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Re: Les grandes évidences - 1 year ago
Je passe mon temps collé au tableau ce qui convient très bien à mes élèves qui souhaitent s'instruire. La grande évidence à mon humble avis d'homme de terrain depuis longtemps : 0. L'éducation nationale n'assure plus l'instruction d'une très grande majorité d'élèves.by gai requin - Shtam
Re: Démonstration triviale - 1 year ago
Sylvester proposa ce problème en 1893 et sa résolution dut attendre les années 1940. Le résultat de Foys sur les corps réels clos (dû à Artin-Schreier) date de 1927. Source : English Wikipediaby gai requin - Fondements et Logique
Re: Transformations de Möbius - 1 year ago
Ah oui pardon, l'hyperbole équilatère est dégénérée ssi $f$ est une symétrie axiale. Hint : Parmi les points fixes de $f$ vue comme une homographie du plan affine complété projectivement, il y a deux points à l'infini qui produisent deux directions orthogonales.by gai requin - Géométrie
Re: Transformations de Möbius - 1 year ago
Bonjour pappus, Dans le cas d'une similitude indirecte $f$, on obtient une hyperbole équilatère qui est dégénérée ssi $f$ est une isométrie.by gai requin - Géométrie
Re: Des cours à distance... - 1 year ago
Chat-maths et Max semblaient assez d'accord sur . Je leur fais entièrement confiance d'autant que je ne l'ai même pas encore survoléby gai requin - Fondements et Logique
Re: Laurent Lafforgue rejoint Huawei France - 1 year ago
LL est arrivé à pied par la Chineby gai requin - Mathématiques et Société
Re: Transformations de Möbius - 1 year ago
Tout d'abord, je suis une quiche en analyse mais ici, modulo les domaines de définition, on a : $f_m:\mathbb R^2\to \mathbb R^2$ donc $df_m$ est une application linéaire $\mathbb R^2\to \mathbb R^2$ et $d^2f_m$ est une application bilinéaire symétrique (Schwarz) $\mathbb R^2\times \mathbb R^2\to \mathbb R^2$. Et je me suis donc permis de parler des applications linéaires $d^2f_m(\mathbf{t}by gai requin - Géométrie
Re: Transformations de Möbius - 1 year ago
Bonjour pappus, $d^2f_m$ forme quadratique, vraiment ?by gai requin - Géométrie
Re: Rapport du jury agrégation externe maths 1994 - 1 year ago
J'ai eu ce rapport sous les yeux il y a bien longtemps. Le jury était admiratif d'un candidat qui avait fait intégralement le sujet très très long de mathématiques générales. J'ai appris plus tard que ce candidat était Vincent Lafforgue, le frère du médaillé Fields Laurent.by gai requin - Concours et Examens
Re: Transformations de Möbius - 1 year ago
Et tu as bien fait parce que c'est très instructif ! Peut-être pourrait-on maintenant s'intéresser aux applications linaires $d^2f_m(\mathbf{t},\bullet)$ et $d^2f_m(\mathbf{u},\bullet)$ ($m$ point fixe de $f$) ?by gai requin - Géométrie
Re: Transformations de Möbius - 1 year ago
Ok, $df_m^2=\mathrm{Id}$, $df_m.\bf t=\bf t$ et $df_m.\mathbf u=d\sigma_m.\mathbf u=-\mathbf u$ donc $df_m$ est la symétrie par rapport à $\mathbb R\bf t$ parallèlement à $\mathbb R\bf u$.by gai requin - Géométrie
Re: Transformations de Möbius - 1 year ago
Si $m$ est un point fixe de $f$, alors $df_m$ est la symétrie orthogonale d'axe la perpendiculaire à $am$ passant par $a$.by gai requin - Géométrie
Re: Transformations de Möbius - 1 year ago
