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Re: Relation de commutation - 1 year ago
Bonjour john_john, J'ai essayé de prouver la formule de la trace puisque tu disais qu'une idée pourrait en émerger pour résoudre l'exercice qui a initié ce fil. Voilà ma solution de laquelle rien n'émergea ! Soit $A\in M_n(\mathbb Z)$ et $\overline A$ sa réduction modulo un premier $p$. Soit $x_1,\ldots,x_n$ les valeurs propres de $\overline A$ dans une certaine extenby gai requin - Algèbre
Re: Relation de commutation - 1 year ago
@bd2017 : Quelle est cette solution triviale ?by gai requin - Algèbre
Re: Construction - 1 year ago
pappus, Je n'ai pas ce livre mais j'ai ébauché un truc ...by gai requin - Géométrie
Re: Nouveaux ouvrages chez Calvage & Mounet - 1 year ago
Super Yann ! Un tome 2 sur les treize chapitres manquants ? Je serais preneurby gai requin - Livres, articles, revues, (...)
Re: Endomorphismes nilpotents - 1 year ago
Preuve : D'après Cayley-Hamilton, l'inverse d'une matrice inversible $A$ est un polynôme en $A$.by gai requin - Algèbre
Re: Construction - 1 year ago
Bonjour pappus, Quel dommage qu'on ait laissé tomber le projectif ! Et puis qui connaît les affinités affines ? Bref, regardons le faisceau des coniques tangentes à $L$ en $S$ et à $L'$ en $S'$. Ce faisceau contient $L\cup L'$ et la droite double $SS'^2$. Ce faisceau induit une involution $aB\mapsto a'C$ de la droite $BC$ (Desargues). L'un de ses pointsby gai requin - Géométrie
Re: Construction - 1 year ago
Merci Ludwig d'avoir montré que le cercle $\gamma$ dont j'ai parlé n'est pas si difficile à tracer. Next step : la parallèle à $L$ passant par $B$ coupe $\gamma$ en un point $b$ ($2$ choix). Soit $M\notin AB$. L'affinité d'axe $AM$ qui envoie $b$ sur $B$ envoie $\gamma$ sur une ellipse $\gamma'$ passant par $A,B$ et tangente à $L$ et $L'$. Final step : La paby gai requin - Géométrie
Re: Construction - 1 year ago
C'est plus facile de tracer un tel cercle que l'image d'une conique par une affinité !by gai requin - Géométrie
Re: Construction - 1 year ago
Bonsoir pappus, J'applique la même méthode. Par une première affinité de direction $L$ et d'axe passant par $A$, on envoie un cercle $\gamma$ passant par $A$ et tangent à $L$ et $L'$ sur une ellipse $\gamma'$ passant par $A,B$ et tangente à $L$ et $L'$. Par une deuxième affinité de direction $L$ et d'axe $AB$, on envoie $\gamma'$ sur une ellipse $\Gamma$ qby gai requin - Géométrie
Re: Construction - 1 year ago
Supposons donnée une ellipse $\Gamma$ passant par $A,B,C$ et tangente à $L$ et $L'$. La parallèle à $L$ passant par $C$ recoupe $\Gamma$ en $c$. Alors $\Gamma'$, l'image de $\Gamma$ par l'affinité d'axe $AB$ qui envoie $c$ sur $C$, est aussi une ellipse passant par $A,B,C$ et tangente à $L$ et $L'$. On peut de même construire les deux autres ellipses en considéranby gai requin - Géométrie
Re: Construction - 1 year ago
Peut-être Ludwig avait-il eu l'intuition de deux ellipses en appliquant un théorème de Desargues au faisceau des coniques passant par $A,B,C$ et tangentes à $L$ pour obtenir une involution de la droite $L'$ à deux points fixes. Le parallélisme de $L$ et $L'$ change manifestement la donne ! Maître pappus nous étonnera toujours !by gai requin - Géométrie
Re: Décès d'Emmanuel Halberstadt - 1 year ago
Le site d'Emmanuel Halberstadt est effectivement remarquable, notamment pour ceux qui aiment la géométrie arithmétique et le !by gai requin - Histoire des Mathématiques
Re: Sous-espaces stables - 1 year ago
@noobey : Avec tes notations, on peut montrer que la représentation $P$ de $\mathfrak S_n$ est effectivement irréductible, par exemple par récurrence sur $n$ (sans passer par son caractère qui a l'air coton dans le cas général). Et cela clôt l'exercice d'OS en quelques lignesby gai requin - Algèbre
Re: Livre sur anneaux, corps - 1 year ago
Pour se perfectionner sur la théorie des corps, il y a aussi le Tauvel "Corps commutatifs et théorie de Galois" (la 3ème édition vient de paraître) chez C&M avec tout un chapitre consacré aux entiers sur un anneau. L'éditeur envisagerait de sortir un livre d'exercices sur les corps, avec notamment une correction de ceux du Tauvel. A confirmer par Yannguyenby gai requin - Livres, articles, revues, (...)
