp+1 \; \textrm{premier}}} 1 $$ et les méthodes de crible permettent de majorer ce nombre par $$\ll \frac{x}{(\log x)^2} \prod_{p \mid k} \left( 1 - \frac{1}{p} \right)^{-1}. $$ Ainsi $$\frac{1}{x} \sum_{\substack{p \leqslant x \\ kp+1 \; \textrm{premier} \\ k < \log x}} 1 \ll \frac{k}{\varp

Re: Primitive du log intégral - 1 year ago

Si $F$ est ta fonction $$F^{\, \prime}(x) = \textrm{Li}(x) + \frac{x}{\log x} - 2x \times \frac{1}{\log(x^2)} = \textrm{Li}(x).$$ La "NFPR conjecture", je ne sais pas ce que c'est, mais des encadrements de $\textrm{Li}(x)$, il y en a pas mal dans la littérature adéquate. Attention ! Je ne viens plus ici que très, très épisodiquement : inutile d'attendre de réponse immédi

Re: Une somme - 1 year ago

Re: Curiosité - 1 year ago

En voilà un bien connu : $\left( e^{\pi \sqrt{163}} - 744 \right)^{1/3}$.

Re: Diviseur moyen - 1 year ago

Plus précisément, pour tout $y$ vérifiant $x^{47/77} e^{(\log x)^{0,1}} \leqslant y \leqslant x$ et pour tout $N \in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}$, on a $$\sum_{x < n \leqslant x+y} \frac{\sigma(n)}{\tau(n)} = \frac{xy}{\sqrt{\log x}} \left\lbrace C_0 + \frac{C_1}{\log x} + \dotsb + \frac{C_N}{(\log x)^N} + O \left( \frac{1}{(\log x)^{N+1}} \right) \right\rbrace$$ avec $$C_0 := \frac{1}{2 \sqrt

Re: Diviseur moyen - 1 year ago

Il s'agit de la fonction $\zeta(s)^2$. Au fait, j'ai un petit doute : ce que tu notes $\tau(n)$, c'est bien le nombre de diviseurs de $n$, non, et pas la fonction tau de Ramanujan ?

Re: Diviseur moyen - 1 year ago

Oui. Ces deux fonctions sont de taille très différentes et n'appartiennent pas à la même classe : l'une vérifie la condition de Ramanujan et pas l'autre.

Re: Diviseur moyen - 1 year ago

Compte tenu que $\tau(p)=2$ pour tout premier $p$, il faudrait déjà préciser ce que tu entends par $\tau(n) \to \infty$. Par exemple, considères-tu des sous-suites particulières d'entiers, comme les nombres hautement composés de Ramanujan ? Ou autre ? Bref, il faut affiner... De plus, comme $\tau(n) \ll n^\varepsilon$ et $\sigma(n) \gg n$, il ne va pas être simple d'obtenir une major

Re: Idéaux sommes d'idéaux principaux - 1 year ago

Oui, mais le point que tu soulignes n'apporte pas grand-chose en pratique (sauf erreur).

Re: Idéaux sommes d'idéaux principaux - 1 year ago

J'en ajoute une couche. (i) On peut exclure l'idéal nul, généré par un seul élément. Soit $\mathfrak{a}$ un idéal fractionnaire de $K$. Si $\mathfrak{a}$ n'est pas un idéal entier, il existe $d \in K$ tel que $d \mathfrak{a} \in \mathcal{O}_K$, et comme $\mathfrak{a}$ et $d\mathfrak{a}$ ont le même nombre de générateurs, on peut supposer que $\mathfrak{a}$ est un idéal entier n

Re: Sujet bac D maths 1981 académie de Versailles - 1 year ago

Sauf erreur, à l'époque, l'académie de Paris était en fait l'académie de Paris-Créteil-Versailles.