C'est une similitude indirecte, produit commutatif de l'homothétie de rapport $\dfrac{\alpha}{\langle x\vert x\rangle}$ par la symétrie orthogonale par rapport à l'hyperplan $\langle x\rangle^{\perp}$.by gai requin - Géométrie
Re: Transformations de Möbius - 1 year ago
N'étant pas sûr qu'on la trouve dans ce long fil, voilà une construction du centre $C$ de la similitude directe $s:AB\mapsto A'B'$ grâce au pont aux ânes de pappus et de laquelle on déduit $M'=s(M)$ à la règle uniquement.by gai requin - Géométrie
Re: Transformations de Möbius - 1 year ago
On a $(a,bc)(m)=m_a$ et $(a,bc)(m')=m'_a$ donc la similitude directe de centre $a$ qui envoie $m$ sur $m'_a$ envoie aussi $m'$ sur $m_a$. D'où $(mm',m'_am_a)=(am,am'_a)=0$ et $mm'\parallel m'_am_a$.by gai requin - Géométrie
Re: Transformations de Möbius - 1 year ago
D'après ce qui précède, la similitude directe de centre $c$ qui envoie $b$ sur $m_a$ envoie aussi $m_b$ sur $a$. Donc $(bc,bm_*)=(bc,bm_b)=(m_ac,m_aa)=(m_ac,m_am_*)$ donc $m_*,b,c$ et $m_a$ sont cocycliques.by gai requin - Géométrie
Re: Transformations de Möbius - 1 year ago
Si, si j'avais parlé du groupe de Kleinby gai requin - Géométrie
Re: Transformations de Möbius - 1 year ago
Exemple d'application : Comme $(c,ab)$ échange $a$ et $b$ mais aussi $m_a$ et $m_b$, la similitude directe de centre $c$ qui envoie $a$ sur $m_a$ envoie aussi $m_b$ sur $b$. Donc les triangles $cam_b$ et $cm_ab$ sont directement semblables.by gai requin - Géométrie
Re: Transformations de Möbius - 1 year ago
Le groupe engendré par nos trois involutions est le groupe de Klein.by gai requin - Géométrie
Re: Transformations de Möbius - 1 year ago
$(b,ca).(a,bc):b\mapsto c\mapsto a,\;a\mapsto\infty\mapsto b,\;c\mapsto b\mapsto\infty$ donc $(b,ca).(a,bc)$ est l'involution de pôle $c$ qui échange $a$ et $b$, c'est-à-dire $(c,ab)$. De plus, $(b,ca).(a,bc):m_a\mapsto m\mapsto m_b$ donc $(c,ab)(m_a)=m_b$.by gai requin - Géométrie
Re: Transformations de Möbius - 1 year ago
$(b,ca).(a,bc)=(c,ab)$ qui, en particulier, échange $m_a$ et $m_b$ (ce qu'on ne savait pas jusque là).by gai requin - Géométrie
Re: Transformations de Möbius - 1 year ago
Je me suis trompé dans mes remerciements, c'est corrigé.by gai requin - Géométrie
Re: Transformations de Möbius - 1 year ago
Merci jelobreuil ! Que voilà la belle involution ! Donc pappus construit : 1) $m_*$, le conjugué isogonal de $m$ par rapport à $abc$. 2) $m_a,m_b,m_c$ grâce aux alignements et autres cocyclicités. 3) $m'_a=(b'c',bc)(m_a)$ et $m'_b,m'_c$ par permutations circulaires. 4) $m'_*=a'm'_a\cap b'm'_b\cap c'm'_c$. 5) $m'$, le conjugby gai requin - Géométrie
Re: Transformations de Möbius - 1 year ago
Bonjour pappus, Je ne vois pas de quel concept tu parlesby gai requin - Géométrie
Re: Transformations de Möbius - 1 year ago
Soit $s_a$ la similitude directe de centre $a$ qui envoie $m$ sur $b$ de sorte que $s_a(c)=m_a$. On a donc $(am,ab)=(ac,am_a)$ et $(am,ac)=(ab,am_a)$.by gai requin - Géométrie
Re: Transformations de Möbius - 1 year ago
On dirait une configuration des trois similitudes mais je connais mal...by gai requin - Géométrie
Re: Transformations de Möbius - 1 year ago
J'ai eu affaire à ce problème en seconde dans les années 80. Montrer que la somme de l'énoncé peut être remplacée par tout multiple de $9$ si on veut que les âges des protagonistes soient entiers.by gai requin - Géométrie