Re: Corps des fractions de $\mathbb Z[ i]$ - 1 year ago
Ok, reste à voir à quel niveau se situe le cours de Code_Name.by gai requin - Algèbre
Re: Corps des fractions de $\mathbb Z[ i]$ - 1 year ago
$i$ est de degré $2$ sur $\mathbb Q$ donc... On fait ça dès qu'on commence à étudier les corps non ?by gai requin - Algèbre
Re: Corps des fractions de $\mathbb Z[ i]$ - 1 year ago
Pourtant $\mathbb Z[ i]\subset\mathbb Q(i)$ donc, comme $\mathbb Q(i)$ est un corps, on a $\mathrm{Frac}(\mathbb Z[ i])\subset\mathbb Q(i)$.by gai requin - Algèbre
Re: Nilpotence - 1 year ago
@OS : Tu ferais mieux d'étudier d'abord $\mathbb R$ et $\mathbb C$ avant de t'embarquer dans l'algèbre linéaire sur les sous-corps de $\mathbb C$ !by gai requin - Algèbre
Re: Corps des fractions de $\mathbb Z[ i]$ - 1 year ago
Non Poirot, il est évident que $\mathrm{Frac}(\mathbb Z[ i])\subset\mathbb Q(i)$. C'est surtout l'autre inclusion qu'il faut montrer.by gai requin - Algèbre
Re: Nilpotence - 1 year ago
$\chi_A$ étant de degré $n$, il a $n$ racines complexes comptées avec leur multiplicité. Si sa seule racine est $0$, elle est donc de multiplicité $n$. Pour le reste, on peut travailler sur n'importe quel corps commutatif $K$ et reprendre mon raisonnement en remplaçant $\mathbb C$ par le corps de décomposition (appelé aussi corps des racines) de $\chi_A$ sur $K$.by gai requin - Algèbre
Re: Insertion des docteurs - 1 year ago
Allègre puis d'autres ont décidé d'arrêter la sélection par les maths parce qu'elle permettait à des gens de classes défavorisées d'occuper des postes normalement dévolus aux classes favorisées sur le marché du travail. Pour y arriver, il a suffi d'arrêter de les enseigner dans le primaire et le secondaire. Pour se faire une idée de l'ampleur de cette non-instructiby gai requin - Mathématiques et Société
Re: Nilpotence - 1 year ago
@OS : Je me doutais bien que tu n'allais pas lire entre les lignes Si $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ sont les racines complexes de $\chi_A$, quelle est sa décomposition en facteurs irréductibles de $\mathbb C$ ? En déduire $\chi_A$ quand tous les $\alpha_i$ sont nuls.by gai requin - Algèbre
Re: Nilpotence - 1 year ago
Soit $K$ un sous-corps de $\mathbb C$ et $A\in M_n(K)$. On a $A\in M_n(\mathbb C)$ et ses valeurs propres complexes sont les racines de $\chi_A(X)$. Mais ces valeurs propres sont aussi les racines du polynôme minimal de $A$. Si ce dernier est de la forme $X^r$, $0$ est la seule valeur propre complexe de $A$ et, en particulier, $0$ est racine de $\chi_A$ de multiplicité $n$, i.e. $\chi_A(X)=X^nby gai requin - Algèbre
Re: Corps des fractions de $\mathbb Z[ i]$ - 1 year ago
Si $a+ib\in\mathbb Z[ i]$ est inversible, alors $N(a+ib)=a^2+b^2$ est inversible dans $\mathbb Z$ donc les inversibles de $\mathbb Z[ i]$ sont $\pm 1$ et $\pm i$. Mais là n'est pas la question ! C'est l'intégrité de $\mathbb Z[ i]$ qui rend la question légitime.by gai requin - Algèbre
Re: Corps des fractions de $\mathbb Z[ i]$ - 1 year ago
On peut le montrer par double inclusion.by gai requin - Algèbre
Re: Comment bien rédiger ? - 1 year ago
En français, on ne peut que conseiller tous les écrits mathématiques de Jean-Pierre Serre.by gai requin - Pédagogie, enseignement, orientation
Re: Primitive de $e^{2t}/\sqrt{1+t^2}$ - 1 year ago
Voir le en algèbre différentielle.by gai requin - Analyse
Re: Ivan Niven et $\sqrt{2}$ - 1 year ago
En réponse à une de mes élèves qui avait des penchants constructivistes Soit $n,a,b\in\Z$ tels que $\gcd(a,b)=1$ et $n=\dfrac{a^2}{b^2}$. Alors :$$n=n\gcd(a^2,b^2)=\gcd(na^2,nb^2)=\gcd(na^2,a^2)=a^2.$$by gai requin - Arithmétique
Re: Produit vide d'espaces vectoriels - 1 year ago
Un produit d'espaces vectoriels, c'est une somme directe donc je dirais plutôt $\{0_{\K}\}$.by gai requin - Fondements et Logique