Re: Publication vixra - 1 year ago

L'auteur décide et, éventuellement, l'éditeur peut corriger le code MSC 2020, et donc réattribuer l'article dans un autre domaine. Ceci dit, même si c'est anecdotique (et j'en conviens), et même sans entrer sur le fond de ce manuscrit, personne ne m'empêchera de dire ce que je pense ! D'ailleurs, ça me rappelle ce que certains arithméticiens disaient, à ju

Re: Publication vixra - 1 year ago

Tu te doutes bien que tout ce que tu dis, je le sais déjà, et ce depuis bien longtemps (d'ailleurs, l'exemple du livre de Serre n'est pas le meilleur, à mon sens). Je dis seulement que des lignes de calculs sur des intégrales, quand bien même ayant $\zeta$ pour intégrande, n'en fait pas pour autant un texte arithmétique. En revanche, l'étude de $\zeta$ au voisinage

Re: Publication vixra - 1 year ago

Fin de Partie : je sais bien, mais je répète que ce n'est pas parce que la fonction zêta de Riemann fait une apparition qu'on peut qualifier ce preprint de manuscrit d'arithmétique. Ici, on est plus dans l'analyse qu'autre chose.

Re: Publication vixra - 1 year ago

Pour ma part, je ne vois pas pourquoi ce texte est placé dans la branche "théorie des nombres"...

Re: Malentendu sur l'addition des fractions - 1 year ago

QuoteGerard0 Tout expliquer ne sert à rien, les élèves qui veulent comprendre s'ennuient, les autres n'écoutent pas, n'ont jamais écouté. Je suis parfaitement d'accord avec ce principe, qui est une vraie règle de base de l'enseignement. Personne ne nous a expliqué comment marcher lorsqu'on avait 1 an (plus ou moins), et pourtant on y arrive tous...

Re: Capes externe 2021 : résultats - 1 year ago

ev : excellents résultats à l'écrit !

Re: Une somme :) - 1 year ago

Dans ce cas, une démonstration de cette inégalité pourrait être intéressante.

Re: Une somme :) - 1 year ago

Pour répondre sur ce point précis de la minoration de $\left| \cos z \right|$, on peut faire mieux : par exemple $$\forall z \in \mathbb{C}, \quad \left| \cos z \right| \geqslant \left| \textrm{sh} \left( \textrm{Im} \, z \right) \right|.$$ M. Abramovitz & I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, New-York, 1965, inégalité 4.3.84 page 75.

Re: Une fonction et sa transformée de Fourier - 1 year ago

Où as-tu vu que ton intégrale double valait l'infini ? Si $a > 0$ est fixé, l'intégrale est (largement) convergente.

Re: Une somme :) - 1 year ago

Je comprends ta démarche, mais la mienne n'en est pas moins utile pour le lecteur débutant : on a aujourd'hui, et ce depuis Lindelöf, une foultitudes de résultats établis à partir du calcul des résidus. Voici donc mon conseil : (i) Effectuer une preuve de ce type une fois ou deux pour voir comment ça marche ; (ii) Accroître ses connaissances et élargir les corollaires du théorè

Re: Crise des vocations en maths - 1 year ago

Je suis d'accord avec df : à un moment donné, il faut arrêter de tergiverser et de savoir dire "stop !"

Re: Une somme :) - 1 year ago

Pour les résidus, inutile de refaire à chaque fois la démonstration. Les corollaires existent et peuvent être utilisés directement. Par exemple, dans le cas qui nous occupe, il y a celui-ci, entre autres : Corollaire. Si $P$ et $Q$ sont deux polynômes tels que $\deg Q \geqslant \deg P + 2$ et si $a_1,\dotsc,a_r$ sont les zéros distincts de $Q$, alors $$\sum_{n \in \mathbb{Z}} (-1)^n \frac

Re: $o$ et $O$ pour Homo Topi - 1 year ago

L'apprentissage bac +1/+2 doit être considéré comme une initiation au calcul asymptotique. Dans ce cadre, je trouve que l'utilisation presque exclusive du $o$ est pertinente : ça permet à l'étudiant de prendre conscience des termes principaux et d'un terme d'erreur, encore un peu flou à ce stade, et de pouvoir utiliser l'outil à des fins d'études classiques en a

Re: $o$ et $O$ pour Homo Topi - 1 year ago

Je l'ai dit plusieurs fois ici : il faut s'habituer à quitter, ou plutôt à étendre, la définition restreinte de ce que l'on apprend en bac +1/2 concernant le $O$. Lorsque l'on fait du calcul asymptotique à un niveau supérieur, la plupart des auteurs utilise la définition donnée ci-dessus par Poirot. Exemple. L'égalité $$\sum_{n \leqslant x} \frac{1}{n} = \log x + \

Re: Noyau de Dirichlet - 1 year ago

Regarde là.